圆幂定理及其证明_第1页
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圆幂定理及其证明_第3页
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文档简介

1、圆幕的定义假设平面上有一圆0,其半径为R，有一点P在圆0外，则OPA2-RA2即为P 点到圆0的幕；若P点在圆内，则圆幕为 RA2-OPA2 ；综上所述，圆幕为|OPA2-RA2|。圆幕恒大于或等于零。圆幕的由来过任意在圆0外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B （可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA PB=PC PD。若圆半 径为r，贝U PC PD=（P0-r） （卩0+）=卩0八2-宀2=尸0八2-宀2| （要加绝对值，原 因见下）为定值。这个值称为点 P到圆0的幕。（事实上所有的过P点与圆相 交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为rA2-

2、P0A2=|P0A2-rA2|故平面上任意一点对于圆的幕为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于 A、B,那么PA PB等于圆幕的绝对值。圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B （可重合，即切线），L2与圆交于C、D （可重合），则有圆幂定理的所有情况考虑经过P点与圆心0的直线，设PO交OO与M、N , R为圆的半径，则有um圆幂定理的证明图I:相交弦定理。如图，AB、CD为圆0的两条任意弦。相交 于点P,连接AB、BD ,由于/B与/D同为弧AC所对的圆周角， 因此由圆周角定理知：/ B= ZD，同理ZA= zC，所以APAD - £PCB。所以有：PA _ PD死二丽，即:PAxPB = PCxPD图H:割线定理。如图，连接 AD、BC。可知ZB= ZD，又因为/P为公共角，所以有，同上证得PAkPB = PCkPD图m：切割线定理。如图，连接 AC、AD。/PAC为切线PA与 弦AC组成的弦切角，因此有/ PAC= ZD，又因为/P为公共角， 所以有PAC PDA易证PA2PCkPD图W: PA、PC均为切线，则/ PAO= ZPCO=直角，在直角三角 形中：OC=OA=R , PO为公共边，因此所以PA=PC ,所以pa2pc2综上可知，PAkPBPCP

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