3.2.2 直线的两点式方程优秀课件

1、3.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程)(00 xxkyy bkxy 不含与不含与x轴轴垂直的直线垂直的直线不含与不含与x轴轴垂直的直线垂直的直线知识回顾：知识回顾：若已知直线经过两点定点若已知直线经过两点定点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)，存在斜率，然后求出直线的斜率，存在斜率，然后求出直线的斜率， 在上一节我们学习了已知直线上一定点在上一节我们学习了已知直线上一定点P0(x0, y0)和直线的斜率和直线的斜率k，可以用，可以用点斜式点斜式表示直线方程表示直线方程:)(00 xxkyy 何求直线的方程呢？何求直线的方程呢？可根据已知两点的坐标，可根据已知两点的坐标，又如又如先

2、判断是否先判断是否也就是说，已知两点坐标也能表示直线方程也就是说，已知两点坐标也能表示直线方程.利用点斜式求直线方程利用点斜式求直线方程.这节课我们就来学习用两点坐标来表示直线方程这节课我们就来学习用两点坐标来表示直线方程. 已知直线已知直线l 经过两点经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 求直线求直线l 的方程的方程.xxxxyyyy121121 直线方程的直线方程的两点式两点式).(112121xxxxyyyy 化简为化简为1212xxyyk 由点斜式方程得由点斜式方程得2(其中其中 x1 x2 , y1 y2 )若斜率存在，若斜率存在， 即即x1 x2 时时xxxxyy

3、yy121121 直线方程的两点式：直线方程的两点式：)(2121xxyy 且且若点若点P1(x1, y1), P2(x2, y2)中有中有 x1 x2 ,或或 y1 y2 , 此时这两点的直线此时这两点的直线 的方程是什么？的方程是什么？l: x = x1l: y = y1 .6完成课本完成课本p97练习题第练习题第1题题. 例例1 直线直线l与与x轴的交点是轴的交点是A(a, 0)，与，与y轴的交点轴的交点是是B(0, b)，其中，其中a 0, b 0 , 求直线求直线l 的方程的方程.解：解：两两点点，代代入入两两点点式式，经经过过直直线线), 0()0 ,(bBaAl,000aaxby

4、 得得. 1 byax即即这里这里 a叫做直线在叫做直线在 x 轴上的截距（轴上的截距（横截距横截距），），1 byax 直线方程的直线方程的截距式截距式b叫做直线在叫做直线在 y 轴上的截距轴上的截距（纵坐标纵坐标）.xyOABl1 byax直线方程的截距式：直线方程的截距式：)0, 0( ba注意：注意：截距可以取全体实数，但截距式方程中的截距，截距可以取全体实数，但截距式方程中的截距，是指非零的实数是指非零的实数 ，点的直线方程，点的直线方程，因此截距式方程不包括过原因此截距式方程不包括过原不包括与坐标轴垂直的直线方程不包括与坐标轴垂直的直线方程.xyO.9完成课本完成课本p97练习题第

5、练习题第2、3题题.xxxxyyyy121121 1 byax)(00 xxkyy bkxy 解：解：,)5(3)5(030 xy01583 yx故直线故直线AB的方程为的方程为 例例2 三角形的顶点是三角形的顶点是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程。，求这个三角形三边所在直线的方程。直线直线AB过过A(5，0),B(3，3) 由由两点式：两点式：即即. 01583 yx直线直线BC过过B(3，3),C(0，2), 由由斜截式：斜截式：20323 xy得得得得235 x故直线故直线BC的方程为的方程为. 0635 yx直线直线AC过过A(5，0),C(0，

6、2)， 由由截距式：截距式：得得125 yx01052 yx即即为为AC直线的方程直线的方程.解：解： 变式：变式： 三角形的顶点是三角形的顶点是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求，求(1)BC边上中线所在直线的方程；边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程边上中垂线所在直线的方程.(1)由已知得，由已知得， BC边的中点边的中点)223,203( M)21,23( MBC边上的中线过点边上的中线过点A、M ,BC边上中线所在直线的方程为边上中线所在直线的方程为:52350210 xy即即. 0513 yx(

7、2)由由AB边上高线过边上高线过C(0，2)， 且垂直于且垂直于AB, 得得AB边上高线所在直线的方程边上高线所在直线的方程:)5(0 xky其中其中1 ABkk1 ABk解：解： 变式：变式： 三角形的顶点是三角形的顶点是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求，求(1)BC边上中线所在直线的方程；边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程边上中垂线所在直线的方程.(2)由由AB边上高线过边上高线过C(0，2)， 且垂直于且垂直于AB,故故AB边上高线所在直线的方程边上高线所在直线的方程:)5(380 xyABkk

8、1 高线的斜率为高线的斜率为，38 即即. 04038 yx解：解： 变式：变式： 三角形的顶点是三角形的顶点是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求，求(1)BC边上中线所在直线的方程；边上中线所在直线的方程；(2)AB边上高线所在直线的方程；边上高线所在直线的方程；(3)AC边上中垂线所在直线的方程边上中垂线所在直线的方程.(3) AC边上中垂线过边上中垂线过AC边的中点边的中点),1,25( N且垂直于且垂直于AC,ACkk1 垂线的斜率为垂线的斜率为，25 AC边上中垂线所在直线的方程为：边上中垂线所在直线的方程为：)25(251 xy即即. 021410 yxN.15.2312

9、. 5的直线方程为，且斜率是与两坐标轴围成的面积例例例6.直线直线l 经过点经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，且在两坐标轴上的截距相等，求直线求直线 l 的方程的方程因此直线因此直线 l 不与不与 x、y 轴垂直，斜率存在，且轴垂直，斜率存在，且 k 0解法一：解法一：由于直线由于直线 l 在两轴上有截距，在两轴上有截距，可设直线方程为可设直线方程为 )3(2xky，令0 x，则23 ky，则kx23，令0y由题设可得由题设可得 kk2323.321或 k l 在在 y 轴上有截距为轴上有截距为.23 kb l 在在 x 轴上有截距为轴上有截距为.23ka直线直线 l 的方程为的方程

10、为 )3(2xy) 3(322xy或或即05 yx.032 yx。边中线所在直线的方程，求重心的的两个顶点已知例ABGABCBAABC) 1 , 1(),1 , 2(),0 , 3(. 3解：解：, ）（设baC1311323ba则有, 2, 2ba解得.22 ），（即C, ) 1 , 1(GABC的重心又的方程为直线由直线方程的两点式得CE,121121xy. 0 yxAB为边中线所在的直线方程所以。边中线所在直线的方程，求重心的的两个顶点已知例ABGABCBAABC) 1 , 1(),1 , 2(),0 , 3(. 3另解：另解：, )21,21(MAB中点边中线所在的直线方程由直线方程的

11、两点式得AB,)21(1)21(21121xy. 0 yxAB为边中线所在的直线方程所以 AB 边中线过边中线过 AB 边中点边中点M 和和ABC 的重心的重心 ，的重心) 1 , 1(GABC例例4.直线直线l 经过点经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，且在两坐标轴上的截距相等，求直线求直线 l 的方程的方程因此直线因此直线 l 不与不与 x、y 轴垂直，斜率存在，且轴垂直，斜率存在，且 k 0解法一：解法一：由于直线由于直线 l 在两轴上有截距，在两轴上有截距，可设直线方程为可设直线方程为 )3(2xky，令0 x，则23 ky，则kx23，令0y由题设可得由题设可得 kk2323

12、.321或 k l 在在 y 轴上有截距为轴上有截距为.23 kb l 在在 x 轴上有截距为轴上有截距为.23ka直线直线 l 的方程为的方程为 )3(2xy) 3(322xy或或即05 yx.032 yx例例4.直线直线l 经过点经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，且在两坐标轴上的截距相等，求直线求直线 l 的方程的方程解法二：解法二：1ayax由已知可设直线由已知可设直线 l 方程为方程为 )0( a则由直线则由直线l 经过点经过点(3，2)得得123aa.5 a 直线直线 l 的方程为的方程为 .05 yx，若0a则直线则直线l 经过点经过点(0，0) ,又直线又直线l 经过点

13、经过点(3，2) ，xy32 直线直线 l 的方程为的方程为 .032 yx即综上所述直线综上所述直线 l 的方程为的方程为 或05 yx.032 yx，320302lk程。最小时，求此直线的方两坐标轴上的截距之和半轴相交，当直线在）作直线与两坐标轴正，（过点例41. 5P解：解：),0, 0( 1babyax设直线方程为),4 , 1 (P直线过点141babaabba45abba4259abba4当，达到最小值时，即96, 3baba, 163yx此时直线的方程为. 062 yx即)41)(baba，且)0, 0( 141baba例例 6.解：解：),0, 0( 1babyax设直线方程为

14、则则由直线通过点（由直线通过点（1，2），得），得 121ba2bbabaSAOB21bbb221)2(22bb)2( b)44(21此时，此时，a = 2 ，142yxl方程为直线4.042 yx即方程。并求出此时两条直线的，轴的交点间的距离最小为何值时这两条直线与为锐角），当（角为线中，一条直线的倾斜）的两条互相垂直的直，（过点例yP13. 7xyPo解：解：.tan1)2tan(由.tank令).3(11),3(1xkyxky和可设两条直线的方程为).31 , 0()31 , 0(, 0kkx和得交点为令|3131 |21kkyy两点间距离为|1|3kk . 6时，距离取得最小值，当且仅

15、当|1|kk 为锐角，1k此时所求直线为时两交点间距离最小，当045)|1|(|3kk . 42xyxy和例例 6.可设直线可设直线 l 方程为：方程为：) 1(2xky令令，0y得得kx21即即)021 (，kA 令令，0 x得得ky 2即即)20(kB，正方向正方向即即.0k解：解：|21OBOASAOB)2)(21 (21kk)4(212kk，0k，0k)4(212kkSAOBkk4)(2212.4当且仅当当且仅当，kk4即即2k时，时，.4)(minAOBS故所求直线故所求直线 l 方程为：方程为：) 1(22xy即即.042 yx解：解：由已知可设直线由已知可设直线 l 方程为：方程

16、为：)1(2 xky)0( k令令，0 y得得kx21 即即)021(，kA 令令，0 x得得ky 2即即)20(kB ，.|21程程最小时，求此直线的方最小时，求此直线的方交，当交，当半轴相半轴相）作直线与两坐标轴正）作直线与两坐标轴正，（过点过点PBPAP ，又又)21(P，11244|22 kkPA，1|2 kPB1112|22 kkPBPA22122kk 222 4 ，221kk 当且仅当当且仅当即即1 k时，时，取最小值取最小值 4|PBPA 此时所求直线方程为：此时所求直线方程为：，)1(2 xy即即.03 yx变式：变式：课堂练习).0 , 0()5, 4() 3();0 , 5()5 , 0()2();3, 0() 1 , 2(1. 121DCBAPP、）（截式方程：两点式方程，再化成斜求过下列两点的直线的解：202131) 1 (xy. 32 xy050505)2(xy2405) 3(xy. 5xy.45xy 小节：xxxxyyyy121121)(2121yyxx且1 两点式两点式 . 1byax2 截距式截距式)0, 0(ba的方程。，求直线后得到直线点逆时针旋转，把已知直线绕的横坐标是上一点直线例llPPyx090301. 4解：解：, 4, 013yyxx得代入直线方程把)4 , 3