步步高§2.4二次函数与幂函数要点

1、辿.4二次函数与号函数【2014高考会这样考】1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方 程、一元二次不等式进行综合应用；3 .利用哥函数的图象、性质解决有关问题.【复习备考要这样做】1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3.充分应用数形结合思想把握二次函数、哥函数的性质.基础知识自主学习要点梳理4 .二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x) = ax2+ bx+ c(aw 0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) = ax2 + bx+ c_(aw

2、0).顶点式：f(x) = a(xm)2+ n(aw 0).零点式：f(x) = a(xx1)(xx0_(aw0).5 .二次函数的图象和性质解析式f(x)= ax2 + bx+ c (a>0)f(x)= ax2 + bx+ c (a<0)图象yI V定义域(1 00, + 00 )(一 00)+ OO )值域一 4.24ac bJ一 OO4ac b2 |+ 0c-4a ，'4a 1单调性在 xC -在x 口2al上单调递减；2a，+8单调递增在xe(8, 2al上单调递增；在xC 卷，+oo，上单调递减奇偶性当0_时为偶函数，bw0时为非奇非偶函数顶点；27i_ _b 4

3、ac b ) < 2a， 4a J对称性图象关于直线X=成轴对称图形2a3.备函数形如 匕犬(/C R)的函数称为哥函数，其中 X是自变量，”是常数.4.募函数的图象及性质(1)募函数的图象比较(2)哥函数的性质比较性质$=产?一3 y j：1 芋二.xJ产:T定义域RRR。*+8).1.长R且尸0值域R。+8)R0, 十»y 1 w W R 且3乎0奇偶性奇函数偶函数函数非奇非偶 函数奇函数单调性增,j：C 。，埴埴r e (0,+ 8 )七R) 时，减i6(-8,时.增；j； G (一j 0 0)时，喊时，减难点正本疑点清源1 .二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，

4、宜用一般式.(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.(3)已知二次函数与 x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2 .募函数的图象(1)在(0,1)上，哥函数中指数越大，函数图象越靠近X轴，在(1, +8)上募函数中指数越大，函数图象越远离 X轴.(2)函数y=x, y= x2, y= x3, y= xg, y= x 1可做为研究和学习哥函数图象和性质的代表.基础自测1,已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+ 2在区间(一8, 3上是减函数，则实数 a的取值范围为答案( 8, 2解析f(x)的图象的对称轴为 x=1 a且开口向上，

5、 1 a>3)即 aw 2.2,已知函数y = x2-2x+3在闭区间0, m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为答案1,2解析 y= x22x+3的对称轴为x= 1.当m<1时，y=f(x)在0, m上为减函数.1 ymax = f(0) = 3, ymin = f(m)=m 2m + 3= 2.1 m= 1,无解.当 1WmW2 时，ymin = f(1) = 12 2X 1 + 3=2, ymax= f(0) = 3.当 m>2 时，ymax= f(m)= m22m+3= 3,m= 0, m=2,无解.1< m< 2.3,若募函数y= (m23m+ 3)

6、xm2m2的图象不经过原点，则实数 m的值为答案 1或2解析由m23m+3=l m2- m- 2< 0 ,解得 m= 1 或 2.经检验m=1或2都适合.4 .(人教A版教材例题改编)口如图中曲线是募函数 y=xn在第一象限的图象.已知n取及，色四个 乂值，则相应于曲线 C1，C2, C3, C4的n值依次为, 犷：*-答案2, 2,1 2，解析可以根据函数图象是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值.5 .函数f(x)=x2+mx+ 1的图象关于直线x=1对称的充要条件是()A . m= 2B. m= 2C. m = 1D. m= 1答案 A解析 函数f(x) = x2+m

7、x+1的图象的对称轴为 题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)= 1, f(-1) = -1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用.解 方法一 设 f(x)= ax2+bx+c (aw。)，依题意有 "4a + 2b+c=1, a b+c=1,4差一 b =8,解之，得， 4aa= 4, b = 4,c= 7,所求二次函数解析式为f(x)= 4x2+ 4x+ 7.方法二 设 f(x) = a(x m)2+n, aw 0.f(2) = f(1),.抛物线对称轴为x=2+gi L2.- m

8、=2.又根据题意函数有最大值为n=8, y=f(x) = a x-2 yi?+ 8. f(2) = - 1, .ag2 j+8=1,解之，得 a=-4. .f(x) = - 4(x- 1 J+8=-4x2+4x+7.方法三 依题意知，f(x)+1=0的两根为x1=2, x2=- 1,故可设 f(x)+1 = a(x2)(x+1), aw。.即 f(x) = ax2 ax 2a 1.又函数有最大值ymax=8,即4aL 2：T)- a =8,4a=一：,且只有一条对称轴，所以一 m =1,即 m= 2.题型分类深度剖析解之，得a= 4或a=0(舍去).函数解析式为f(x)= - 4x2 + 4x

9、+ 7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果.变式训算1已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1+x)=f(1x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)= 0的两根立方和等于 17.求f(x)的解析式.解 依条件，设 f(x)=a(x 1)2+15 (a<0), 即 f(x) = ax2 2ax+ a +15.令 f(x) = 0,即 ax22ax+ a+15=0,1. x1 + x2 = 2, *仅2=1 + 15.而 x3+ x3= (x1+ x2)

10、3-3x1x2(x1 + x2)= 23-3X2X i + 15'j= 2-90, a a90 .2些=17,则 a= 6. a .f(x) = 6x2+ 12x+9.题型二二次函数的图象与性质【例 2】 已知函数 f(x)=x2+2ax+3, x -4,6.(1)当a= 2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a=1时，求f(|x|)的单调区间.思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于 (3),应先将函数化 为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.解 (1)当 a=2 时，f(x)=x2-

11、4x+3= (x- 2)2 1,由于 xC 4,6,f(x)在 4,2上单调递减，在2,6上单调递增， .f(x)的最小值是 f(2)= 1,又 f( 4)=35, f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是 x=- a,所以要使f(x)在 4,6上是单调函 数，应有一aw4 或一a>6,即 aw6 或 a>4.(3)当 a=1 时，f(x) = x2+2x+ 3, .f(|x|) = x2+2|x| + 3,此时定义域为 xC 6,6,且 f(x) = x2+2x+3, xC(0, 6 x2-2x+ 3, xC6, 0,，f(|x

12、|)的单调递增区间是(0,6,单调递减区间是6,0.探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.变式训练2若函数f(x)=2x2+mx1在区间 1, +8)上递增，则f(1)的取值范围是答案(一8, 3解析.抛物线开口向上，对称轴为x=m,4一 见 w 1，m>4.4又 f(1)=1 mW3, ，f(1)C ( oo,司.题型三二次函数的综合应用【例 3 (2012 淮

13、安模拟)若二次函数 f(x)=ax2+bx+ c (aw 0)满足 f(x+ 1)-f(x) = 2x,且 f(0) =1 .(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)>2x+ m恒成立，求实数 m的取值范围.思维启迪：对于(1),由f(0) = 1可得c,利用f(x+ 1) f(x)=2x恒成立，可求出a, b,进而确定f(x)的解析式.对于(2),可利用函数思想求得.解 (1)由 f(0)=1 得,c= 1.f(x)=ax2 + bx+ 1.又 f(x+ 1)-f(x)=2x,a(x+ 1)2 + b(x+ 1)+1 (ax2+ bx+ 1) = 2x,即 2a

14、x+a+b=2x,2a= 2,a+ b=0, ，a=l b= - 1.因此，f(x) = x2 x+ 1.(2)f(x)>2x+ m 等价于 x2x+1>2x+ m,即 x23x+ 1 -m>0,要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)=x23x+1 m在1,1上的最小值大于 0即可.g(x) = x2- 3x+ 1 -m 在1,1上单调递减， g(x)min=g(1) = - m-1,由一m 1>0 得，m<- 1.因此满足条件的实数m的取值范围是(一8, - 1).探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是

15、“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.变式训维3 (2012苏州模拟)已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(1 + x) =f( 1 x)对任意实数都成立，函数y=g(x)与y= f(x)的图象关于原点对称.求f(x)与g(x)的解析式;(2)若F(x)=g(x)入(x)在(一1,1上是增函数，求实数 入的取值范围.解 (1) .- f(x) = x2+mx+n,1- f(- 1 + x)= ( 1 + x)2+ m( 1

16、+ x)+ n=x2 2x+ 1 + mx+ n m=x2+ (m 2)x+ n m+ 1,f(-1 -x)= ( - 1-x)2+ m( -1 - x) + n=x2 + 2x+ 1 mx m + n=x2+ (2 m)x+ n m+ 1.又 f(1 + x)= f(1 x), - m 2 = 2 m,即 m= 2.又f(x)的图象过点(1,3),，3=12+m+n,即 m+n=2,n= 0,f(x) = x2+ 2x,又y=g(x)与y = f(x)的图象关于原点对称，-g(x) = (- x)2 + 2x (- x), g(x) = x2 + 2x.(2)F(x)=g(x)入(x)=(1

17、 +x2+(2 2?)x,当入+ 1W0时,F(x)的对称轴为又F(x)在(一1,1上是增函数.1+成1f 1或曰1''' ?< 一1 或一 1< 7? 0.当入+ 1=0,即 上一1时，F(x)=4x显然在(一1,1上是增函数.综上所述，入的取值范围为(8, 0.题型四哥函数的图象和性质【例4 已知哥函数f(x)=xm22m3 (mC N*)的图象关于y轴对称，且在(0,)上是减函数，求满足(a+1) m<(3 2a)m的a的取值范围.思维启迪：由哥函数的性质可得到哥指数m2 2m 3<0,再结合m是整数，及哥函数是偶函数可得m的值.解.函数在

18、(0, + 8)上递减，m2-2m-3<0,解得1<m<3.1 m N , m= 1,2.又函数的图象关于 y轴对称，m22m3是偶数，而 222X23= 3 为奇数，122X 1 3=4 为偶数，1 ,，m=1.而 f(x) = x.在(00, 0),(0, + 8)上均为减函数， 3(a+ 1) 1<(3 2a) 1 等价于 a+ 1>3 2a>0 或 0>a+ 1>32a 或 a+ 1<0<3 2a. 33解得 a< 1 或 2<a<3. 32一，.23、故a的取值氾围为、a|a<1或3<a<

19、2 r.探究提高(1)哥函数解析式一定要设为y= xa (a为常数的形式)；(2)可以借助募函数的图象理解函数的对称性、单调性.变式训域4 (2012聊城模拟)已知募函数f(x)=x(m2+m)-1(mC N*)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2,也)，试确定m的值，并求满足条件 f(2 a)>f(a1)的实数a 的取值范围.解 (1)m2+m= m(m+1), mCN*,而m与m+ 1中必有一个为偶数，m(m+1)为偶数.函数f(x)=x(m2+m)1(mC N*)的定义域为0,十),并且在定义域上为增函数.(2) :函数f(x)经

20、过点(2, V2),1 .2= 2(m2+ m) 1,即 22= 2(m2+m)1.m2+ m = 2.解得 m= 1 或 m= 2.又mC N*, m= 1.由 f(2 a)>f(a1)得2-a>0,a- 1>0 2-a>a-1.3解得1wa<2.a的取值范围为1, 2).思想与方法2.分类讨论思想在二次函数中的应用典例：(14分)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x a)|x- a|.(1)若f(0)>1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x) = f(x), xC(a, +8),直接写出(不需给出，M算步骤)不等式h(x)&g

21、t;1的解审题视角（1）求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可；（2）求f（x）的最小值，由于f（x）可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起；（3）对a讨论时，要找到恰当的分类标准.规范解答解 （1）因为 f（0） = - a| a|> 1,所以一a>0,即 a<0,由 a2> 1 知 aw 1, 因此，a的取值范围为（一8, 1. 3分(2)记f(x)的最小值为g(a),则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|(x+ aj2a2, x< a 5 分(i)当 a>0 时，f( a) = 2a ,由知 f(x)2a2,此时 g(a

22、) = 2a2.7 分一 a 2 2(ii)当 a<0 时，f|3 厂 3a ,若x>a,则由知f(x)> 2a2.3若 xwa,由知 f(x)R2a2>2a2.此时 g(a) = |a2, 33综上，得 g(a)=i 2a2, a>0a<0 .10 分(3)( i )当 a C 00 ,多上解集为沁产.J，3(ii)当 aCa_ 3/3 2a I, 1 laH- 73 2a1 U a3- 13（iii）当aC ,上当，一乎，寸，解集为+ oo川4分本题充分体现了分类讨论温馨提醒分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.的思想方法.在解答本题时有两点容

23、易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意 a自身的取值范围，易出错；二是求函数最 值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论.除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1 .含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2 .分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小;3 .解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.思想方法*感悟提高方法与技巧1 .二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一 般从开口方向；对称轴位置；判别式；端

24、点函数值符号四个方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.2 .与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2+bx+c>0, aw 0 恒成立的充要条件是a>Q b24ac<0 .(2)ax2+bx+c<0, aw 0 恒成立的充要条件是a<。b24ac<0 .3 .募函数y=x"(衣R)，其中a为常数，其本质特征是以哥的底x为自变量，指数 a为常数.失误与防范1,对于函数y=ax2+bx+ c,要认为它是二次函数，就必须满足aw0,当题目条件中未说明aw0时，就要讨论 a=0和aw0两种情况.2.募函

25、数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性； 哥函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果哥函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.练出高分(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1. (2011 浙江)设函数 f(x) = x,x<0,x2,x>0,若 f(4=4,则实数 a等于()A. - 4 或2B. 4或 2C. 2 或 4D. 2 或 2答案 B解析 当 0 时，f( a) = a= 4,得 a= - 4 ;当 a>0 时，f( a)= a2= 4,得 a= 2. a= 一 4

26、 或 a= 2.2,已知函数f(x)=x22x+2的定义域和值域均为1,b,则b等于()A. 3B. 2或 3C. 2D. 1 或 2答案 C解析 函数f(x) = x22x+2在1, b上递增,由已知条件f(1 尸 1,f(b 尸 b,b>1,即b23b+2 = 0,b>1.解得 b=2.3 .设abc>0 ,二次函数f(x)= ax2+bx+c的图象可能是()ABCD14答案 D解析由 A, C, D 知，f(0)=c<0.abc>0, ab<0, 对称轴 x= 2a>0,知A, C错误，D符合要求.由 B 知 f(0) = c>0, .-.

27、ab>0, . »= F<0, B 错误. 2af(m)wf(0),则实数 m的取值4 .设二次函数f(x)=ax22ax+ c在区间0,1上单调递减，且范围是B. 2,+8 )D. 0,2A.(巴 0C. (8, 0 U 2,+8 )答案 D解析 二次函数f(x)= ax2- 2ax+ c在区间0,1上单调递减,贝U aw 0,f'(x) = 2a(x-1)<0,xC 0,1,所以a>0,即函数图象的开口向上，对称轴 A是直线x=1.所以 f(0) = f(2),则当 f(m)wf(0)时，有 0wmw 2.二、填空题(每小题5分，共15分)5 .二

28、次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为一1,则它的解析式为 答案 y=2(x-2)2-16 .已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+ 2在区间(一8, 3上是减函数，则实数 a的取值范围为答案(一8, 2解析f(x)的图象的对称轴为 x=1 a且开口向上， - 1 a>3,即 aw 2.7. 当 代1, 1，1, 3时，哥函数y=x"的图象不可能经过第 象限. L4-答案二、四解析 当“=1、1、3时，y=x"的图象经过第一、三象限；当 a= g时，y = x"的图象 经过第一象限.三、解答题(共25分)8. (12分)已知二次函数f(x)的

29、二次项系数为 a,且f(x)> 2x的解集为x1<x<3,方程f(x) + 6a = 0有两相等实根，求f(x)的解析式.解 设 f(x)+2x= a(x- 1)(x- 3) (a<0),贝U f(x) = ax2 4ax+3a 2x, f(x) + 6a= ax2- (4a + 2)x+ 9a,A= -(4a+ 2)2-36a2= 0,16a2 + 16a+ 4 36a2=0, 20a2 16a-4= 0,5a2 4a 1 = 0, (5a+ 1)(a- 1)= 0, 解得a= - 1或a= 1(舍去).51 因此 f(x)的解析式为 f(x)=5(x 1)(x- 3

30、).9. (13分)(2012玉林调研)是否存在实数a,使函数f(x)=x22ax+ a的定义域为1,1时， 值域为2,2?若存在，求a的值；若不存在，说明理由.解 f(x) = (x a)2 + a a2.当a<1时，f(x)在 1,1上为增函数，. f( 1 尸 1 + 3a= 2,f(1 尸 1a=2 ? a= 1(舍去)；当一1WaW0 时，f(a 尸 a-a2=- 2,f(1 广 1 a=2?a=1;当 0<aw 1 时，f(a 尸 a a2=2,f( 1 尸 1 + 3a= 2 ? a 不存在；当a>1时，f(x)在1,1上为减函数,f( 1 尸 1 + 3a=2

31、,f(1 尸 1-a=-2? a不存在.综上可得a = - 1.B组专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分)21 . (2012合肥调研)已知募函数f(x)=x的图象经过点；2,范则f(4)的值等于()1A. 16B.11 . 2D.2答案 D解析将点2半1 弋入彳导:2=/所以“=-2, 1故 f(4)=.2 . (2012温州十校联考)已知函数f(x) = 2mx22(4 m)x+1, g(x) = mx,若对于任一实数 x, f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数 m的取值范围是()A. (0,2)B. (0,8)C (2,8)D.(一巴 0)答案 B解析 当m<0时，显然不合题意；当 m>0时，f(0) = 1>0,若对称轴42学封0,即0<m<