第2章平面图形的几何性质

1、第二章第二章平面图形的几何性质平面图形的几何性质拉压正应力拉压正应力ANdAA扭转切应力扭转切应力pITApdAI2弯曲正应力弯曲正应力zIMyAzdAyI2应力的计算通常用要到构件应力的计算通常用要到构件截面的几何参数截面的几何参数，例如：，例如：实质实质 1、数学，不是力学、数学，不是力学 2、颠倒了学科发展顺序、颠倒了学科发展顺序 （历史是：（历史是：弯曲内力弯曲内力弯曲应力弯曲应力惯性矩）惯性矩）目的目的 1、清除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩、清除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩) 2、从更高的观点，统一截面几何性质、从更高的观点，统一截面几何性质 3、便于学习（弊病：只有、便于学习（弊病

2、：只有大厦大厦，无，无脚手架脚手架）2.1形心和面矩形心和面矩 平面图形的形心形心 CxydAxCxyCyO在理论力学中，用合力矩定理建立了物体重心的坐标计算公式。GydGyAc若为均质等厚度薄板，其面积为A、厚度为t、体积密度为，则微块的重力gdAtdG整个薄板的重量为gAtGGxdGxAc平面图形的形心坐标公式AxdAxAcAydAyAc形心是平面图形的几何中心具有对称中心、对称轴的薄板的形心必然在对称中心或对称轴上。重心是物体重力的中心其位置取决于薄板的截面形状和大小。其位置决定于物体重力的分布情况只有均质物体的重心才与形心重合。整个平面图形对x 轴和y 轴的面矩（静矩） AyAxxdA

3、SydAS单位:米3（m3）或毫米3(mm3）。 同一平面图形对不同的坐标轴，其面矩不同。 面矩是代数值，可正可负可为零。 平面图形的形心坐标公式可写为 ASyASxxcyc可得平面图形的面矩公式为 cycxAxSAyS图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；平面图形对某轴的面矩等于其面积与形心坐标的乘积。 某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。一般，构件截面是由矩形、圆形等简单图形组成的组合图形。iiiicniiciccycniiciccxxAxAxAxASyAyAyAyAS 1211212121式中：xci、yci分别表示各简单图形的形心坐标；Ai表示各简单图形的面积；n表示组成

4、组合图形的简单图形的个数。根据图形面矩的定义组合图形对某轴的面矩等于各简单图形对同一轴面矩的代数和。即 组合图形形心坐标计算公式 niiniicxcniiniicycAAyASyAAxASxii1111例例2-12-1试计算图示平面图形形心的坐标。 121211213232( 80) 16 10( 95) 78 1016 1078 1065.73inicccicniiA yy Ay AyAAAmm 解一解一: :由于对称关系，形心C必在y轴上 ycCxcyxO160301002020ACDB0cx解二解二: :由于对称关系，形心C必在y轴上。 故 xC=0ycCxcIIIIII将此图形分为I、

5、II、III三部分iiiCCA yyAyxO160301002020ACDB以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则 (100 30) (1565)2 (130 20) 029.27mm100 302 (130 20) 附例 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴ydyrAd2223022322ryd)yr( yAdySrAx 所以 3423223r/r/rASyxCxy在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条rdAydyOCyC2-2 2-2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径一、惯性矩一、惯性矩 平面图形

6、对x轴和y轴的惯性矩 dAxIdAyIAyAx22xydAxy O平面图形对坐标原点的极惯性矩极惯性矩 AdAI2惯性矩与极惯性矩恒为正值，单位为米4（m4）或毫米4（mm4） 惯性矩与极惯性矩的关系xyAApIIdA)yx(dAI222平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4；若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零；惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y、原点的转动惯量。yxAApIIdAyxdAI2

7、22二、惯性半径二、惯性半径 AiIAiIyyxx22对x 轴和y 轴的惯性半径 AIiAIiyyxx三、简单图形的惯性矩三、简单图形的惯性矩 由于圆形对任意直径轴都是对称的，由于圆形对任意直径轴都是对称的，故故Ix=Iy，注意到注意到I=Ix+Iy，得到，得到例例2 2 求图示直径为求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩及对圆心的极惯性矩I。dCxyd 解：首先求对圆心的极惯性矩。解：首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心在离圆心O为为 处作宽度为处作宽度为d 的薄圆环的薄圆环，其面积，其面积dA=2d ，则，则32)d2(d42

8、/022dAIdA64214dIIIyx惯性半径446424dddAIiixyx)1 (32)(32)d2(d44442222DdDAIDdA圆环形的惯性矩为)1 (642144DIIIyxDd 解：平行解：平行x轴取一窄长条，其面积为轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则，则例例2 3 求图示矩形对通过其形心且与边平行的求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯性矩轴的惯性矩Ix、Iy。Cxyh/2b/2b/2h/2dyydA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx123hbIy同理可得同理可得如何增大截面惯性矩如何增大截面惯性矩?趣味问题趣味问题村边小溪村边小溪, 木桥已断木

9、桥已断, 现有三板，尺寸相同，怎样搭桥，现有三板，尺寸相同，怎样搭桥，安全可靠安全可靠?第一个方法：把它们摞起来第一个方法：把它们摞起来第二个方法：把这三块板牢固的粘在一起第二个方法：把这三块板牢固的粘在一起实验现象分析实验现象分析单平板的惯性矩单平板的惯性矩3012zbhIbhz03048zFlwEI方案一：三板叠放方案一：三板叠放 三板三心三板三心z1bhhh三块板叠放时，力由三块板承担，每块板只承受三分之三块板叠放时，力由三块板承担，每块板只承受三分之一，所以挠度就变成了单板挠度的一，所以挠度就变成了单板挠度的1/33013 483zwFlwEI方案二：三板粘合方案二：三板粘合 三板一心

10、三板一心zb3h三板组合，粘好粘紧，形成一块整板，它就变成了一个截面。三板组合，粘好粘紧，形成一块整板，它就变成了一个截面。就相当于是一个宽为就相当于是一个宽为b，高为，高为3h的板。的板。此时的惯性矩是此时的惯性矩是331(3 )27=271212zzbhbhII3300=48482727zzzwFlFlwEIEI（）它等于单板惯性矩的它等于单板惯性矩的27倍，等于三板叠放惯性矩的倍，等于三板叠放惯性矩的9倍。倍。它的挠度也变成了单板挠度的它的挠度也变成了单板挠度的1/27，是三块板叠合时候的，是三块板叠合时候的1/9。三板叠放，每块板都是绕它自己的形心三板叠放，每块板都是绕它自己的形心轴发

11、轴发生转动，叫生转动，叫三板三心。三板三心。三块粘合，形成一块整板，三块板绕共同的一个形心轴转动三块粘合，形成一块整板，三块板绕共同的一个形心轴转动，它就是三板一心，它就是三板一心团结就是力量团结就是力量思考：还有没有更好的办法？思考：还有没有更好的办法？2627同样三块板，由于做成的横截面形状不一样，抵抗弯曲的能同样三块板，由于做成的横截面形状不一样，抵抗弯曲的能力，相差巨大。力，相差巨大。这个就是惯性矩起的作用这个就是惯性矩起的作用工字钢有两种放置形式工字钢有两种放置形式29型钢弯曲试验型钢弯曲试验方案三：工字型方案三：工字型方案四：槽型方案四：槽型F判断截面惯性矩大小的方法：判断截面惯性

12、矩大小的方法：横截面的面积，离形心轴越远，它的惯性矩就越大。横截面的面积，离形心轴越远，它的惯性矩就越大。工字钢竖放，截面的面积离中性轴最远，工字钢横放，截面工字钢竖放，截面的面积离中性轴最远，工字钢横放，截面的面积离中性轴最近。的面积离中性轴最近。31工字钢、槽钢截面惯性矩的比较工字钢、槽钢截面惯性矩的比较截面面积离中性轴（对称图形即形心轴）越远，截面面积离中性轴（对称图形即形心轴）越远，截面的惯性矩越大。截面的惯性矩越大。32现代工程大跨度结构中的现代工程大跨度结构中的双双T字混凝土板字混凝土板333435竹子为什么是空心的？竹子为什么是空心的？因为空心圆的惯性矩大因为空心圆的惯性矩大常用

13、竹子或空心圆管做脚手架。常用竹子或空心圆管做脚手架。再看建筑结构承载的大梁再看建筑结构承载的大梁工字钢竖放的形式工字钢竖放的形式中国古代建筑的方梁，要从圆木中裁出来中国古代建筑的方梁，要从圆木中裁出来怎么裁出来才使它的强度和刚度都好呢？怎么裁出来才使它的强度和刚度都好呢？W抗弯截面系数要大抗弯截面系数要大I 截面惯性矩也要大截面惯性矩也要大40李诫李诫（10351110） 宋代人，主管皇家建造。宋代人，主管皇家建造。字明仲，郑州管城县（今河字明仲，郑州管城县（今河南新郑）人。中国古代建筑南新郑）人。中国古代建筑家、家、营造法式营造法式编纂者。编纂者。41营造法式营造法式 编于熙宁年间（编于熙宁

14、年间（1068-10771068-1077），），成书于元符三年（成书于元符三年（11001100），刊行于宋），刊行于宋崇宁二年（崇宁二年（11031103），是李诫在两浙工），是李诫在两浙工匠喻皓的匠喻皓的木经木经的基础上编成的。的基础上编成的。是北宋官方颁布的一部建筑设计、施是北宋官方颁布的一部建筑设计、施工的规范书，这是我国古代最完整的工的规范书，这是我国古代最完整的建筑技术书籍，标志着中国古代建筑建筑技术书籍，标志着中国古代建筑已经发展到了较高阶段。已经发展到了较高阶段。这本书影响中国建筑几百年，近千年这本书影响中国建筑几百年，近千年从北宋以后的元明清，所有从事建筑工程的，基本都是从

15、北宋以后的元明清，所有从事建筑工程的，基本都是靠这个靠这个营造法式营造法式成为一个建筑设计、施工的规范成为一个建筑设计、施工的规范它对圆木裁方给出了一个数据，圆木裁方高与宽之比应该是它对圆木裁方给出了一个数据，圆木裁方高与宽之比应该是3:243441.5恰好在这两个数字之间，它兼顾两者，非常科学恰好在这两个数字之间，它兼顾两者，非常科学4647四、惯性积：四、惯性积： 定义为图形对定义为图形对x、y轴的惯性积轴的惯性积AxyyzdAIZYzyyzdAdAO由于坐标乘积由于坐标乘积xy可能为正或可能为正或负，因此，负，因此，Ixy的数值可能为的数值可能为正也可能为负或为零。正也可能为负或为零。当

16、整个图形位于第一象限时，所有微面积dA的坐标y、z均为正值，所以图形对这两个坐标轴的惯性积必为正值。当整个图形位于第二象限时当坐标轴y、z中有一个是图形的对称轴时所有微面积dA的坐标z均为正值，而y坐标为负所以图形对这两个坐标轴的惯性积必为负值。如图z轴，z轴两侧微面积dA的z坐标相同y坐标数值相等符号相反，所以图形对这个坐标系的惯性积为零。2-2-3 3 组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩一、平行移轴公式一、平行移轴公式 OxyCdAxCyCabyxxCyCACACAACCACAxdAydAyadAadAyayadAyadAyI2222222)2()(已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xO

17、y坐标系下的坐标坐标系下的坐标(a，b)，求求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxICxACACAIdAydAyAdA20，ACCACACAACCCCACCAxydAyxdAybdAxadAabdAyxbyaxabdAyaxbxydAI)()(CCyxACCACACAIdAyxdAydAxAdA，00AaIICxx2AbIICyy2同理：abAIICCyxxy二、组合图形惯性矩的计算二、组合图形惯性矩的计算nii 1xxIInii 1yyIInii 1xyxyII例例 2-4 试计算图示的组合图形对形心轴的惯性矩 解解（1）计算形心C 的位置 设形心C 到X的距离为yc因为图形有纵向对称轴，

18、所以形心必在此轴上0Cx将图形分成、两部分，它们对x轴的面矩分别为3132000)20240(2040mmS32120002202060mmS整个图形对x轴的面矩为32144000mmSSSx整个图形的面积221200020602040mmAAA,ccxyxyII、（2）计算图形对形心轴的惯性矩422311036592040)2220240(124020mmIx42231021282060)22022(12206011mmIxmmASyxC222000440003440 202667 1012IyImmII32420 603600 1012yImmIII4436590021280057.9 1

19、0 xxxIIImmIII442667036000038.7 10yyyIIImmccxy2 5例求图组合图形对形心轴 ， 的惯性矩。解解：（1）计算形心C 的位置 x取 轴为参考轴16号槽钢 2116.25cmA 414 .83 cmIxcmzcmIy75. 193504116号工字钢 42221130,1 .26cmIcmAx,1 .9342cmIy,160mmh 形心 mmyc9 .127101 .261016.2521601026.117.51601016.252222）（,2xyII（ ）计算整个图形对形心轴的惯性矩22120)2()(211AhyIAyhzIIcxcxx422422

20、5483.4 10(17.5 160 127.9)25.16 101130 10160(127.9)26.1 102243 10 mm454410103101 .931093521mmIIIyyy当互相垂直的两根形心轴有一根是图形的对称轴时，则图形对该对形心轴的惯性矩一为极大值，另一为极小值。在图形平面内，通过形心可以作无数根形心轴，图形对各轴惯性矩的数值各不相同。可以证明，其中必然有一极大值与极小值具有极大值惯性矩的形心轴与具有极小值惯性矩的形心轴互相垂直cxcy如上例中对轴 的惯性矩为极大值，对轴 的惯性矩为极小值。 303055CC2C1y221y1zC1zC2例例2-6 求求T形截面对

21、形心轴的惯性矩形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：即截面的形心轴。即截面的形心轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：再求截面对形心轴的惯性矩：433ymm115601230512530IC yCzyCzC11221223.75iiCiA yA yA yymmAAA0Cz 由平行移轴定理得：由平行移轴定理得：22111222221112224()()(yy ) (yy )34530mmzczczczcczccIIa AIa AIAIA例2-7 已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。bx1hx2xCh/3解：由于x1、

22、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式。123321123236CxxbhhbhbhIIa A需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴：223322236324CxxbhhbhbhIIa A2-2-4 4 转轴公式和主惯性轴转轴公式和主惯性轴平面图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积为 ,2dAzIAydAyIAz2dAzyIAyz下面导出图形对y1、z1轴的惯性矩及惯性积 dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy一、惯性矩和惯性积的转轴公式 A21xdAyI11cos2sin22xyxyyxyIIIIII得到得到1| |=|yACADEBycosxs

23、in同理，利用同理，利用1|xOCOEBDxcosysin111 1xyxyxyx yIIIIII已知： 、 、 ，求、。dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy1 1sin2cos22xyx yxyIIII A2xdA)sinxcosy(I122cos2sincossinxxyyIII2222(cos2sincossin)AyxyxdA利用三角变换，得到利用三角变换，得到xy1x1dAy1x1 yx DEBACOy12cos2sin22xyxxyxyIIIIII转轴公式：2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyyxyxxyyxyx

24、yxyyxyxx注意：是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的为正。形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩；二、主惯性轴、主惯性矩二、主惯性轴、主惯性矩1.主轴的相关概念：主轴(主惯性轴)：惯性积等于零的一对正交轴；形心主轴：过图形形心的主轴，图形的对称轴就是形心主轴由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0；求惯性矩的极值所在方位，得到与上式相同结果。所以：图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。2.主轴方位：利用主轴的定义惯性积等于零进行求解；主轴与x轴的夹角:yxxyIII22tg0 与主轴方位的对应关系：与主轴方位的对应