圆锥曲线轨迹问题题型分析

1、有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方 程的实质是将“形”转化为“数” ，将“曲线”转化为“方程” ，通过对方程的研究来认识曲 线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该 内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化 思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考 的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题 和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几

2、何等知识，能很好 地反映学生在这些能力方面的掌握程度 。求轨迹方程的的基本步骤： 建设现代化（检验）建（坐标系） 设（动点坐标） 现（限制条件，动点、已知点满足的条件） 代（动点、已知点坐 标代入） 化（化简整理） 检验（要注意定义域“挖”与“补” ）求轨迹方程的的基本方法： 直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。1直接法： 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关 系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；例 1、已知直角坐标系中，点 Q（ 2，0），圆 C 的方程为x 当 1时，方程化为 （x 22 ）2 y2

3、 1 2 3 2 表示一个圆。2 1 （ 2 1）2如图，圆O1与圆 O2 的半径都是 1，O1O2 4. 过动点 P分别作圆 O2、圆O2 的切线 PM，PN yM，N 分别为切点），使得 PM 2PN . 试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程 . 1，动点 M 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数（ 0） ，求动点 M的轨迹。2 2 2【解析】 设 MN切圆 C于 N，则 MN 2 MO 2 ON 2。设 M （x,y）, 则x2 y2 1 （x 2）2 y2 化简得 （ 解析】 以O1O2的中点 O为原点， O1O2所在直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 1）（x2

4、y2 ） 4 2x （1 4 2） 0 （1） 当 1 时，方程为 x 则O1（ 2，0） ， O2 （2，0） . ，表示一条直线。4由已知 PM2PN ，得 PM 2 2PN因为两圆半径均为 1，所以22PO12 1 2(PO22 1).设 P(x，y) ，则22 22(x 2)2 y2 1 2(x 2)2 y2 1 ，即 (x 6)2 y2 33.( 或 x2 y2 12x 3 0)评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系 , 设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明 可以省略，但要注意“挖”与“补” 。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2

5、定义法： 运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ，可从曲线定义出发直接 写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例 2、已知动圆过定点 p,0 ，且与直线 x p 相切，其中 p 0. 22求动圆圆心 C 的轨迹的方程；【解析】 如图，设 M 为动圆圆心， p,0 为记为 F ，过点 M 作直2线 x p 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF MN 即动点 M 到 2定点 F 与定直线 x p 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的2轨迹为抛物线，其中 F p,0 为焦点， x p 为准线，所以轨迹方程为 y2 2px(P 0)； 22 已知圆 O的方程为

6、x 2+y2=100,点 A的坐标为( -6 ，0)，M为圆 O上任一点， AM的垂直平 分线交 OM于点 P，求点 P 的方程。解析】 由中垂线知， PA PM 故 PA PO PM PO OM 10，即 P 点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为( -3 ，0)，22故 P点的方程为 (x 3) y 125 25 16已知 A、B、C是直线 l 上的三点，且 |AB|=|BC|=6 ， O切直线 l 于点 A，又过 B、C作 O异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程 .【解析】 设过 B、C异于 l 的两切线分别切 O于 D、E两点， 两切线交于点 P.由切线的性

7、质知： |BA|=|BD| ，|PD|=|PE| ，|CA|=|CE| ，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 >6=|BC| ，故由椭圆定义知，点 P的轨迹是以 B、 C为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，22可求得动点 P的轨迹方程为： x y 181 72评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定 义条件。三、相关点法： 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P（x,y） 却随另一动点 Q（x'， y'

8、; ）的运动而有规律的运动，且动点 Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x',y ' 表示为 x,y 的式子，再代入 Q的轨迹方程，然而整理得 P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。 几何法： 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条 件，然而得出动点的轨迹方程。例 3、如图，从双曲线 x2-y 2=1上一点 Q引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N。求线段 QN的中点 P的轨迹方程。【解析】 设动点 P 的坐标为（ x,y ）, 点 Q的坐标为（ x1,y 1） 则 N（ 2x-x 1,2y-y 1）代入 x+y=2, 得 2x-x 1+2y-y

9、 1=2又 PQ垂直于直线 x+y=2，故 y y1 1 ，即 x-y+y 1-x 1=0x x1由解方程组得 x1 3x 1 y 1,y1 1 x 3 y 1, 代入1 2 2 1 2 2 双曲线方程即可得 P点的轨迹方程是 2x2-2y 2-2x+2y-1=022已知椭圆 ax2 by2 1（a b 0）的左、右焦点分别是 F1c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 |F1Q| 2a.点P是线段 F1Q与该椭圆的交点，点 T在线段 F2Q上，并且满足 PT TF2 0,|TF2 | 0.求点 T 的轨迹 C的方程； 【解析】 解法一：（相关点法）设点 T的坐标为 （x,y）. 当

10、|PT | 0时，点（ a ，0）和点（ a ，0）在轨迹上 .当| PT | 0且|TF2 | 0时，由 PT TF2 0，得PT TF2 .又 |PQ| |PF2 |，所以 T为线段 F2Q的中点 .设点 Q的坐标为（ x ,y ），则xxc2 y y2 .因此 x 2x c, y 2y.由 |F1Q | 2a得 （x c）2 y 2 4a2 .将代入，可得 x2 y2 a2.综上所述，点 T 的轨迹 C的方程是 x2 y2 a2. 解法二：（几何法） 设点 T的坐标为 （x, y）.当 |PT | 0 时，点（ a，0）和点（ a ，0）在轨迹上 .当| PT| 0且|TF2 | 0时，

11、由| PT | |TF2 | 0，得PT TF2.又 |PQ| |PF2 |，所以 T为线段 F2Q的中点 .1在 QF1F2中， | OT | 1|F1Q| a，所以有 x2 y2 a2.综上所述，点 T 的轨迹 C的方程是 x2 y2 a2.评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法 四、参数法： 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中 间变量（参数），使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方 程。例 4、在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y=x2上异于坐标原点 O的两不同动点 A、B 满足

12、 AOBO（如图 4所示）. 求AOB的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；解析】解法一：以 OA的斜率 k为参数由 yy xkx2解得 A（k，k2）1 11 1 OAOB， OB： y1x由 y kx解得B 1, 12k y x2k k211xk设 AOB的重心 G（ x， y），则3ky 1 k 2 123 k2消去参数 k得重心 G的轨迹方程为 y 3x2 2x1 x2 x3y1 y2y 1 3 23解法二：设 AOB的重心为 G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则OAOB kOA kOB1,即 x1x2 y1y21， (2)又点 A，B在抛物线上，有

13、 y1 x12,y2 x22，代入（ 2）化简得 x1x212(3x)3切线 BP的方程为：2 3x2 232x1x y x12 0;y1 y2 1 2 2 1 2 1 y(x1x2)(x1 x2 )2x1x23 3 3 3解得 P 点的坐标为：xPx0 x1,yPx0 x1所以 APB的重心 G的坐标为xGx0 x1 xP xP ，y0 y1 yP yG22x0 x1 x0x122(x0 x1)2 x0 x1 4xP yp3所以 yp 3yG 4xG2 ，由点 P在直线 l 上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为：x ( 3y 4x2) 2 0,即y 1(4x2 x 2).3评析：1. 用参数

14、法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握 的一类问题。2. 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定 比、角、点的坐标等。3. 要特别注意消参前后保持范围的等价性。4. 多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立 n+1 个方程，才能消参(特殊情况 下，能整体处理时，方程个数可减少) 。五、交轨法： 求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常 用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是 参数法的一种变种。2例 5 、抛物线 y 4px(p 0) 的顶点

15、作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O在直线 AB上的射影 M的轨迹。2解 1（交轨法）：点 A、B在抛物线 y2 4px（p 0）上，设 A（ yA ,yA） 4p AkOB= 4p , 由 OA 垂 直 OB 得 kOA kOB = -1 ， 得 yAyB= -16p 2 yB，B（ yB ,yB）所以 kOA=4p4p yA, 又 AB 方 程 可 求 得2y yA y2A yB2 （x yA ） ，即（yA+yB）y-4px-y AyB=0,把 y AyB= -16p 2代入得 AB方程（ yA+yB） y2A yB24p4p 4py-4px+16p 2 =0 又 OM的方程

16、为 y yA yB x 4P即得 （x 2p）2 y2 4p2。由消去得 yA+yB即得 x2 y2 4px 0，所以点 M 的轨迹方程为 （x 2p）2 y2 4 p2 ，其轨迹是以 （2 p,0）为圆心，半径为 2p的圆, 除 去点（ 0， 0）。评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交 点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解 2（几何法）：由解 1中 AB方程（yA+yB）y-4px+16p 2 =0 可得 AB过定点（ 4p,0 ）而 OM垂 直 AB，所以由圆的几法性质可知： M点的轨迹是以 （2 p,0）为圆心，半

17、径为 2p 的圆。所以方程0）。为 （x 2p）2 y2 4 p 2，除去点（ 0，五、向量法：22例 6 、（ 1995 全国理）已知椭圆如图 6，xy x y1，直线 L： 1，P24 1612 8Q在 OP上且满足 |OQ|·| OP| | OR| 2.当是 L 上一点，射线 OP交椭圆于点 R，又点点 P在 L 上移动时，求点 Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线总结：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我 们引起高度重视的：1. 高考方向要把握高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法 等为主，另一类是高

18、难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。2. “轨迹”、“方程”要区分 求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示 的曲线类型（定形、定位、定量） 。3. 抓住特点选方法 处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时 一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不 再重复)。4. 认真细致定范围 确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范 围时，应注意以下几个方面： 准确理解题意，挖掘隐含条件； 列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形； 推理要严密，方程化简要等价；

19、 消参时要保持范围的等价性； 数形结合，查“漏”补“缺” 。5. 平几知识“用当先”在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有： 题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式； 简化条件式； 转化化归。6. 向量工具“用自如” 向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十 分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握， 并能运用自如。 巩固练习：1. 点 M( x, y)与定点 F(1,0) 的距离和它到直线 x=4 的距离的比为 2, 则动点 M的轨迹方程为 ( ).22A.B.x y 1 C. 3 x2- y2-34 x+65=0 D.

20、 3 x2-y2-30x+63=043( 目的: 掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤 , 同时掌握双曲线第二定义 , 避免错误使 用)答案 : D解析: (x 1) y 2, 两边平方即得 3x2-y2-30x+63=0x4222 . P是椭圆 x y 1上的动点, 作 PDy轴, D为垂足, 则 PD中点的轨迹方程为 ( ).16 922A. x y 1 B.2x2y1C.22xy1D.22xy19 166499449( 目的: 掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤 , 理解其适用的题型 ) 答案: D22 解析: 设 PD中点为 M(x, y), 则 P点坐标为 (2x, y), 代入方

21、程 x y 1,16 922即得 x y 1.49223. 已知双曲线 x2 y2 1,(a>0,b>0), A1、A2 是双曲线实轴的两个端点 , MN是垂直于实轴所 a2 b2在直线的弦的两个端点 , 则 A1M与 A2N 交点的轨迹方程是 ( ).22 22A. ax22 by22 1 B. ay22 bx22 1a b a b( 目的: 熟悉参数法求轨迹方程的基本思路 答案: A 解析: 设 M(x1, y1), N(x1, -y1),A1 M 的方程是 y x ay1l2222x2y21 D.y2x212222a b a b, 理解相交点轨迹方程的解题技巧 ) A1M与 A2N交点为 P (x, y), A1 (- a,0),2 , A2M 的方程是 y x a , 两式相乘 , 结合 x12 x1 ay1 x1 a的方程是 y=1, 且抛物线恒过点). ( B 2=-8( y-1) 2 2=8( x-1)C.A2( a,0), 则2y12 1即得 .a b24. 抛物线的准线 Q的轨迹方程是 (A. ( x-1)C. ( y-1)( 目的: 认识到用定义法求轨迹方程能减少运算量 , 是重要的解题方法 ) 答案: B 解析: 设焦点为 F,