应用留数定理计算实变函数定积分ppt课件

1、4.2 运用留数定理运用留数定理 计算实变函数定积分计算实变函数定积分在自然科学中经常需求计算一些实积分，特别是计在自然科学中经常需求计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需算一些在无穷区间上的积分。例如：光学问题中需求计算菲涅尔积分求计算菲涅尔积分 ；热传导问；热传导问题中需求计算题中需求计算 ；阻尼振动问题中需求；阻尼振动问题中需求计算积分计算积分 等。我们在高等数学中曾经知等。我们在高等数学中曾经知道这些实变函数的积分需求特殊的技巧才干计算，道这些实变函数的积分需求特殊的技巧才干计算，有的很难，甚至不能计算。缘由在于被积函数往往有的很难，甚至不能计算。缘由在于

2、被积函数往往不能用初等函数的有限方式表示，因此就不能用牛不能用初等函数的有限方式表示，因此就不能用牛顿顿莱布尼兹公式计算。莱布尼兹公式计算。0202)sin()cos(dxxdxx，0)cos(2dxbxeax0/ )(sinxdxx可是经过本节的学习我们会发现，这些实积分可可是经过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分以转化为复变函数的环路积分( (留意到当积分途留意到当积分途径沿实轴时，径沿实轴时，z=xz=x即对应于实积分即对应于实积分) )，再利用留数，再利用留数定理，那么积分显得方便易求。定理，那么积分显得方便易求。利用留数定理计算实积分利用留数定理计算实积分

3、普通可采用如下普通可采用如下步骤：步骤：(1)(1)添加辅助曲线，使积分途径构成闭合曲线；添加辅助曲线，使积分途径构成闭合曲线；(2)(2)选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解选择一个在曲线内除了一些孤立奇点外都解析的被积函数析的被积函数F(z)F(z)，使得满足，使得满足F(x)=f(x)F(x)=f(x)，通常，通常选用选用F(z)=f(z)F(z)=f(z)，只需少数例外；，只需少数例外；dxxf)(3)(3)计算被积函数计算被积函数F(z)F(z)在闭合曲线内的每个孤立在闭合曲线内的每个孤立奇点的留数，然后求出这些留数之和；奇点的留数，然后求出这些留数之和；(4)(4)计算辅助曲线上

4、函数计算辅助曲线上函数F(z)F(z)的积分值，通常选的积分值，通常选择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。择辅助线使得积分简单易求，甚至直接为零。设法将实积分设法将实积分 与复变函数回路积分相联与复变函数回路积分相联络。络。根本思想：根本思想：(1)(1)补上一段补上一段l2l2，使得，使得l2l2上上 的积分容易计算；的积分容易计算；badxxf)(2)(2)自变数变换，把自变数变换，把l1l1变成变成 另一复平面上的回路。另一复平面上的回路。类型一：类型一：条件：条件： 被积函数是三角函数的有理式；被积函数是三角函数的有理式； 区间是区间是00，22 变数代换令变数代换令z=eixz=

5、eix，x 0 x 0，22， 作变换作变换20)sin(cosdxxxRI，dzizdxzzixzzx1)(21sin)(21cos111|1122zizdzizzzzRI，izzzzRizzf221)(11，令令由留数定理得：由留数定理得： zk为为f(z)在单位圆内的奇点在单位圆内的奇点例例1：计算：计算 该积分在力学和量子力学中很重要该积分在力学和量子力学中很重要 nkkzsfidxxxR120)(Re2)sin(cos，) 10( cos120 xdxI1|12/ )(1/zzzizdzI1|222zzzdzi221212ii例例2：计算：计算 解：令解：令z=eix，那么，那么 f

6、(z)有两个有两个2阶极点，阶极点， 其中其中 在在|z|=1内，那么内，那么z1 处的留数为处的留数为) 10( )cos1 (21202xdxI1|212/ )(1 /21zzzizdzI)11(12z)11(121z1|21|22)(2) 1/2(21zzdzzfizzzdzi2/3222)1 (4)11(1Resf2/3212)1 (1)(Re22zsfiiI例例3：计算：计算 解：令解：令z=eix，那么，那么 在在|z|=1内，内，) 10( cos21202xdxIzzzx)1)(cos2121|)1)(1zzzdziI)1)()(zzdzzf ，以，以z=z=为一阶极点为一阶极

7、点例例4 4：求：求 的值的值解：令解：令z=eiz=ei，那么，那么21111)(Rezzsf20cos2dI1|21|214122121zzdzzziizdzzzI22121121 iiI被积函数被积函数 在在|z|=1内只需单极内只需单极点点 ，故，故类型二：类型二： (反常积分反常积分)条件：条件： 区间区间(-，)； f(z)在实轴上无奇点，在上半平面上在实轴上无奇点，在上半平面上141)(2zzzf32z32 141)32(lim4 )32(Re22232zzzsfiiIzdxxfI)( 除有限个奇点外是解析的；除有限个奇点外是解析的； 当当z z在上半平面和实轴上在上半平面和实轴

8、上时，时， zf(z) zf(z)一致地一致地00 假设假设 ， 和和 为互质为互质多多 项式，上述条件意味着项式，上述条件意味着 无实的零无实的零 点，点， 的次数至少比的次数至少比 高两阶。高两阶。所求积分通常了解为以下极限：所求积分通常了解为以下极限：)()()(xxxf)( )(xx)(x2121)(lim)(RRRRdxxfdxxfI)( )(xx假设上述极限存在，这一极限便称为假设上述极限存在，这一极限便称为 的值。的值。而当而当R1=R2时极限存在的话，该极限称为积时极限存在的话，该极限称为积分分 的主值，记为：的主值，记为： P 上下限相等并同时上下限相等并同时本类型积分计算的

9、是积分主值，如本类型积分计算的是积分主值，如何计算？作如下图半圆形回路何计算？作如下图半圆形回路ldxxf)(RRRdxxfdxxf)(lim)(RCRRldzzfdzzfdzzf)()()(RCRRdzzfdxxf)()()(2数之和所围半圆内各奇点的留在lzfidxxf)(只需证明只需证明0)(limRCRdzzf0|)(|maxlim | )(|maxlim | )(|lim )(lim)(limzzfRRzzfzdzzzfzdzzzfdzzfRRCRCRCRRRR所有奇点的留数和在上半平面内)(2)(zfidxxfI例例4：计算：计算 解：解： =1， =1+x2，在实轴上无零点，在实

10、轴上无零点， 而而 ，具有单，具有单 极点极点i，+i在上半平面，那么在上半平面，那么21xdx)( )(xx)(111)(2izizzzfiizzfizisfiziz211lim )()(lim)(Reiixdx21212例例5：计算：计算 ，n为正整数为正整数 解：解： 是偶函数是偶函数 而而 在上半在上半 平面具有平面具有n阶极点阶极点+i，那么，那么02)1 (nxdxInxxf)1 (1)(21111)()!1(1lim )()()!1(1lim)(RennniznnnizdzizdndzzfizdnisfnxdxI)1 (212nnnizizzzf)()(1)1 (1)(2inni

11、nnnnnnnniiinnnnnnnnnn122121221122)!1()!22(2)!1()22).(1()22).(1(2)!1() 1()2()!1()22).(1)(212202)!1()!22(2)1 (21 )1 (nnxdxxdxInnn例例6：计算：计算 解：解： f(x)是偶函数是偶函数 令令z4+a4=0，那么，那么z4=-a4，即，即 也就是说也就是说 有有4个单极点，其个单极点，其 中，中， 和和 在上半平面在上半平面044axdxI441)(azzf3)210( )2/4/(，kaezki4404421axdxaxdxI4/324/1 iiaezaez)(Re)(R

12、e212144zsfzsfiaxdxI4/333444/4/4141lim 1lim)(Re11izzizzieazazaezaesf4/933444/34/34141lim 1lim)(Re22izzizzieazazaezaesf34/934/3321224141 )(Re)(ReaeaeaizsfzsfiIii例例7：计算：计算 ,(a0,b0) 的值。的值。 解：解： 的分母多项式的分母多项式 的次数高于分子多项式次数两次，它的次数高于分子多项式次数两次，它 在上半平面有在上半平面有z1=ai和和z2=bi两个单极点两个单极点 所以所以dxbxaxxI)(22222)/( )(2)(2

13、2 )(Re)(Re22222baabibbaiaibisfaisfiI)()(22222bzazzzf例例8：计算：计算 的值。的值。 解：解： 为偶函数，且分母多项为偶函数，且分母多项 式的次数高于分子多项式次数两次，式的次数高于分子多项式次数两次， 它在上半平面有它在上半平面有 和和 两个单极点，所以两个单极点，所以0411dxxI42)(4 4141 )(Re)(Re4/94/34/94/34/34/iiiiiieeieeiesfesfiI11)(4zzf4/324/1 iiezez类型三：类型三：条件：条件： F(x)是偶函数，是偶函数， G(x)是奇函数，是奇函数，积分积分 区间是

14、区间是0，； F(x)，G(x)在实轴上无奇点，在上半在实轴上无奇点，在上半 平面除有限个奇点外是解析的；平面除有限个奇点外是解析的； 当当z在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上时，时，F(x) 和和G(x)一致地一致地0。00sin)( cos)(mxdxxGmxdxxFdxexGimxdxxGdxexFmxdxxFimximx)(21sin)()(21cos)(000sin0cossin| )(|maxRe)(ReRdezFideeFmRiimRmRi0)(limRCimzRdzezF要计算右边的积分，需求用到约当引理。要计算右边的积分，需求用到约当引理。约当引理约当引理假设假设m为正数，

15、为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上在上半平面及实轴上时，时，F(z)一致地一致地0，那么，那么证明：证明：RRCmyimxCimzdzezFdzezF)()(2/0sin0sinlim2 limRdeRdemRRmRRsin/20 2/0当当z在上半平面及实轴上在上半平面及实轴上时，时，F(z)一致地一致地0，所，所以以max|F(z)|0，从而只需证明，从而只需证明 即即是有界的。是有界的。在在 范围内，有范围内，有 ，当当R 时，上式时，上式有限值，那么约当引理成立。有限值，那么约当引理成立。假设假设m为

16、负数，那么约当引理为为负数，那么约当引理为CR是是CR对于实轴的映像。对于实轴的映像。)1 (22/0/22/0sinmRmRmRemRdeRde0)(limRCimzRdzezF以上两式均已化为类型二，其中条件以上两式均已化为类型二，其中条件3已放宽，已放宽，由约当引理保证，所以由约当引理保证，所以例：计算例：计算 (a0)的值。的值。 解：解： 有两个单极点有两个单极点ai，其中，其中 ai在上半平面，那么在上半平面，那么)(cos)(0在上半平面留数和imzezFimxdxxF)(sin)(0在上半平面留数和imzezGmxdxxG022cosdxaxmx22)(azeezFimzimzaieaizeazeaizmaimzaizimzaiz2limlim22mamaeaaieidxaxmx22cos022特殊情形：实轴上有单极点的情形特殊情形：实轴上有单极点的情形条件：条件：f(x)在实轴上有有限个单极点；在实轴上有有限个单极点； 满足类型二的其它条件；满足类型二的其它条件；结果：结果： 的求和范围是上半平面的求和范围是上半平面 的求和范围是在实轴上的求和范围是在实轴上dxxf)(21)(Re)(Re2)(zsfizsfidxxf21)(Re)(