浙江专用高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数1第6讲对数与对数函数学案101

1、 - 1 - 第第 6 6 讲讲 对数与对数函数对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果axn(a0，且a1)，那么x叫做以a为底n的对数，记作xlogan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：alogann；logaabb(a0，且a1). (2)对数的运算法则 如果a0 且a1，m0，n0，那么 loga(mn)logamlogan； logamnlogamlogan； logamnnlogam(nr r)；

2、 logammnnmlogam(m，nr r，且m0). (3)对数的重要公式 换底公式：logbnloganlogab(a，b均大于零且不等于 1)； logab1logba，推广 logablogbclogcdlogad. 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质 a1 0a1 时，y0； 当 0 x1 时，y1 时，y0； 当 0 x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 4.反函数 指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象

3、关于直线yx对称. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)log2x22log2x.( ) (2)函数ylog2(x1)是对数函数( ) (3)函数yln1x1x与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (4)当x1 时，若 logaxlogbx，则a0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) a.a1，c1 b.a1，0c1 c.0a1 d.0a1，0c1 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以 0a0，即 logac0，所以 0cbc b.acb c.cba d.cab 解析 0a1，b1. cab. 答案 d 4.(2017湖州调研)已知a0

4、且a1，若a32278，则a_；log32a_. - 3 - 解析 a0 且a1，由a32278得a2782332294；log32alog32942. 答案 94 2 5.(2015浙江卷)计算：log222_；2log23log43_. 解析 log222log22log2212112； 2log23log432log232log4332log4332log2333. 答案 12 33 6.若 loga340，且a1)，则实数a的取值范围是_. 解析 当 0a1 时，loga34logaa1，解得 0a1 时，loga341. 答案 0，34(1，) 考点一 对数的运算 【例 1】 (1)

5、设 2a5bm，且1a1b2，则m等于( ) a.10 b.10 c.20 d.100 (2)计算：lg14lg 25 10012_. 解析 (1)由已知，得alog2m，blog5m， 则1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102. 解得m10. (2)原式(lg 22lg 52)10012lg1225210lg 1021021020. 答案 (1)a (2)20 规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法

6、则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)abnblogan(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意 - 4 - 互化. 【训练1】 (1)(2017北京东城区综合练习)已知函数f(x)2x，x4，f（x1），x4，则f(2log23)的值为( ) a.24 b.16 c.12 d.8 (2)(2015安徽卷)lg522lg 2121_. 解析 (1)因为 32log230，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是( ) (2)(2017金华调研)已知函数f(x)log2x，x0，3x，x0，且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则

7、实数a的取值范围是_. 解析 (1)由于ya|x|的值域为y|y1， a1，则ylogax在(0，)上是增函数， 又函数yloga|x|的图象关于y轴对称. 因此yloga|x|的图象应大致为选项 b. (2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上截距. 由图可知，当a1 时，直线yxa与ylog2x只有一个交点. 答案 (1)b (2)a1 规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解

8、. 【训练 2】 (1)函数y2log4(1x)的图象大致是( ) - 5 - (2)当 0 x12时，4xlogax，则a的取值范围是( ) a.0，22 b.22，1 c.(1，2) d.(2，2) 解析 (1)函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除 a、b； 又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除 d. (2)由题意得， 当 0a1 时， 要使得 4xlogax0 x12， 即当 0 x12时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方.又当x12时，4122，即函数y4x的图象过点12，2 .把点12，2 代入ylogax，得a22.若函数y4x的图象在函数yl

9、ogax图象的下方，则需22a1 时，不符合题意，舍去. 所以实数a的取值范围是22，1 . 答案 (1)c (2)b 考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度一 比较对数值的大小 【例 31】 (2016全国卷)若ab0，0c1，则( ) a.logaclogbc b.logcalogcb c.accb 解析 由yxc与ycx的单调性知，c、d 不正确. ylogcx是减函数，得 logcalogcb，b 正确. logaclg clg a，logbclg clg b，0c1，lg c0.而ab0，lg alg b，但不能确定 - 6 - lg a，lg b的正负，logac与 l

10、ogbc的大小不能确定. 答案 b 命题角度二 解对数不等式 【例 32】 若 loga(a21)loga2a0 且a1，故必有a212a， 又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1，a12.综上，a12，1 . 答案 c 命题角度三 对数型函数的性质 【例 33】 已知函数f(x)loga(3ax). (1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)a0 且a1，设t(x)3ax， 则t(x)3ax为减函数， x0，2时，

11、t(x)的最小值为 32a， 当x0，2时，f(x)恒有意义， 即x0，2时，3ax0 恒成立. 32a0.a0 且a1，a(0，1)1，32. (2)t(x)3ax，a0， 函数t(x)为减函数. f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat为增函数， a1，x1，2时，t(x)最小值为 32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)， 32a0，loga（3a）1，即acb b.bca c.cba d.cab (2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1 在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_. 解析 (1)alog32log331，blog52log22

12、1， 所以，c最大. 由 1log231log25，即ab， 所以cab. (2)当a1 时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1 在区间1，2上恒成立， 则f(x)minloga(82a)1， 解之得 1a83. 若 0a1 在区间1，2上恒成立， 则f(x)minloga(8a)1，且 82a0. a4，且a1 且b1 或 0a1 且 0b0； 当a1 且 0b1 或 0a1 时，logab0. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不 - 8 - 同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1 交点的横坐标进行判定. 易错防范 1.在对数式中，真数必须是大于 0 的，所以