类比推理上课

1、 我珍视我珍视类比类比胜过任何别的东胜过任何别的东西，它是我最可西，它是我最可信赖的老师，它信赖的老师，它能揭示自然界的能揭示自然界的秘密！秘密！ -数学家开普勒数学家开普勒走近大师走近大师鲁班的思维过程是：鲁班的思维过程是：茅草是茅草是齿形齿形的；的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断我需要一种能割断木头的工具；木头的工具；它也可以是它也可以是齿形齿形的的创设情境创设情境 (1). (1). 传说我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业传说我国古代工匠鲁班（被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他了手，这桩倒

2、霉事却使他发明了锯子发明了锯子. .创设情境创设情境试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比球球. .合作探究合作探究1.类似特征类似特征圆圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形是平面内封闭的曲线所围成的对称图形 球球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形是空间中封闭的曲面所围成的对称图形. .圆圆球球的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合的定义：空间里，到定点的距离等于定长的点的集合圆圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合 弦弦 直径直径 切线切线周长周长（封闭曲线的长）（封闭曲线的长）面积面积（封闭曲线围

3、成的面积）（封闭曲线围成的面积）试将平面上的圆和空间里的球进行类比试将平面上的圆和空间里的球进行类比截面圆截面圆过球心的截面圆过球心的截面圆( (大圆大圆) )切面切面表面积表面积（封闭曲面的面积）（封闭曲面的面积）体积（体积（封闭曲面围成的体积）封闭曲面围成的体积）球球. .合作探究合作探究2.类比类比. .圆圆圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不与圆心距离不相等的两弦不相等相等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点( (x0 0, ,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径的圆的方程

4、为为半径的圆的方程为( (x- -x0 0) )2 2+(+(y- -y0 0) )2 2 = = r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的中点的连线垂直于弦连线垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面与球心距离相等的两截面面积相等积相等与球心距离不相等的两截面与球心距离不相等的两截面面积不相等面积不相等, ,距球心较近的面距球心较近的面积较大积较大以点以点( (x0 0, ,y0 0, ,z0 0) )为球心为球心, r, r为为半径的球的方程为半径的球的方程为 ( (x- -x0

5、0) )2 2+(+(y- -y0 0) )2 2+(+(z- -z0 0) )2 2 = = r2 2例例2:2:利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V = RV = R3 3球的表面积球的表面积2 2S S = = 4 4R R圆的周长圆的周长 S = 2RS = 2R圆的面积圆的面积2 2S =RS =R. . .总结概括总结概括类比推理的描述性定义类比推理的描述性定义所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同

6、）相似或相同）从构成几何体的从构成几何体的元素数目元素数目看：看： 三角形三角形四面体四面体 你认为平面几何中的你认为平面几何中的三角形三角形可以类比立体几何中的什么几何可以类比立体几何中的什么几何体？体？DABCabcc2 2= =a2 2+ +b2 22222BCDABCACDADBSSSS猜猜想想: :直角三角形直角三角形C90903 3个边的长度个边的长度a，b，c 2 2条直角边条直角边a，b和和1 1条斜边条斜边c 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, , 得空得空间中四面体性质的猜想间中四面体性质的猜想3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPD

7、EEDF904个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, , 得空得空间中四面体性质的猜想间中四面体性质的猜想三角形三角形ABC中，中，2222cosabcbcA如图如图, ,在空间在空间四面体四面体A- -BCD中，中，ABCD设二面角设二面角B- -AC- -D，C- -AD- -B，D- -AB- -C的大小依次为的大小依次为 123,22221232cos2cos2cosBCDABCACDABDABCACDACDABDABDABCSSSSSSSSSS 检验

8、猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论 找出两类对象之间可以确切表述的找出两类对象之间可以确切表述的相似特征相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想；即即类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤1.1.若三角形内切圆半径为若三角形内切圆半径为 , ,三边长为三边长为 则三角形的面积为则三角形的面积为 , , 根据类比思想根据类比思想, ,若空间四面体内切球的半径若空间四面体内切球的半径为为 , ,四个面的面积分别为四个面的面积分别为 , ,则四面体的体积为则四面体的体

9、积为 )(21cbarSRrcba,SSSS,321V变式训练变式训练)(21cbarS)(31321SSSSRVs1s2s3SABC的面积为分析分析 由图由图(1)(1)有面积关系有面积关系: :则由图则由图(2)(2)有体积关系有体积关系: :2.（2004广东，广东，15）变式训练变式训练PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA AABCPBACVP-ABCVP-ABC=VC-PABVC-PAB=13SSPCPBPACPBPAPsPAB=12PA sin=PAsPABsPAB=PA 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关

10、系:2.（2004广东，广东，15）PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV 分析：分析：PB BA A变式训练变式训练Ahhh hBCPBAC2sPAPA/ /B B/ /=1PAPBsin PABCPBAC继续继续例例4等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公通项公式式前前n项项和和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad12)nnaq na（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质22nmn maaa 22nmn

11、maaa 任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为2ba当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为ab232,mmmmmSSSSS成等差数列成等差数列232,mmmmmSSSSS成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比例例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质。：试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2

12、b2;等等。等等。思考思考：这样猜想出的结论是否一定正确呢？：这样猜想出的结论是否一定正确呢？又如又如, ,在平面内，若在平面内，若ac, ,bc, ,则则a/b. . 类比到空间，你会得到类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误什么结论？并判断正误. .错误错误（可能相交）可能相交）猜想猜想:在空间中，若在空间中，若a a g g， g, g, 则则a a/ 。平面直角坐标平面直角坐标（二维）（二维）几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形三角形四面体四面体（各面均为（各面均为三角形三角形）圆圆球球平面图形平面图形立体图形立体图形点点点或线点或线线线线或面线或面空间直角坐标系空间直角坐标系 （三维）（三维）想一想？想一想？课堂小结课堂小结4.几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象(1). 如图，