数学学院_易海蓉_射影簇与态射

1、青岛大学本科生毕业论文（设计）引 言代数几何的发展是波浪式的，各个阶段都有它不同的主流观点和诠释方式。19世纪末期出现了Riemann的函数论方式，Brill和Noether的更趋于几何直观的方法，Kronecker,Dedekind和Weber的纯代数研究方法，随后以Castelnuovo,Enriques和Severi为代表的意大利学派在关于代数曲面的分类上做出了卓有成效的工作。20世纪以周炜良，Weil和Zariski为代表的美国学派给予意大利学派的几何研究成果以坚实的代数基础，更近以来Serre和Grothendieck领导的法国学派使用概型和上同调的语言改写了代数几何的基础，这种新的

2、技术在解决以往问题时显示出更强大的威力。本文阐释了古典代数几何中两个最基本的概念：射影簇和态射。对它们的研究是一项具体清晰的颇有趣味的工作，而且培养几何直观的洞察力是深入学习现代代数几何的基础。需要说明的是，本文中关于它们的性质的研究，是置于交换代数和基础拓扑学的逻辑语言之上的。 第一章对射影簇的描述是从仿射簇开始的，因为射影簇的局部仿射，并且对仿射簇的研究可转化为对交换代数的研究；射影簇的很多性质与它的嵌入方式有关，因此第一章还介绍了射影空间中两个常见的重要的嵌入映射；关于簇的维数和理想的生成元的个数问题，本文只叙述了一些最基本的结果，对这方面更深入的关于完全交和集合式交的问题未做讨论。第二

3、章介绍了簇与簇之间的态射，及簇与簇的同构。用正则函数的概念来定义态射，于是又引出局部函数环、簇的函数域，这些都是同构态射下的不变量；对不变量的寻找是对代数簇进行分类的基础工作；关于坐标环与函数环的讨论使我们可以加强对二者的认识，且可部分的将簇之间的几何关系转化为函数环之间的代数关系来研究；最后讨论了几个具体的态射，尤其介绍了几个低维簇之间的同构，掌握好它们是基础，即对高维的研究是有益处的。本文的部分命题和几乎所有例题来自于Hartshorne的Algebraic Geometry第一章课后习题，在这一方面还没有前人做过，因此这些工作均由笔者独立思考所得，难免有疏忽之处，望请指正。第一章 射影簇

4、代数几何中最基本的研究对象是簇。从几何上讲，它就是二维空间中曲线或者三维空间中曲面或“空间曲线”的概念的扩展。事实上从代数上来看，一个簇是某个多项式或者一族多项式的公共零点的集合。首先，我们不妨先从熟悉的仿射空间入手。1.1仿射簇的基本概念及性质设是代数闭域，表示上仿射空间，表示多项式环。标记中一组多项式集合的公共零点集为。设是生成的理想，则，我们把形如这样的集合称为的代数集，于是代数集就是中某个理想的公共零点集。如果要进一步研究这个零点集的性质，首先自然要问，中什么样的理想的零点集是非空的，即什么样的理想才值得研究呢？Hilbert在19世纪末回答了这个问题，他提出了著名的“Hilbert零

5、点定理”。定理1.1.1（Hilbert零点定理）令是代数闭域，是多项式环=中一个理想，若在中的每一点都取值为零，则必存在整数使得。零点定理还有一个所谓的弱形式可表述为：对应于多项式环中真理想的簇是非空的，即构成一个理想（不是整个环）的多项式一定有某些公共零点。与代数基本定理相比较，我们会发现二者相似，后者说的是一个未知量的多项式的零点集合是非空的，因此零点定理有时也被称为代数几何基本定理。反过来，如果我们有一些点集，那么它们可以用什么样的多项式去刻画？于是我们有这样的标记：对的任意子集，定义在中的理想。有了上面的这些准备之后，为了更好的研究簇的几何性质，我们需要对仿射空间赋予一个拓扑。不难证

6、明任意个代数集的并仍是代数集，两个代数集的交仍是代数集。于是规定开集为代数集的补集，就可得到的一个拓扑。我们把它称为拓扑。拓扑空间中下面这些概念对于几何刻画是必需的。定义1.1.1 拓扑空间的非空子集称为不可约的，如果不能表示为两个真闭子集的并。规定不是不可约的。命题1.1.2 不可约空间的任何非空开子集是不可约且稠密的；不可约子集的闭包仍是不可约的。命题1.1.3 在一个Noether拓扑空间上，任何一个非空闭子集可以唯一的写成有限个不可约闭子集的并，要求。证明 （参考文献1）。定义1.1.2 定义拓扑空间的维数为中不可约闭子集列的长度的上确界，记为。命题1.1.4 拓扑空间有一个开覆盖，则

7、。下面，我们就可以进入仿射簇的严格定义了。定义1.1.3 仿射簇是指的不可约闭子集。仿射簇的开子集称为拟仿射簇。我们上面说到一个理想的零点集和一个点集的理想，这正好显示出一个几何对象和一个代数对象之间的转化，其实它们之间还有更好的一些结果，用符号和拓扑语言描述出来即为：命题1.1.5 (a)若(中)，则；(b)若(中)，则；(c)、，有；(d)任一理想,(的根理想)；(e)任一子集,。证明 （参考文献1）。推论1.1.6 中的代数集与中根理想之间通过，的方式，存在一反包含的对应；且一个代数集不可约当且仅当它的理想是素理想。证明 （参考文献1）。进一步考虑一个代数簇内部点集的信息时，按照推论（1

8、.1.4）对应的考虑对象是中包含的那些理想，这就进入到坐标环的概念了。定义1.1.4 是代数集，定义的仿射坐标环为。对任意的代数集，是有限生成-代数；进一步若是仿射簇，则是整环。反过来，若环是整环、有限生成-代数，必为某个仿射簇的坐标环。规定簇或拟簇的维数是指其作为拓扑的子拓扑空间的维数。由推论（1.1.6）我们可以马上得到如下命题:命题1.1.6 是代数集，则。特别的，。这个命题使得我们能够将交换代数中关于环维数理论部分应用于仿射簇的几何性质研究中。定理1.1.7 令是一个域，是整环、有限生成-代数。则：(a)=对的超越次数，表示的分式域；(b)对中任意素理想，有+=，于是对的任意两个素理想

9、，有+=。证明（参考文献3、4）。命题1.1.8 若是拟仿射簇，则。证明 (参考文献1)。例1.1.1 令是平面曲线，做一个环同态，则，从而。令是平面曲线，同理可证得，它是关于的局部化且。又平面曲线也可写做，然后通过仿射变换可变成曲线。因此，若是上的任一二次不可约多项式，令，则或者。例1.1.2 令，它的参数形式为，不难看出，且由于是素理想，。做一个映射，将，。，且是满射，故，因此。我们把称为三次挠线。1.2 射影簇的基本概念及性质下面我们进入到射影空间的领域，它也叫作投影空间。关于它的想象，比如，我们可以认为是在一维仿射直线上加入一个无穷远点，是在二维仿射平面上加入一条无穷远线，是在维空间中

10、加入一个无穷远超曲面。简而言之，这种新的布局比我们通常使用的欧几里得空间更巧妙，有人说它是“引入到几何中用来简化事物的一种艺术表达”（参考文献9）。显然，仿射坐标不能处理这个无穷远超曲面的问题，有一种作法就是用个坐标取代个坐标，并做一些规定，于是得到射影坐标，具体实现如下。设是代数闭域，定义上射影-空间为，其中“”表示一个等价关系：，。记为。这个定义告诉我们，可以把理解为维单位球面的对称点互粘所得到的几何体。我们把上一点的坐标，称为齐次坐标。且注意到，若是次齐次式，则，可见和同时为零或非零，因此只有齐次多项式才能判断上某点的零性，非齐次的不能。从这里我们看到，如果想按照上一小节仿射空间那样去处

11、理簇和理想，我们必须更加小心，加上一些限制，而这需要一些分次环的知识。令表示多项式环，一个多项式环是一个分次环。一个分次环，是群，理想称为齐次理想，如果。有如下事实：(1)是齐次的由齐次元生成；(2)齐次理想的和、积、交和求根都是齐次理想；(3)要证明齐次理想是素的，只需证明任意两个齐次元，由能够推出或者。至此，我们可以开始与仿射情况同样的工作。设是上一个齐次元素的集合,的零点集表示为。若是的一个齐次理想，定义，其中是中所有齐次元的集合。形如这样的集合称为的代数集。与“Hilbert零点定理”对应的，我们有：定理1.2.1（齐次零点定理） 令是一个齐次理想，若中有一个次数大于零的齐次多项式，满

12、足（中的零点集），则存在一个整数，使得。齐次零点定理对应的弱形式应该是：命题1.2.2 是一个齐次理想，则在中，或者，表示中所有次齐次多项式形成的子加群。证明 ：若，则对任意，必存在使得，也即。因为如果对某个，的任意次幂都不属于，必有（第位取1），这与矛盾。所以。：由齐次零点定理有，且或。从这个命题就可以很明显看出把在射影空间中把簇做代数处理时应该注意的问题。该命题还有如下一个小的应用。推论1.2.3 上任意两条曲线和（、是中不可约齐次多项式）相交非空。证明 =，并且不可能等于或者，再由命题（1.2.2）可知对的任意子集，定义在中的理想是由齐次且生成的理想。规定开集为代数集的补集，可得到的一个

13、拓扑，称为拓扑。定义1.2.1射影簇是指的不可约闭子集。射影簇的开子集称为拟射影簇。对应于第一小节的命题（1.1.5）和推论（1.1.6），射影簇和它的理想的转化有如下关系：命题1.2.4 设为中所有齐次多项式集合，则：(a)若(中)，则；(b)若(中)，则；(c)、，有；(d)设是齐次素理想且,则；(e)任一子集,。推论1.2.5 中的代数集与中去掉的齐次根理想之间通过，的方式，存在一反包含的对应；且一个代数集不可约当且仅当它的齐次理想是素理想。设是一代数集，同样可以定义的齐次坐标环。下面，我们需要讨论了仿射簇和射影簇的关系之后，才能对射影簇有进一步的研究。1.3 射影簇与仿射簇的关系正如我

14、们在上一小节所说的，人们从一开始研究射影空间（起初就是在仿射空间中加入无穷远曲面），就是为了“简化”仿射空间的事物，因此二者的密切关系是明显的。再试图考虑得更具体一些，比如，二维平面上的一条圆锥曲线，它在新坐标系下应该变成什么样子呢？一般，我们会想用和分别取代和：然后乘以就得到：。这个过程就是我们所谓的射影化。同样，射影空间的一个方程变到射影空间中去，我们会想到把其中一个变量变为1，这就是我们所谓的仿射化。一般情形是：令，中所有齐次元，两个映射： （多项式的仿射化），；（多项式的射影化），,为的次数。1.3.1 射影主开集到仿射空间的基本同胚映射与射影闭包射影-空间有一个仿射-空间做成的开覆盖

15、，于是射影簇有一个仿射簇做成的开覆盖，意即射影簇的“局部”是仿射簇。（）是的开集，不难看出所有的构成的一个开覆盖。定义一个映射： （去掉项）命题1.3.1.1 是从到的同胚映射。两者都是拓扑。证明 首先显然是双射，只需证双连续。不妨设，下面证明和都是闭映射。取是的闭子集，是中闭集，则，且不难得到。有等式。因为。反过来，取是的闭子集，则，则有等式。因为（）。注：（1） 此命题可以这样理解，一个射影（仿射）代数集的仿射化（射影化）相当于对它的理想做仿射化（）。（2）关于命题（1.3.1.1），还可以发现进一步的结果(沿用以上符号)：命题1.3.1.2 。进一步若是一个仿射簇，我们则把称为的射影闭包

16、。证明 当是仿射簇时，考虑不可约集的开子集是稠密的，该等式易证。当是代数集时，首先有这样一个事实：仿射-空间中的代数集均可唯一写成有限个不可约分支（即极大簇）的并，令，其中是仿射簇，则=。例1.3.1.1 令是例（1.1.1）中的三次挠线，其射影闭包仍记作称为中的三次挠线。设、为的齐次坐标，则=，。要验证这个等式只需要说明即可。并且是一个素理想，所以。接下来，我们就可以针对上一小节未解决的问题：比如坐标环的维数与簇的维数的关系，比如拟簇的维数与簇的维数的关系着手研究了。有了命题（1.3.1.1），我们在讨论射影簇的性质时，就可以尝试在局部上运用仿射簇的结论。命题1.3.1.3 是上的射影簇，是

17、它的齐次坐标环，则。特别的，。证明 令是1.3.1小节中所述的同胚映射，是中的仿射簇且是其坐标环。若，也即，有。作如下映射： 其中，表示（多项式环关于的局部化）中零次元所组成的集合，也构成环。不难看出，是同构的，且（*）。为证明该等式，首先作如下说明：设，是中齐次素理想，。由命题（1.3.1.1）的证明过程，有等式=，所以=。要证明（*），只需证，此等式不难验证。于是有=。所以=。两边取分式域，=，由定理（1.1.7）且和都是整环，有限生成-代数，=。则=，当、。又有这样一个事实：若拓扑空间有一个开覆盖，则=，于是=，所以=。命题1.3.1.4 若是拟射影簇，则。证明 ，不妨设=。可看作中的拟

18、仿射簇，由命题（1.1.8）有=，最后一个等号是来源于命题（1.3.1.3）的证明过程。1.3.2 射影簇的仿射锥射影空间中的一个点，去掉等价类的关系后再加上原点就是中的一条直线，那么按这种方式得到的高一维几何体应该是什么样子的呢？令是一非空代数集，将仿射坐标映到齐次坐标。定义的仿射锥为。命题1.3.2.1 (a)是上代数集，它的理想等于。此处是将看作上的一般理想；(b)不可约，当且仅当不可约；(c)。证明 (a)只需要证明即可。 。(b) 不可约是素理想是不可约的；不可约是齐次素理想不可约。(c)=，其中。1.4 射影空间的两个重要嵌入对射影簇来说，它以什么样的方式嵌入到一个仿射或者射影空间

19、中，对它的性质的影响是至关重要的，比如即使是一个同构嵌入，坐标环也可能发生变化。进一步学习之后，我们还可以看到奇异性质也会发生变化。下面，我们介绍最重要的两种嵌入方式。1.4.1 -重嵌入给定，令是所有的关于的次单项式，则。定义一个映射将点映成（此时将看作齐次多项式函数）。就称为到的重嵌入。令将映到的同态，令，因为是的子环，因而也是整环，所以是素理想。任取一个多项式，将写成分次直和形式，即齐次元的直和。，其中。，注意到将齐次多项式映到齐次多项式，其次数为。所以，也即，所以是齐次理想，因此是上的射影簇。命题1.4.1.1 证明 ：任取，有，即。：任取，则对（即对任意的），有。我们只需考察如下这些

20、单项式对应的：设。首先中必有一个不为0，事实上，对任意一个下标有（设），于是，若全部为，则，这是不可能的。设，令，则有。，只需要证明即可。对任意的，设， 因为有，所以一定有。在这里可以写出-重嵌入的逆映射，（）。命题1.4.1.2 是同胚映射。证明 首先双射是显然的（是嵌入映射，）。取中的闭子集，是中的齐次理想，不难证明。取中的闭子集，且，不难证明。因此是同胚的。例1.4.1.1 令是例（1.3.1.1）中描述的中的三次挠线，它是到上的3重嵌入像，也即。将， 和，则。例1.4.1.2 令是的2重嵌入像，、均如上所描述，这称为曲面。若是一条闭子集曲线（曲线是指维数为1的簇），是素理想且。设，因为

21、是同胚，所以，是不可约齐次多项式，于是，且因为有原像（其中是任取的中元素），则，从而，也即对上的任意一条闭子集曲线，存在一个超曲面，使得1.4.2 Segre嵌入 令，按字典序排列，则。不难看出，定义完好并且是单射，称为嵌入。命题1.4.2.1 的像是的子簇。证明 设，。令，首先按照-重嵌入中的方式证明是齐次素理想，然后证明。：，即，；:任取点，。不妨设，取，则。事实上，又因为且，所以，也即。例1.4.2.1 考虑的嵌入，令表示它的嵌入像，设表示的齐次坐标，则，称为上的二次曲线。令参量，则，是上的两族直线（维数为1的线性簇），且满足性质：若，则；若，则；是一个点，对所有的。1.5 簇的维数与理

22、想的生成元的个数问题我们现在已经形成这样的观念，仿射簇（射影簇）与素理想（齐次素理想）是一一对应的，因此如果要问一个簇的维数，只需要考虑它所对应的素理想的高度。在代数上，一个素理想的生成元个数与它的高度有如下基本定理：定理1.5.1（主理想定理） 令是一个Noether环，非零因子非单位，则每一个包含着元素的极小素理想的高度为。定理1.5.2令是一个环，中理想若由个元素生成，则包含的极小素理想有。证明 对作归纳。是，就是主理想定理；假设是成立。令，。取是包含的极小素理想，一定可以取到的一个极小素理想，使得。令，则是中包含的极小素理想，有主理想定理得=。再由定理（1.1.6），得=+（归纳假设）

23、。命题1.5.3 令是一个整环。则是唯一分解整环当且仅当每一个高度为的素理想都是主理想。命题1.5.4 令是（）中一个簇，当且仅当，是（）中非常数不可约多项式（齐次不可约多项式）。叫做（）上的超曲面。注：高度为的素理想不一定由两个元素生成。例如，是中一条曲线，其参数形式为，。=，。可以通过做同态映射，、证明，即证明是一个单同态，从而说明是一个素理想且=，则，不能由两个元素生成。命题1.5.5 令是（）中仿射簇（射影簇），是（）中超曲面。假设，则中每个不可约分支（极大不可约闭子集）的维数为。证明 当是中仿射簇，设，是不可约多项式，由得到。任取的一个不可约分支，它对应着一个中包含的极小素理想（是在

24、中的像）。在中既非零因子也非单位，据主理想定理有=，又，所以=。当是中射影簇，任取的一个不可约分支，必存在某个主开集使得设为。设是一个仿射簇，是一个仿射超曲面，显然是的不可约分支，又由命题（1.3.1.3）有，故根据前面所证。命题1.5.6 (1)令是由个元素生成的理想，则的每一个不可约分支的维数。(2)令是上的簇，若可由个元素生成，则。证明 (1)定理（1.4.2）直接可得。(2)设=，。存在一个主开集使得。，是中的仿射簇，由上面（1）的结论及命题（1.3.1.3）。第二章 态射在数学上，我们并不是孤立的去看待事物。人们总会试图用各种满意的合适的标准去划分事物，使它们在此标准下有重要的共性，

25、从而可以研究彼物来了解此物，最终达到满意的结果。对代数簇，我们也是一样的想法。那么，它们之间的这种关系，数学上称为映射，应该具备什么样的性质才具有研究价值呢？我们首先可以想到这个映射是同胚（因为簇有一个拓扑结构）但应当不只是同胚，鉴于簇与多项式联系紧密，那么是否还应当对有理函数满足一定的要求呢？答案是肯定的。不过，我们首先要明确，什么样的函数作用在簇上才是有效而且有威力的，即我们下面要先簇上的从正则函数开始说起。2.1 簇上的正则函数设是一个拟仿射簇。定义2.1.1 取，一个函数。称在点正则，如果存在的一个开领域，和多项式，使得在上处处不为零，且在上。在上正则，当且仅当在上每一点处正则。引理2

26、.1.1 上的正则函数是连续的。将看做拓扑。再考虑是一个拟射影簇。定义2.1.2 取，一个函数。称在点正则，如果存在的一个开领域，和同此齐次多项式，使得在上处处不为零，且在上。在上正则，当且仅当在上每一点处正则。注：(1)拟射影簇上的正则函数也是连续的；(2)设、都是簇上的正则函数。若存在某一个开集，在上有，则在整个上都有。2.2 簇的态射令是代数闭域，下面对任意仿射簇、拟仿射簇、射影簇、拟射影簇统称为簇。设是一个簇，定义的子簇为的一个不可约局部闭子集。一个拓扑空间的一个子集是局部闭的，若它是它本身闭包的一个开子集，或等价地说，它是一开集与闭集的交。不难看出，的子簇仍可看作全空间的簇。定义2.

27、2.1 令、是簇，的一个态射是指一个连续映射，使得对的任意一个开子集，和上任意一个正则函数，函数也是正则的。态射的复合仍是态射，因此与簇构成一个范畴。态射是一个同构态射，若存在一个逆态射，使得，。两个簇同构，是指它们之间存在一个同构态射。注意到，同构态射必是双射双连续的，但反之不成立，即一个是同胚映射的态射，不一定是同构态射。例2.2.1 令基本域的特征，且定义一个映射，。首先是双射。因为（特征为的代数闭域）任意元，都有解，即有原像，且因为，所以有且只有一个原像。其次由于中的闭集是有限点集，所以是连续的，故是一个同胚态射。但是其逆映射非正则，故不是态射，所以不是同构态射。下面我们要说明，态射在

28、子簇上的限制仍是态射。命题2.2.1 令是一个态射，、分别是、的子簇，并且，则是一个态射。证明 任取的开集，要证是正则的，即任取一点，在处正则。令，则，在点处正则，则存在开集，且在上无零点，考虑()，是中开集并且，是上的正则函数。由是态射，也是正则的，故是正则的，从而在处正则。2.3 簇上的函数环、与定义2.3.1 令是簇，定义：上的所有正则函数构成的环。取点，定义在上的局部环（）：点附近的正则函数的芽构成的环。中的一个元素是形如的一个对，其中是中含点的一个开子集，在上正则；并且规定上两个元素的相等，当在上有。用到2.1节中的注(2)，不难验证，这是一个等价关系。注意到是一个局部环，它的极大理

29、想为=，因为对于，则一定在的某一个开集上正则。通过做，得到剩余类域同构于。定义2.3.2 令是簇，定义的函数域如下：中的一个元素是以为代表的一个等价类，其中是的非空开子集，是上的正则函数；等价关系为：若上。中的元素称为上的有理函数。注：(1) 是一个域。因为是不可约的，所以它的任何两个非空开子集的交仍是非空的，因此可以在中定义加法和乘法：，。取，即，令，则就是的逆。(2) ，是一个自然单射，因为由2.1节中的注(2)不难得到的原像是，故通常将、看作的子环。一个点有局部环，一个子簇是否也可作成一个局部环呢？定义2.3.3 令是一个子簇，是形如的等价类做成的集合，其中是的开子集，且是上的正则函数。

30、我们把称为子簇在上的局部环。首先显然是一个环，并且还是一个局部环，它的极大理想为=。通过映射， 可知剩余类域，它不是代数闭域。从态射的定义我们就可以看出，它从簇的关系，诱导出一个函数环的关系，具体说来就是：令是一个态射，则任意点，取包含的的开子集，由可得到。令，不难验证是一个环同态，于是诱导出一个局部环的同态。引理2.3.1 若在中稠密，则是单射，对所有的。证明 任取、，且令=，下证=，即上，。=，设，则在上有，则在上有。因为是上的开集，所以在中稠密，故在中稠密，由条件在中稠密，得在中，也即在中稠密。在的一个稠密子集上有，则在上。引理2.3.2 一个态射是同构的，当且仅当是一个同胚并且局部环的

31、诱导同态是环同构，对所有的。证明 由于是一个同胚，故而有逆，只需说明是一个态射即可。下面让我们来分析两个具体的簇的函数环，看看它们到底是什么样子的。例2.3.1 设=-，下面说明。任取，则存在点，。又由于是连续的，故存在的一个开集，在上处处不为零，且，在上无零点，不妨设，是互素的。若不是一个常数，则，对任意点，且存在的开集，在上无零点。上，两边在处取值，得到，于是，也即。设，在中唯一分解为，、不可约并且任意和互素，上式也可写成，一定有，也即，这是不可能的。因此，是一个常数。例2.3.2 设，其中、是上分别由和定义的超平面（由线性齐次多项式定义的超曲面称为超平面），用例（2.3.1）的方式同样可

32、分析得到。上面的两个例子仿佛告诉我们，函数环与坐标环关系紧密，那么它们之间到底有什么关系呢？定理2.3.3 令是一个仿射簇，其仿射坐标环为，则(a)；(b)对每一点，令。则给出了一个从上的点到的极大理想之间的对应；(c)对每一个点，且；(d)的分式域，因此是的有限生成扩域，超越次数等于。证明 （参考文献）。定理2.3.4 令是一个射影簇，齐次坐标环为，则(a)；(b)对任意点，是由齐次，生成的理想，则，是指局部环中所有零次元做成的环；(c)，是指分式域中所有零次元做成的域。证明 （参考文献）。有必要说明的一点是，一个仿射簇的正则函数环与一个射影簇的正则函数环之间的差异，也正好体现着射影簇的“整

33、体性”和仿射簇的“局部性”。下面要说明，对任意一个簇和簇上任意一点，都有，这需要下面一个引理。引理2.3.5 在局部环的素理想和的包含点的闭子簇之间有一个对应。证明 若是一个拟簇，是一个仿射簇或射影簇，则=，并且的包含的闭子簇和的包含的闭子簇之间有一个对应。因为，是非空开子集，可取对应的方式如下()，()；若是一个射影簇，不妨设属于主开集，是一个仿射簇，则，并且的包含的闭子簇和的包含的闭子簇之间有一个对应：()，()；从而，只需考虑是仿射簇的情况，根据定理（2.3.3），所以局部环的素理想对应于中含于中的素理想对应于的包含点的闭子簇。进一步，对于上子簇的局部环我们有命题2.3.6 。证明 按照

34、引理（2.3.5）的证明思路，我们可以不妨设是仿射簇。设是在中取闭包，则有=。因为如果（是的开集），是的子簇则有（是的开集），不可约集的非空开子集之交仍是非空的，于是。因此我们又不妨设是的闭子簇。设是的坐标环，是子簇对应的中的素理想，即。将看作，则，通过映射将，可以得到，所以。根据态射的定义，我们显然可以从一个态射得到一个环同态，那么反过来呢？命题2.3.7 令是任意簇，是仿射簇，下面两个集合间存在一个自然双射左边指簇的态射，右边指-代数同态。证明 （参考文献）。推论2.3.8 若、是两个仿射簇，则同构于当且仅当-代数同构于。2.4 簇上的几个经典态射2.4.1 几个具体的同构态射命题2.4.

35、1.1 令是的主开集，则（同命题1.3.1.1）是簇的同构态射。例2.4.1.1 上任何二次曲线同构于或者-。设是上的任意一条二次曲线，由例（1.1.1）知或者,由推论（2.3.8）或者，其中，。且由例（1.1.1）和推论（2.3.8）知，映射-，是一个同构态射于是-，从而或者-。例2.4.1.2 上任意二次曲线同构于。上任一二次曲线，是二次齐次不可约多项式，可以通过线性变换变成形式，线性变换即是一种同构态射。做映射，它的逆映射为，或者，不难说明和都是态射，从而同构于。例2.4.1.3 若一个仿射簇同构于某一个射影簇，根据命题（2.3.7）与同构，又由定理（2.3.4），定理（2.3.3）知，

36、因此仿射簇只是一个点。命题2.4.2.2 1.4.1小节中所述的-重嵌入是一个同构态射。证明 首先是一个同胚映射，其次，（）正则性也易证。下面的例子用到-重嵌入是同构态射这一事实。例2.4.2.3(a)若是任意一个超曲面，则是仿射的（我们称一个簇是仿射的，当它同构于一个仿射簇）。设，是不可约齐次多项式且，作到的重嵌入，且。，取的是中的那个线性多项式。首先通过线性变换可将变作的一个主开集，从而同构于，于是同构于上的簇，也即上的簇。(b)若是一个维数的射影簇，是上任意一个超曲面，则。因为如果，则，由上面(a)知是仿射的，所以是仿射的，于是由例（2.4.1.3）得到是一个点，这与矛盾。2.4.2 从

37、一个点出发的投影令是上的一个超平面，点。定义一个映射，过、两点的直线与的交点。称为从点出发的投影。命题2.4.3.1 上述的是一个态射。证明 由于与，与之间都可通过射影变换同构，故不妨设，下面分析如何具体写出。设，将、看作中两条直线（参考(1.3.2)小节），在中确定一个平面，其参数方程为，与超平面作交，即得到。关于过、两点的直线可以这样去理解。取，如果是把右边这个参数形式放到中看，它显然是一条直线，（即把并入到中）就可以看作一条过、两点的射影直线。其实与上面的参数形式是一样的。的正则性是显然的，故只需证明连续。取上的闭集，不难说明（把看作的子集）。例2.4.3.1 令是上的三次挠线，由例（2

38、.4.2.1）可以把它看作到的-重嵌入像。若、是上的齐次坐标，也可以由这样的参数形式表示。令，且令是由定义的超平面。从点出发的投影将，它是上一条有尖点的三次曲线。总 结关于射影簇的性质的研究仍然是一个未尽的课题，而通过深入的学习可以知道态射是一种特殊的双有理映射。若用双有理映射对簇进行分类则实际等价于对基域的有限生成扩域实行分类，在这个方面会有更加奇妙的结论。代数几何的后续学习中，我们会使用概型和上同调的语言重新描述簇和态射，这种新的语言技术威力强大且描述深刻，因此，理解好古典代数几何有助于我们在具体和抽象中寻求直觉和技术的交合点，以进行深入的研究。谢 辞时光如白驹过隙，转眼间，四年的大学生活已将近尾声，在此期间有许多老师指引我走过丰富多彩的生活。在即将毕业之际，我要特别感谢我的毕业设计导师徐克舰教授，感谢徐老师在我的学习期间给予我的悉心指导和帮助！我从大四上学期开始在徐老师的指导下学习一些课程，这段学习生活使我深深感