高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数学案 新人教A版选修22

1、1.3.2函数的极值与导数学习目标：1.了解极大值、极小值的概念(难点)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(重点、易混点)3.会用导数求函数的极大值、极小值(重点)自 主 预 习·探 新 知1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0

2、，右侧f(x)0，就把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值思考：导数为0的点一定是极值点吗？提示不一定，如f(x)x3，f(0)0, 但x0不是f(x)x3的极值点所以，当f(x0)0时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反2求可导函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0.当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值基础自测1思考辨析(

3、1)函数f(x)在(a，b)内一定存在极值点()(2)函数的极大值一定大于极小值()(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(4)函数f(x)有极值()答案(1)×(2)×(3)(4)×2函数f(x)的定义域为r，导函数f(x)的图象如图1­3­8所示，则函数f(x)()图1­3­8a无极大值点，有四个极小值点b有三个极大值点，两个极小值点c有两个极大值点，两个极小值点d有四个极大值点，无极小值点c设yf(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在

4、xx2，xx4处取得极小值3函数f(x)的极值点为() 【导学号：31062047】a0b1c0或1d1df(x)x3x2x2(x1)由f(x)0得x0或x1.又当x1时f(x)0，0x1时f(x)0，1是f(x)的极小值点又x0时f(x)0，故x0不是函数的极值点4若可导函数f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则f(1)_，1是函数f(x)的_值解析由题意可知，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(1)0,1是函数f(x)的极大值答案0极大合 作 探 究·攻 重 难求函数的极值点和极值角度1不含参数的函数求极值求下列函数的极值(1)yx33x29x5；(2

5、)yx3(x5)2.解(1)y3x26x9，令y0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)y00y极大值极小值当x1时，函数yf(x)有极大值，且f(1)10；当x3时，函数yf(x)有极小值，且f(3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5)，令y0，即5x2(x3)(x5)0，解得x10，x23，x35.当x变化时，y与y的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3,5)5(5，)y000y无极值极大值108极小值0x0不是y的极值点；x3是y的极大值点，y极大值f(3)108；x5是y的极小值

6、点，y极小值f(5)0.角度2含参数的函数求极值已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xr)，当ar且a时，求函数的极值. 【导学号：31062048】思路探究解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.由a知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，2a) ，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a；函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2

7、)，且f(a2)(43a)ea2.若a，则2aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2；函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤为：(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数f(x)；(3)令f(x)0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f(x)，f(x)在每个

8、区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值.跟踪训练1若函数f(x)xaln x(ar)，求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)无极值(2)当a0时，令f(x)0，解得xa.当0xa时，f(x)0；当xa时，f(x)0.f(x)在xa处取得极小值，且f(a)aln a，无极大值综上可知，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.由极值求参数的值或取值范围(1)若函

9、数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a_，b_.(2)已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xr，m为常数)，在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 【导学号：31062049】思路探究 (1)由f(1)0及f(1)10求a，b，注意检验极值的存在条件；(2)f(x)在(1，)内有两个极值点，等价于f(x)0在(1，)内有两个不等实根解(1)f(x)3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在r上单调递增，不可能在x1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，1

10、1.(2)f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m>3.故实数m的取值范围是(3，)规律方法已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2若x2是函数f(x)x(xm)2的极大值点，求函数f(x)的极大值. 【导学号：31062050】解f(x)(xm)(3xm)，且f(2)0(m2)(

11、m6)0，即m2或m6.(1)当m2时，f(x)(x2)(3x2)，由f(x)0得x或x2；由f(x)0得x2.x2是f(x)的极小值点，不合题意，故m2舍去(2)当m6时，f(x)(x6)(3x6)，由f(x)0得x2或x6；由f(x)0得2x6.x2是f(x)的极大值，f(2)2×(26)232.即函数f(x)的极大值为32.极值问题的综合应用探究问题1如何画出函数f(x)2x33x236x16的大致图象提示：f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f(x)0得x2或x3，函数f(x)的递增区间是(，2)和(3，)由f(x)0得2x3，函数f(x)的递减区间是(2

12、,3)由已知得f(2)60，f(3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)2当a变化时，方程2x33x236x 16a有几解？提示：方程2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a60或a65时， 方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)当a60或a65时，方程2x33x236x16a有两解；(3)当65a60时，方程2x33x236x16a三解已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同实根，求实数a的取值范围思路探究求出函

13、数的极值，要使f(x)0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围解令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x<1时，f(x)>0；当1<x<1时，f(x)<0；当x>1时，f(x)>0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同实根，所以yf(x)的图象与x轴有三个交点，如图由已知应有解得2<a<2，故实数a的取值范围是(2,2)母题探究：1.(改变条件)本例中，若方程f(x)0恰有两个根，则实数a的值如何求解？解由例题

14、，知函数的极大值f(1)2a，极小值f(1)2a，若f(x)0恰有两个根，则有2a0，或2a0，所以a2或a2.2(改变条件)本例中，若方程f(x)0有且只有一个实根，求实数a的范围解由例题可知，要使方程f(x)0有且只有一个实根，只需2a0或2a0，即a2或a2.规律方法利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便. 当 堂 达 标·固 双 基1函数f(x)的定义域为r，它的导函数yf(x)的部分图象如图1­3­9所示，则下面结

15、论错误的是()图1­3­9a在(1,2)上函数f(x)为增函数b在(3,4)上函数f(x)为减函数c在(1,3)上函数f(x)有极大值dx3是函数f(x)在区间1,5上的极小值点d由图可知，当1x2时，f(x)0，当2x4时，f(x)0，当4x5时，f(x)0，x2是函数f(x)的极大值点，x4是函数f(x)的极小值点，故a，b，c正确，d错误2已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是() 【导学号：31062051】a(2,3)b(3，)c(2，)d(，3) bf(x)6x22ax36，且在x2处有极值，f(2)0,244a360，a

16、15，f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)0得x2或x3.3设函数f(x)xex，则()ax1为f(x)的极大值点bx1为f(x)的极小值点cx1为f(x)的极大值点dx1为f(x)的极小值点d令yexx·ex(1x)ex0，得x1.当x1时，y0；当x1时，y0.故当x1时，y取得极小值4已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_解析f(x)3x26ax3(a2)，函数f(x)既有极大值又有极小值，方程f(x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.答案(，1)(2，)5求下列函数的极值(1)f(x)x22ln x；(2)y. 【导学号：31062052】解(1)f(x)2x，且函数定义域为(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)<0，当x(1，)时，f