高考数学二轮复习 专题对点练20 随机变量及其分布 理

1、专题对点练20随机变量及其分布1.(2017山东潍坊一模,理18)甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜歌名活动,在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首.若有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮.该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是34,乙猜对歌名的概率是23,丙猜对歌名的概率是12.甲、乙、丙猜对互不影响.(1)求该小组未能进入第二轮的概率;(2)记乙猜对歌曲的次数为随机变量,求的分布列和数学期望.解 (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件a,其对立事件为a,则p(a)=1-p(a)=1-34×23&

2、#215;12=34.(2)由题意可得的可能取值为0,1,2,3.p(=0)=1-34+34×1-23=12,p(=1)=34×23×12×34×1-23+34×23×12×1-34+34×23×1-12=38,p(=3)=34×23×12×34×23×12×34×23=132,p(=2)=1-p(=0)-p(=1)-p(=3)=332.故的分布列为0123p1238332132e()=0×12+1×38+

3、2×332+3×132=2132.2.某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记x表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求x的分布列;(2)若要求p(xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购

4、买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而p(x=16)=0.2×0.2=0.04;p(x=17)=2×0.2×0.4=0.16;p(x=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;p(x=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;p(x=20)=2×0.2×0.4+0.

5、2×0.2=0.2;p(x=21)=2×0.2×0.2=0.08;p(x=22)=0.2×0.2=0.04.所以x的分布列为x16171819202122p0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知p(x18)=0.44,p(x19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,e(y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19

6、15;200+3×500)×0.04=4 040.当n=20时,e(y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.3.(2017贵州贵阳二模,理18)医学上某种还没有完全攻克的疾病,治疗时需要通过药物控制其中的两项指标h和v.现有三种不同配方的药剂,根据分析,a,b,c三种药剂能控制h指标的概率分别为0.5,0.6,0.75,能控制v指标的概率分别是0.6

7、,0.5,0.4,能否控制h指标与能否控制v指标之间相互没有影响.(1)求a,b,c三种药剂中恰有一种能控制h指标的概率;(2)某种药剂能使两项指标h和v都得到控制就说该药剂有治疗效果.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数x的分布列.解 (1)a,b,c三种药剂中恰有一种能控制h指标的概率为p=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275.(2)a有治疗效果的概率为pa=0.5×0.6=0.3,b有治疗效果的概率为pb=0.6×

8、0.5=0.3,c有治疗效果的概率为pc=0.75×0.4=0.3,a,b,c三种药剂有治疗效果的概率均为0.3,可看成是独立重复试验,即xb(3,0.3).x的所有可能取值为0,1,2,3,p(x=k)=c3k×0.3k×(1-0.3)3-k,即p(x=0)=c30×0.30×(1-0.3)3=0.343,p(x=1)=c31×0.3×(1-0.3)2=0.441,p(x=2)=c32×0.32×(1-0.3)=0.189,p(x=3)=c33×0.33=0.027.故x的分布列为x0123p

9、0.3430.4410.1890.027导学号168042094.(2017福建厦门二模,理19)2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分z服从正态分布n(,210),近似为这1 000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布求p(50.5<z<94).(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制

10、定如下奖励方案:得分不低于可获赠2次随机话费,得分低于则只有1次;每次赠送的随机话费和对应概率如下:赠送话费(单位:元)1020概率2313现有一位市民要参加此次问卷调查,记x(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求x的分布列.附:21014.5,若zn(,2),则p(-<z<+)0.682 7,p(-2<z<+2)0.954 5.解 (1)e(z)=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65,=65,=21014.5,p

11、(50.5<z<79.5)0.682 7,p(36<z<94)0.954 5,p(79.5<z<94)0.954 5-0.682 72=0.135 9,p(50.5<z<94)=p(50.5<z<79.5)+p(79.5<z<94)0.682 7+0.135 9=0.818 6.(2)p(z<)=p(z)=12,x的所有可能取值为10,20,30,40,p(x=10)=12×23=13,p(x=20)=12×13+12×23×23=718,p(x=30)=12×23×13+12×13×23=29,p(x=