九年级数学下册期末高效复习专题4相似三角形含解析浙教版0615288

1、1专题专题 4 4相似三角形相似三角形题型一比例线段、平行线分线段成比例定理例 1如图 1，已知abcdef，adaf35，be12，那么ce的长等于_245_图 1【解析】 abcdef，adafbcbe，即35bc12，bc365，cebebc12365245.【点悟】利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用左上左下右上右下，左上左全右上右全等关系分段寻找变式跟进1 2017镇江如图 2， abc中，ab6，deac， 将bde绕点b顺时针旋转得到bde，点d的对应点落在边bc上，已知be5，dc4，则bc的长为_2 34_图 2【解析】 由条件“deac”可得bdeb

2、ac，即有bdbabebc；由题意可得bebe5，bdbdbcdcbc4，ab6.设bcx， 由， 可列方程：x465x， 解得x2 34(负值舍去)，故bc的长为 2 34.题型二相似三角形的判定例 22017祁阳期末已知：如图 3，12，abacadae.图 32求证：ce.证明：在abe和adc中，abacadae，abadaeac，又12，abeadc，ce.【点悟】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定 3)或找夹边成比例(用判定 2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若

3、有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例变式跟进22017随州在abc中，ab6，ac5，点d在边ab上，且ad2，点e在边ac上，当ae_53或125_时，以a，d，e为顶点的三角形与abc相似【解析】 aa，分两种情况：当adaeabac时，adeabc，即2ae65，ae53；当adaeacab时，adeacb，即2ae56，ae125.综上所述，当ae53或125时，以a，d，e为顶点的三角形与abc相似32017嘉兴模拟已知：如图 4，四边形abcd是正方形，paq45，将paq绕着正方形

4、的顶点a旋转，使它与正方形abcd的两个外角ebc和fdc的平分线分别交于点m和n，连结mn.图 4(1)求证：abmnda；(2)连结bd，当bam的度数为多少时，四边形bmnd为矩形，并加以证明解：(1)证明：四边形abcd是正方形，3abcadcbad90，bm，dn分别是正方形的两个外角平分线，abmadn135，man45，bamand45dan，abmnda；(2)当bam22.5时，四边形bmnd为矩形证明：bam22.5，ebm45，amb22.5，bamamb，abbm，同理addn，abad，bmdn，四边形abcd是正方形，abdadb45，bdndbm90，bdndbm

5、180，bmdn，四边形bmnd为平行四边形，bdn90，四边形bmnd为矩形题型三相似三角形的性质例 3如图 5，把abc沿ab边平移到abc的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是abc的面积的一半，若ab 2，则此三角形移动的距离aa_ 21_图 5【解析】 设bc与ac交于点e，由平移的性质知，acac，beabca，sbeasbcaab2ab212，ab 2，ab1，aaabab 21.【点悟】(1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线的比等于相似比变式跟进442017自贡如图 6，在abc中，mnbc，分别交ab，

6、ac于点m，n，若am1，mb2，bc3，则mn的长为_1_图 6【解析】 mnbc，amnabc，amabmnbc.am1，mb2，bc3，112mn3，解得mn1.5如图 7，有一块三角形的余料abc，要把它加工成矩形的零件，已知：bc8 cm，高ad12 cm，矩形efgh的边ef在bc边上，g，h分别在ac，ab上，设he的长为ycm，ef的长为xcm.(1)写出y与x的函数关系式；(2)当x取多少时，四边形efgh是正方形？图 7解：(1)bc8 cm，高ad12 cm，he的长为ycm，ef的长为xcm，四边形efgh是矩形，akady12y，hgefx，hgbc，ahgabc，a

7、kadhgbc，即12y12x8，y1232x；(2)由(1)可知，y与x的函数关系式为y1232x，四边形efgh是正方形，heef，即xy，x1232x，解得x245.答：当x245时，四边形efgh是正方形题型四位似图形及其画法例 4如图 8，在平面直角坐标系中有abc，以点o为位似中心，相似比为 2，将abc5放大，则它的对应顶点的坐标为(c)图 8a.2，32 ，32，12 ，12，1b(8，6)，(6，2)，(2，4)c(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)d(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)【解析】 由坐标系可知

8、，点a，点b，点c的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，以点o为位似中心，相似比为 2，将abc放大，则它的对应顶点的坐标为(42，32)，(32，12)，(12，22)或(42，32)，(32，12)，(12，22)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(8，6)，(6，2)，(2，4)【点悟】如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于k或k.变式跟进62017烟台如图 9，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为 1.aob与aob是以原点o为位似中心的位似图形，且相似比为 32，点a，b都在格点上，则点b 的坐标是2，43图 9【解析】 由

9、题意，将点b的横、纵坐标都乘以23，得点b的坐标由b的坐标(3，2)，得b的坐标2，43 .7如图 10，在平面直角坐标系中，abc的三个顶点坐标分别为a(2，4)，b(3，2)，c(6，63)(1)画出abc关于x轴对称的a1b1c1；(2)以m点为位似中心，在网格中画出a1b1c1的位似图形a2b2c2，使a2b2c2与a1b1c1的相似比为 21；(3)求出a2，b2，c2三点的坐标图 10第 7 题答图解：(1)如答图所示，a1b1c1即为所求；(2)如答图所示，a2b2c2即为所求；(3)a2(3，6)；b2(5，2)；c2(11，4)题型五相似三角形的综合例 52017泰安如图 1

10、1，四边形abcd中，abacad，ac平分bad，点p是ac延长线上一点，且pdad.(1)证明：bdcpdc；(2)若ac与bd相交于点e，ab1，cecp23，求ae的长图 11例 5 答图解：(1)证明：abad，ac平分bad，acbd，acdbdc90，acad，acdadc，pdad，adcpdc90，bdcpdc；(2)如答图，过点c作cmpd于点m，bdcpdc，cecm，7cmpadp90，pp，cpmapd，cmadpcpa，设cmcex，cecp23，pc32x，abadac1，x132x32x1，解得x13，ae11323.变式跟进8 2017甘肃如图 12， abc

11、和def是两个全等的等腰直角三角形， bacedf90，def的顶点e与abc的斜边bc的中点重合，将def绕点e旋转，旋转过程中，线段de与线段ab相交于点p，线段ef与射线ca相交于点q.(1)如图，当点q在线段ac上，且apaq时，求证：bpecqe；(2)如图，当点q在线段ca的延长线上时，求证：bpeceq，并求当bp2，cq9 时bc的长图 12解：(1)证明：abc是等腰直角三角形，bc45，abac，apaq，bpcq，e是bc的中点，bece，在bpe和cqe中，bece，bc，bpcq，bpecqe(sas)；(2)abc和def是两个全等的等腰直角三角形，bcdef45，

12、beqeqcc，8即bepdefeqcc，bep45eqc45，bepeqc，bpeceq，bpcebecq，bp2，cq9，bece，be218，bece3 2，bc6 2.过关训练12017兰州模拟若abcabc，已知ab6 cm，ab3 cm，则abc与abc的面积比为(d)a12b21c14d41【解析】 abcabc，ab6 cm，ab3 cm，其相似比abab6321，abc与abc的面积比(abab)241.2 2017常熟期末如图 1， abc中，d，e分别在ab，ac上， 下列条件中不能判断adeacb的是(d)aadecbaedbc.adacaeabd.adacdebc图

13、1图 232017潍坊如图 2，在abc中，abac，d，e分别为边ab，ac上的点，ac3ad，ab3ae，点f为bc边上一点，添加一个条件：_abfd(答案不唯一，合理即可)_，可以使fdb与ade相似(只需写出一个)【解析】 ac3ad，ab3ae，adacaeab13，又aa，adeacb，aedb.故要使fdb与ade相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可42017六盘水如图 3，在abcd中，对角线ac，bd相交于点o，在ba的延长线上取一点e，连结oe交ad于点f.若cd5，bc8，ae2，则af_169_9图 3第 4 题答图【解析】 如答图，过o点作omad，

14、四边形abcd是平行四边形，obod，om是abd的中位线，ambm12ab52，om12bc4，afom，aefmeo，aeemafom，2252af4，af169.5如图 4，在abc中，bac90，abac，点d，e分别在bc，ac上，且ade45.(1)求证：abddce；(2)若ab2，bd1，求ce的长图 4解：(1)证明：bac90，abac，bc45，又decadecad45cad，同理adbccad45cad，decadb，又bc45，abddce；(2)ab2，bc2 2，abddce，abbdcdce，212 21ce，ce2 212.6如图 5，在正方形abcd中，e是

15、bc的中点，f是cd上一点，aeef，有下列结论：bae30；sabe4secf；cf13cd；abeaef.正确结论的个数是(b)10图 5a1 个b2 个c3 个d4 个【解析】 先根据正方形的性质与同角的余角相等，证得baecef，则可证得正确，错误；利用有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可证得abeaef，正确故选 b.7如图 6，在 rtabc中，bac90，ab15，ac20，点d在边ac上，ad5，debc于点e，连结ae，则abe的面积等于_78_图 6第 7 题答图【解析】 如答图，连结ae.在 rtabc中，bac90，debc于点e，bacced90，cdecba，

16、cecacdcb20525，故ce12，be251213，sabe1325sabc，sabc150，sabe132515078.82017内江如图 7，四边形abcd中，adbc，cm是bcd的平分线，且cmab，m为垂足，am13ab.若四边形abcd的面积为157，则四边形amcd的面积是_1_图 7第 8 题答图【解析】 如答图，分别延长ba和cd交于点e.am13ab，am12bm.cm是bcd的平分线，cmab， embm.am12em， ae12em， ae14be.adbc， eadebc， seadsebc11142，即seadsead157116，解得sead17，sebc1

17、7157167，s四边形amcd12sebcsead12167171.92017门头沟区期末在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：已知：如图 8，在abc中，点d是ba边延长线上一动点，点f在bc上，且cfbf12，连结df交ac于点e.图 8(1)当点e恰为df的中点时，请求出adab的值；(2)当deefa(a0)时，请求出adab的值(用含a的代数式表示)思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点f作fgab交ac于点g，构造相似三角形解决问题；乙：过点f作fgac交ab于点g，构造相似三角形解决问题；丙：过点d作dgbc交ca延长线于点g，构造相似三角形解决问题；老师说：“这三位同学的想法都可以” 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问adab的值解：(1)甲同学的想法：如答图，过点f作fgab交ac于点g.gfeade，fgedae，aedgef，adgfedef.e为df的中点，edef，adgf.fgab，cgfcab，gfabcfcb，cfbf12，cfcb13.adabgfabcfcb13.12第 9 题答图第 9 题答图乙同学的想法：如答图，过点f作fgac交ab于点g，则adagedef.e为df的中点，edef，adag，fgac，agabcfcb.cfbf12，cfcb13.adabagabcfcb