实变函数论西南辅课程十五至十八ppt课件

1、实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十五第五章第五章 积积 分分 论论 ， 【本章概述本章概述】 本章重点讨论勒贝本章重点讨论勒贝格积分，这也是本课程的重点内格积分，这也是本课程的重点内容。首先，我们用测度的观点给出容。首先，我们用测度的观点给出函数黎曼可积的一个充要条件， 然函数黎曼可积的一个充要条件， 然后， 我们分别对定义在测度有限的后， 我们分别对定义在测度有限的可测集上的有界可测函数、 非负可可测集上的有界可测函数、 非负可测函数、 一般可测函数定义勒贝格测函数、 一般可测函数定义勒贝格积分，并讨论它们的性质积分，并讨论它们的性质 讨论积分与极限可以交换顺序讨论

2、积分与极限可以交换顺序的条件， 最后简单介绍有界变差函的条件， 最后简单介绍有界变差函数和绝对连续函数。通过学习我们数和绝对连续函数。通过学习我们要掌握勒贝格积分的定义及其性要掌握勒贝格积分的定义及其性质， 掌握积分与极限交换顺序的条质， 掌握积分与极限交换顺序的条件，知道函数黎曼可积的充要条件，知道函数黎曼可积的充要条件， 了解有界变差函数和绝对连续件， 了解有界变差函数和绝对连续函数的概念及简单性质。函数的概念及简单性质。 第一节第一节 黎黎 曼曼 积积 分分 本节简要回顾黎曼积分的定义本节简要回顾黎曼积分的定义及可积条件， 用测度的观念给出了及可积条件， 用测度的观念给出了函数黎曼可积的

3、一个充要条件。 通函数黎曼可积的一个充要条件。 通过本节的学习，我们要知道一个非过本节的学习，我们要知道一个非常重要的结论：函数黎曼可积的充常重要的结论：函数黎曼可积的充要条件是函数几乎处处连续。要条件是函数几乎处处连续。 定义定义 1 1 设设 xf在在ba,有界，有界，t表示表示ba,的任一分划的任一分划 bxxxxan210 这里这里n为任一自然数为任一自然数，可随，可随t不不同。同。 设设iimm ,分别表示分别表示 xf在在iixx,1上 的 上 、 下 确 界上 的 上 、 下 确 界ni, 2 , 1 ,11iniiiniixmftsxmfts 分别叫做分别叫做 xf关于分划关于

4、分划t的大和数的大和数与小和数，这里与小和数，这里1iiixxx ba xfdx= =,infftst ba xfdx,supftst 分别叫做分别叫做 xf在在ba,上的达布上积上的达布上积分与下积分，这里上、下确界是分与下积分，这里上、下确界是对对ba,的一切分划的一切分划t而取的。如果而取的。如果 ba xfdx= =ba xfdx 则称则称 xf在在ba,上上r可积可积，记 为，记 为 badxxf 两种积分定义的等价性建立在两种积分定义的等价性建立在下面的下面的 定理上。定理上。 达布定理达布定理 当分划当分划t的最大的最大区间长区间长 0t时，时， fts,ba xfdx， fts

5、, ba xfdx。 可积条件可积条件 1 1 当当 0t时，时， ftsfts,iniix10， 这里这里iiimm 可积条件可积条件 2 2 0,infftsftst 我们还可给出下面的我们还可给出下面的 可积条件可积条件 3 3 xf在在ba,上的上的一切不连续点成一零测集。一切不连续点成一零测集。 注意注意 条件条件 1 1、 2 2 的的 缺点是没有将缺点是没有将函数的可积函数的可积性最后归结到函数的性最后归结到函数的其它内在性质（如连续性等）上面其它内在性质（如连续性等）上面去。可积条件去。可积条件 3 3 要好得多。要好得多。 但但r可积可积有以下有以下局限性局限性： 1 1 r

6、积分与极限可交换的条件积分与极限可交换的条件太严太严 由数学分析的知识知道， 一般要由数学分析的知识知道， 一般要在一致收敛的在一致收敛的 条件下，积分运算条件下，积分运算与极限运算才可以交换顺序与极限运算才可以交换顺序 2 2 积分运算不完全是微分运算积分运算不完全是微分运算的逆运算的逆运算 第二节第二节 勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义 本节对定义在测度有限的可测本节对定义在测度有限的可测集上的有界函数定义了集上的有界函数定义了勒贝格积勒贝格积分， 并给出了可积的一个条件和它分， 并给出了可积的一个条件和它们的四则运算性质。通过本节的学们的四则运算性质。通过本节的学习， 我们要理解积分的概

7、念及其运习， 我们要理解积分的概念及其运算性质， 同时我们还要知道函数勒算性质， 同时我们还要知道函数勒贝格可积与可测是等价的， 黎曼可贝格可积与可测是等价的， 黎曼可积函数是勒贝格可积的，并且其积积函数是勒贝格可积的，并且其积分值还是相等的。分值还是相等的。 定义定义 1 1 设设e是是非空可测集，如非空可测集，如果果niiee1，其中，其中ie为互不相交的非为互不相交的非空可测集，则称有限集合族空可测集，则称有限集合族 ied 是是e的一个可测分划，简称分划。的一个可测分划，简称分划。 /ied 是是e的另一个分划。如果对的另一个分划。如果对于任一于任一/dej，存在，存在dei，使，使i

8、jee /，称称/d比比d细。细。 引理引理 1 1 给定给定e任两个分划任两个分划/d、d，必存在比它们都细的第三个分，必存在比它们都细的第三个分划划 /,|jijijieededeeed且 我们记我们记/ddd 定义定义 2 2 设设 xf是定义在测度是定义在测度有限的集有限的集e上的有界函数，对上的有界函数，对e的的任一分划任一分划 ied ， 令令 xfbiexisup， xfbiexiinf 则则iiimebfds,，iiimebfds,，分，分别称为别称为 xf关于分划关于分划 ied 的大和的大和与小和（它们由与小和（它们由d完全确定）完全确定） 引理引理 2 2 （1 1）设设

9、 xfbexsup， xfbexinf，则，则 fdsbme,bmefds,。 （2 2）设分划设分划/d比比d细，则细，则fdsfds,/，fdsfds,/。 （3 3） 对于任两个分划对于任两个分划/d比比d总有总有fdsfds,/， （4 4）fdsd,supfdsd,inf，这，这里上、下确界是对里上、下确界是对e的的所有可能的所有可能的分划取的。分划取的。 定义定义 3 3 设设 xf是定义在测度有是定义在测度有限的集限的集e上的有界函数，记上的有界函数，记e xfdx= =fdsd,inf， e xfdxfdsd,sup。 分别称为分别称为 xf在在e上的上的 l上、下上、下积积分

10、。分。 如果如果e xfdx= =e xfdx， 则称， 则称 xf在在e上上 l可积， 且称此共同值为可积， 且称此共同值为 xf在在e上的上的 l积分，记为积分，记为 dxxfe。 定理定理 1 1 设设 xf是定义在测度有是定义在测度有限的可测集限的可测集e上的有界函数，则上的有界函数，则 xf在在e上上 l可积的充要条件为：可积的充要条件为： 对任何对任何0，存在，存在e的分划的分划d使使 fds,fds,iiime， 这 里， 这 里iiibb 定理定理 2 2 设设 xf是定义在测度是定义在测度有限的可测集有限的可测集e上的有界函数， 则上的有界函数， 则 xf在在e上上 l可积的

11、充要条件是可积的充要条件是 xf在在e上可测。上可测。 定理定理 3 3 设设 xf， xg是定义在是定义在测度有限的可测集测度有限的可测集e上的有界函上的有界函数且数且 l可积，则可积，则 xgxf， xgxfxgxf/,（ 但（ 但 |),0|infxfxgex在在e上 是上 是 l可积可积的。的。 证明证明 由定理由定理 2 2 及第四章第一及第四章第一节的定理可直接得出结论。节的定理可直接得出结论。 定理定理 4 4 设设 xf在在ba,上上r可积，可积，则它必同时则它必同时 l可积， 且有相同的积可积， 且有相同的积分值分值 dxxfdxxfbaba, 证明证明 首先首先 xf是有界

12、的，其次是有界的，其次 xf在在ba,上上r可积， 则必几乎处处可积， 则必几乎处处连续，从而可测，因而连续，从而可测，因而 l可积。可积。最后由最后由定义知道其值是相同的。定义知道其值是相同的。 注意注意 定理定理4 4的逆定理是不成立的逆定理是不成立的。例如，在的。例如，在1 , 0上的狄里克雷函上的狄里克雷函数不是数不是r可积的， 但作为简单函数可积的， 但作为简单函数是可测的，从而是是可测的，从而是 l可积的。可积的。 实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十六辅导课程十六第第三三节节 勒贝格积分的性质勒贝格积分的性质 本节在前一节定义的基础上，本节在前一节定义的基

13、础上，重点讨论重点讨论勒贝格积分的性质，这些勒贝格积分的性质，这些性质与黎曼积分的性质十分相似。性质与黎曼积分的性质十分相似。通过本节的学习， 我们要掌握勒贝通过本节的学习， 我们要掌握勒贝格积分的性质。格积分的性质。 在下面的定理中，在下面的定理中，e是测度有限是测度有限的可测集，的可测集， xf等是定义在等是定义在e上的上的有界函数，有界函数， l可积就简称可积。可积就简称可积。 定定理理 1 1 （1 1） 设设 xf在在e上可上可积， 则积， 则 xf在在e的任何可测子集上也的任何可测子集上也可积。可积。 又 设又 设 xf定 义 于定 义 于bae， ba，且在，且在ba,上分别可积

14、，则上分别可积，则 xf在在e上也可积分，且上也可积分，且 dxxfdxxfdxxfbae 2 2）设）设 xf， xg在在e上可积，则上可积，则 xf+ + xg也在也在e上可积且上可积且 dxxgdxxfdxxgxfeee （3 3）设）设 xf在在e上可积，则对任上可积，则对任何常数何常数c， xcf也在也在e上可积且上可积且 dxxfcdxxcfee（4 4）设）设 xf， xg在在e上可积，上可积，且且 xf xg，则，则 dxxgdxxfee 特别当特别当 bxfb时有时有bme dxxfebme （5 5）设设 xf在在e上可积上可积, ,则则 |xf在在e上也可积，且上也可积，

15、且 dxxfdxxfee| （5 5）表表明明l积积分分具具有有绝绝对对可可积积性性。 定理定理 2 2 （1 1）设）设 xf在在e上可积上可积分，分， 0 xf且且 0dxxfe， 则， 则 0 xf在在e上几乎处处成立。上几乎处处成立。 （2 2）设设 xf在在e上可积分，则对上可积分，则对任何可测集任何可测集ea ，有，有 0lim0dxxfama （这性质称为（这性质称为积分的绝对连续积分的绝对连续性性） 证明证明 关于（关于（1 1） ，） ，e可表为可表为 011fenfeen， 令令nfeen1，则它是可测集。但，则它是可测集。但 neeeeemendxxfdxxfdxxfdx

16、xfnnn10 故故 0nme，从而，从而00 fme。 关关于于（2 2） ， 设设 kxf |，当当ex，则则 0|makdxxfdxxfaa （当当) 0ma） 。 第四节第四节 一般可一般可积函数积函数 本节首先给出非负可测函数勒本节首先给出非负可测函数勒贝格积分的定义， 然后在此基础上贝格积分的定义， 然后在此基础上给出一般可测函数勒贝格可积的给出一般可测函数勒贝格可积的概念，进而讨论勒贝格积分的性概念，进而讨论勒贝格积分的性质。质。 一一 非负函数情形。非负函数情形。 设设 xf是定义在可测集是定义在可测集eqr（不（不要求测度有限）上的可测函数（不要求测度有限）上的可测函数（不要

17、求有界） ，则要求有界） ，则e总可以用一列逐总可以用一列逐步扩大的测度有限的可测集步扩大的测度有限的可测集ne来来逼近：即逼近：即 eeeennlim,21 例如，取例如，取nnkee，其中，其中 qinxxxxkinn., 2 , 1,|,21 另一方面，另一方面， xf总可以用一列定义总可以用一列定义在在ne上而函数随着上而函数随着n逐渐增大的逐渐增大的有界函数有界函数 xfn来逼近：来逼近： xfxfxfxfnnlim,21 例如，取例如，取 nxfnnxfxfnxfxfxfnn当当,min 如如果果 xf可可测测，则则 xfn在在ne也也可可测测，从从而而我我们们可可以以定定义义 x

18、fn在在ne上上的的积积分分值值，由由于于 xfn与与ne均均具具有有单单调调性性，总总有有 210eedxxfdxxf 因此因此 dxxfnennlim必存在（可能是必存在（可能是） ， 而且我们还可以证明这一极） ， 而且我们还可以证明这一极限不依赖于逼近列限不依赖于逼近列 xfenn和的选的选 择择而而唯一确唯一确定， 并且当定， 并且当,me xf有有界 时 ， 恰 有 以 下 等 式界 时 ， 恰 有 以 下 等 式 dxxfdxxfeennnlim 因此对于非负函数来说， 我们自因此对于非负函数来说， 我们自然给积分概念作如下的推广然给积分概念作如下的推广 定义定义 1 1 设设

19、0 xf在可测集在可测集qre 上可测，这时我们定义上可测，这时我们定义 dxxfdxxfnennelim 二二 一般函数一般函数（不限于非负）情形。不限于非负）情形。 令令 0 ,max,0 ,maxxfxfxfxf， 则则 xfxfxf，易知，如果，易知，如果 xf可测，则可测，则 xfxf与也可测，反之也可测，反之亦然。并且对于测度有限的可测集亦然。并且对于测度有限的可测集e上的可积函数上的可积函数 xf总有总有 dxxfdxxfdxxfeee 定义定义 2 2 设设 xf在可测集在可测集qre 上可测，如果在定义上可测，如果在定义 1 1 的意的意义 下 的义 下 的 dxxfdxxf

20、ee与不 同 时 为不 同 时 为， 则我们称， 则我们称 xf在在e上积分确定，上积分确定，并定义并定义 dxxfdxxfdxxfeee为为 xf在在e上的上的l积分，特别当此积分有限积分，特别当此积分有限时，称时，称 xf在在e上上l可积。可积。 注注 1 1 凡非负可测函数都是积分凡非负可测函数都是积分确定。确定。 注注 2 2 积分确定与可积是不同的积分确定与可积是不同的概念，可积一定是积分确概念，可积一定是积分确定，反之不成立。定，反之不成立。 注注 3 3 凡在测度有限的可测集上凡在测度有限的可测集上的的可积函数，一定也是在此定义意义可积函数，一定也是在此定义意义下下l可积可积 定

21、理定理 1 1 （1 1） 设设0me（但（但e） ，） ，则对则对e上的任何实函数上的任何实函数 xf都有都有 0dxxfe； （2 2） 设） 设 xf在在e上上l可积， 则可积， 则 xf在在e上 几 乎 处 处 有 限 ， 即上 几 乎 处 处 有 限 ， 即0|fme； （3 3）设）设 xf在在e上积分确定，则上积分确定，则 xf在在e的任何可测子集的任何可测子集a上也上也积分确定， 并且区域可加性成立。积分确定， 并且区域可加性成立。即如果即如果bae，a与与b皆可测皆可测且且 ba，则，则 dxxfdxxfdxxfbae。 注注 1 1 结论 （结论 （3 3） 表明积分关于）

22、 表明积分关于区域的可加性只要积分确定就成区域的可加性只要积分确定就成立，并不要求可积。立，并不要求可积。 （4 4） 设设 xf在在e上积分确定，且上积分确定，且 xgxfeea 于.，则，则 xg也在也在e上积分确定，且上积分确定，且 dxxgdxxfee 注注 2 2 结论 （结论 （4 4） 表明改变可测） 表明改变可测函数在零测集上的值， 不改变其可函数在零测集上的值， 不改变其可积性， 而且不改变其积分值， 因此，积性， 而且不改变其积分值， 因此，即使一个函数即使一个函数 xf在在e的一个零测的一个零测度子集度子集0e上没有定义， 只要上没有定义， 只要 dxxfee0有意义。我

23、们仍可认为有意义。我们仍可认为 dxxfe有意有意义，而且不义，而且不妨约定妨约定 dxxfe dxxfee0 例例：设设 的无理数，为的有理数，为10102xxxxxf 求求 dxxf1 , 0 解解 dxxfl1 , 0 311021 , 02xrdxxl （5 5） 设设 xf， xg在在e上非负可上非负可测，则测，则 dxxgdxxfdxxgxfeee （6 6） 设设 xf， xg在在e上积分确上积分确定且定且 xf xg，则，则 dxxgdxxfee 注注 3 3 结论 （结论 （6 6） 表明对积分确） 表明对积分确定的函数，不等式性质成立。定的函数，不等式性质成立。 实变函数实

24、变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十七辅导课程十七注注 l可积函数具有绝对可积可积函数具有绝对可积性，所以性，所以l积分是一种绝对收敛积积分是一种绝对收敛积分，即分，即 xf与与 |xf有相同的可积性，有相同的可积性，这只这只需由定义立即可得。 但需由定义立即可得。 但r广义广义积分不必为绝对收敛，因此积分不必为绝对收敛，因此l积分积分只是只是r积分的推广，却非积分的推广，却非r广义积广义积分的推广。分的推广。 例如例如 r广义积分理论中，无穷广义积分理论中，无穷积分积分 dxxx0sin= =2 而在而在l积分理论中，积分理论中，dxxx0|sin|，所以所以, 0sin不是x

25、x上的上的l可积函数。可积函数。 例例 设设 xf在在bae,上可积，则上可积，则对任何对任何0，必存在，必存在e上的连续函上的连续函数数 x，使，使 dxxxfba| 证明证明 设设nfeen|， 由于， 由于 xf在在e上几乎处处有限，而上几乎处处有限，而11|nnnenfefe 故故 0nme，)(n由积分的绝对由积分的绝对连续性，对任何连续性，对任何0，必存在，必存在n， 使使 nendxxfmen4/| )(| 令令nneeb， 在在nb上利用鲁津定上利用鲁津定理，存在闭集理，存在闭集nnbf和在和在1r上的连上的连续函数续函数)(x使使 nfbmnn41； nxfxxxffxnfx

26、rxn|,)2(supsup1且时， 244424|nnmendxxxfdxxdxxfdxxxfdxxxfdxxxfnfbeebebannnnnn第五节第五节 积分的极限定理积分的极限定理 本节主要讨论积分运算与极限运本节主要讨论积分运算与极限运算可交换顺序的条件， 这是我们引算可交换顺序的条件， 这是我们引进进勒贝格积分的目的所在。勒贝格积分的目的所在。 我们将我们将看到这个问题在看到这个问题在l积分范围内得到积分范围内得到比在比在r积分范围内完美的积分范围内完美的解解决， 这决， 这正是正是l积分的最大成功之处积分的最大成功之处 定理定理 1 1 （勒贝格控制收敛定理）勒贝格控制收敛定理）

27、 设设 （1 1） xfn是可测集是可测集e上的可测上的可测函数列；函数列； （2 2） xfneeaxfxfn且于, 2 , 1,.|在在e上可积分（称上可积分（称 xfn为为 xf所控所控制，而制，而 xf叫控制函数） ；叫控制函数） ； （3 3） xfxfn。 则则 xf在在e上可积分且上可积分且 dxxfdxxfeennlim 证明证明 由于由于 xfxfn，根据，根据rieszriesz 定理， 存在子列定理， 存在子列 xfin几乎处几乎处处收敛于处收敛于 xf 由由 ,.|eeaxfxfin于得得 ,.|eeaxfxf于由于由于 xf在在e上可积分，得上可积分，得 xf在在e上

28、可积分，同时也有每个上可积分，同时也有每个 xfn在在e上可积分。上可积分。 因为因为 xf在在e上可积分， 由上可积分， 由l积分积分的定义，对任的定义，对任何何0，存在，存在0k使使 ,5dxxfdxxfkeek 由此得由此得 ,5dxxfdxxfdxxfkkeeee 又由积分的绝对连续性得知，存在又由积分的绝对连续性得知，存在0，使可测集，使可测集ee 且且me时，时， ,5dxxfe 对此对此0，又由，又由 xfxfn，所以，所以存在存在0n，使当，使当nn 时，时， 15|knkmeffme 令令 15|knknmeffeh 则则 15|knknkmeffehe 由于由于 knknk

29、keeheheeee)(， 则， 则 当当nn 时，时， 525252215|dxxfdxxfmemedxxfxfdxxfxfdxxfxfdxxfxfdxxfdxxfnknknkheekkhneenheneneen 推论推论 1 1 将条件（将条件（3 3）改为）改为 eaxfxfn.于于e， 定理结论仍成立。， 定理结论仍成立。 推论推论 2 2 设设me， 将条件 （， 将条件 （2 2）改为改为 , 2 , 1,|nkxfn常数如果如果 eaxfxfn.于于e或或 xfxfn，则，则定理结论还成立。定理结论还成立。 注注 推论推论2 2也叫有界收敛定理。也叫有界收敛定理。 例如例如 证明

30、证明 0cosln0limxdxennxxn 证明证明 设设 ,coslnxennxxfxn 不难验证，当，不难验证，当， 0,xfnn时 又因又因 , 3, 0ln1ln2/ttttt当 ,133ln33lnlnlnxnxnnnnxnxnnnx 从而便得从而便得 .133ln|xnexxf 但是不等式右边的函数在但是不等式右边的函数在), 0 上上是是l可积的。由定理可积的。由定理 1 1 的推论的推论 1 1 即即得得 000limlimdxxfdxxfnnnn 所所以以，当当0, 3xn时时， 定理定理 2 2 （列维定理（列维定理 levilevi） 设设 xfn是可测集是可测集e上的

31、一列非负可上的一列非负可测函数，且在测函数，且在e上有上有 , 2 , 1,1nxfxfnn， （单调列）令， （单调列）令 xfxfnnlim，则，则 dxxfdxxfeennlim 证明证明 首先，由于首先，由于 xfn是单调是单调列，所以列，所以 xfxfnnlim存在，可测且存在，可测且 , 2 , 1,nxfxfn， 故由前节定理故由前节定理 1 1 的（的（6 6） ，） ， dxxfdxxfeen 从而从而 得得 dxxfdxxfeennlim 其次，为了得到相反的不等式，其次，为了得到相反的不等式，对于固定的对于固定的0n，考虑可测函数，考虑可测函数列：列： ,21nnnnnn

32、nnxfxfxfxf 在在ne上它们都有定义上它们都有定义且不难证明且不难证明 ）（ 1limnnnnxfxf 事实上， 设事实上， 设nex 0， 如果存在， 如果存在nn 0使使nxfn00，则对，则对0nn 有有nxfn0，从而从而nxf0，故（，故（1 1）式成立。如）式成立。如果对任何果对任何nn ，都有，都有nxfn0，这，这时（时（1 1）式成为）式成为 00limxfxfnn。 总之总之无论哪种情况，（无论哪种情况，（1 1） 式都成立。） 式都成立。 因此因此 dxxfdxxfdxxfnnennnnenennnlimlim dxxfennlim （第二等式由控制收敛定理（第二

33、等式由控制收敛定理而而得得） 故有故有 dxxfdxxfdxxfennnenenlimlim 所以得到所以得到 dxxfdxxfeennlim 实变函数实变函数主讲教师主讲教师 ：吴行平：吴行平辅导课程十八辅导课程十八定理定理 3 3 （l逐项积分定理）逐项积分定理） 设设 xfn是可测集是可测集e上的一列非负可上的一列非负可测函数，则测函数，则 11nneenndxxfdxxf 证明证明 设设 , 2 , 1,1nxfxgniin则则 xgn为为e上的一列非负可测函数上的一列非负可测函数的递增序列，由的递增序列，由 levilevi 定理有定理有 dxxgdxxgennennlimlim 但

34、是但是 xfxgnnnn1lim， dxxfdxxgeinien1 代入（代入（1 1）式即得）式即得 （1） 定理定理 4 4 （积分的可数可加性）（积分的可数可加性） 设设 xf在可测集在可测集e上积分确定，且上积分确定，且1iiee，其中各，其中各ie为互不相交的可为互不相交的可测集，则测集，则 dxxfdxxfieie1 证明证明 设设 ., 2 , 10neexexxfxfnnn 则各则各 xfn为为e上非负可测函数且上非负可测函数且 xfxfnn1，由前节定理，由前节定理 1 1 的的（3 3） dxxfdxxfneen 应用逐项积分定理即得应用逐项积分定理即得 dxxfdxxfn

35、een1 同样可得同样可得 dxxfdxxfneen1 由于由于 xf在可测集在可测集e上积分确上积分确定， 故上面两个正项级数中至少有定， 故上面两个正项级数中至少有一个是收敛的。因此两式相减即得一个是收敛的。因此两式相减即得 dxxfdxxfdxxfeee dxxfdxxfnenenn11 dxxfdxxfdxxfneneennn11)( 定理定理 5 5 （fatoufatou 引理）引理） 设设 xfn是是可测集可测集e上的一列非负可测函上的一列非负可测函数，则数，则 dxxfdxxfennennlimlim 证明证明 设设 , 2 , 1, ,inf1nxfxfxgnnn则则 xgn

36、为为e上非负可测函数递增列且由上非负可测函数递增列且由levi levi 定理定理 xgxfnnnnlimlim xfxgdxxfdxxgdxxgdxxgdxxfnnennennennennenn因limlimlimlimlim注意注意 fatou fatou 引理中的不等号引理中的不等号是可以实现的，例如，设是可以实现的，例如，设 nxxnnxnnxfn21011, 0121,或 因因 0limxfnn，所以，所以 010limdxxfnn，但同时又有但同时又有 ， 故故 2110limdxxfnn 21001112121010nnnnndxndxdxdxxf第第 六六节节 有有 界界 变变

37、 差差 函函 数数 本节我们将介绍一类重要的函本节我们将介绍一类重要的函数数有界变差函数。 在历史上它有界变差函数。 在历史上它是在考查弧长的存在问题时首先是在考查弧长的存在问题时首先被引入的。被引入的。 定义定义 1 1 设设 xf为为ba,上的有限上的有限函数，如果对于函数，如果对于ba,的一切分划的一切分划t，使使 niiixfxf11|成一有界数集， 则成一有界数集， 则称称 xf为为ba,上的有界变差函数上的有界变差函数（或囿变函数） ，并称这个上确界（或囿变函数） ，并称这个上确界为为 xf在在ba,上的全变差， 记为上的全变差， 记为 .fvba用一个分划作成的和数用一个分划作成

38、的和数 niiixfxf11| 称为称为 xf在此分划下对应的变差在此分划下对应的变差。 定理定理 1 1 （1 1） 设设 xf在在ba,上有上有界变差， 则也在任一子区间界变差， 则也在任一子区间11,ba上上有界变差。有界变差。又如又如bca， xf分别分别在在ca,及及bc,上有界变差，则上有界变差，则 xf在在ba,上也有界变差且上也有界变差且 fffvvvbccaba . （可加性）（可加性） （2 2） 设设 xf在在ba,上有界变差，上有界变差，则则 xf在在ba,上有界；上有界； （3 3） 设设 xf， xg在在ba,上都是有上都是有界变界变差，则差，则 xgxfxgxf,在在ba,上有上有界变差。界变差。 定理定理 2 2 （jordan jordan 分解）分解） 在在ba,上的任一有界变差函数上的任一有界变差函数 xf都都可表示为两个增函数之差。可表示为两个增函数之差。 证明证明 由定理由定理 1 1 知知 .fxgvxa是是ba,上的增函数。上的增函数。 令令 xfxgxh 易易知知 xh是是ba,上上的的增增函函数数 定理定理 3 3 设设 xf为为ba,上的有界上的有界变差函数，则变差函数，则 （1 1） xf在在ba,上几乎处处存在上几乎处处存在导数导数 xf/；