可降阶的高阶微分方程(1)ppt课件

1、5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程小结小结 思索题思索题 作业作业 )()(xfyn 型的方程型的方程),(yxfy 型的方程型的方程),(yyfy 型的方程型的方程5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第第5 5章章 微分方程微分方程应应 用用 5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程)()(xfyn 一、一、 型的方程型的方程特点特点是未知函数是未知函数 y 的的n 阶导数阶导数,且不含未知函数且不含未知函数 y 及其及其.y 两边积分两边积分 1)1(d)(Cxxfyn 21)2(dd)(CxCxxfyn接连积分接连积分n n次次, ,右端是右端是自变量自

2、变量x的一个知函数的一个知函数,导数导数左端左端)()(xfyn 再积分再积分得到含有得到含有n n个恣意常数的通解个恣意常数的通解. . 1)1(d)(Cxxfyn5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程例例 求解方程求解方程xyxcose3 解解 将方程积分三次将方程积分三次, 得得xy3e31 xy3e91 xy3e271 最后得到的就是方程的通解最后得到的就是方程的通解.xsin 1C xcos xC1 2C xsin 21xC xC2 3C 5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程二、二、 型的方程型的方程),(yxfy 特点特点 方程缺方程缺y.解法解法, py 将

3、将p作为新的作为新的那么方程变那么方程变为为 p这是一个关于变量这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程的一阶微分方程.假设其通解为假设其通解为),(1Cxpp 那么那么由由),(1Cxpy 再积分一次再积分一次,.d),(21CxCxpy y可求出原方程的通解可求出原方程的通解 设设 xpdd.p 未知函数未知函数,),(fpx5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程4, 100 xxyy例例 解方程解方程 因方程中不含未知函数因方程中不含未知函数y, py 解解令令型型属属),(yxfy ,py 代入原方程代入原方程, 得得3213xpxp p的可分别变量的一阶方程的可分别变量的

4、一阶方程xxxppd13d32 13ln)1ln(lnCxp )1(31xCp 由初始条件由初始条件40 xy知知C1= 4,所以所以)1(43xy y的分别变量方程的分别变量方程3213xyxy 5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程xxyd)1(4d3 244Cxxy 再由初始条件再由初始条件, 10 xy知知C2 = 1故所求解为故所求解为. 144 xxy4, 100 xxyy3213xyxy 5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程阶阶方方程程的的、对对于于不不含含有有nyyyk)1( 0),()()( nkyyxF令令.)(kyp 0),()( knppxF求出通

5、解后求出通解后,只须作变换只须作变换,再积分再积分k次次, 即可求得原方程的通解即可求得原方程的通解.方程就可化为方程就可化为阶方程阶方程kn 5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程例例 解方程解方程 . 01)4()5( yxy解解 令令,)4(yp 那么方程变那么方程变为为, 01 pxp由分别变量法解得由分别变量法解得.1xCp 于是于是,1)4(xCy 所以原方程的通解为所以原方程的通解为.54233251CxCxCxCxCy 积分积分4次次 可分别变量方程可分别变量方程5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程求微分方程求微分方程 yyxy )(2满足初始条件满足初始

6、条件1)1()1( yy的特解的特解.考研数学二考研数学二, 10分分解解, py 令令,py 代入原方程代入原方程, 得得,)(2ppxp 一阶线性方程一阶线性方程因方程中不含未知函数因方程中不含未知函数y,型型属属),(yxfy )de(e1d1d1Cppxppppde )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 即即,ddppxpx 于是于是 )d(1Cpp).(1Cpp , 01 C故故.2xp 5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程求微分方程求微分方程 yyxy )(2满足初始条件满足初始条件1)1()1( yy的特解的特解.考研数学二考研数学二, 10分分应取应取,ddxx

7、y ,32223Cxy xp 2,xp 即即解得解得,312 C故故.313223 xy例例5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 xyydd22ddxyy 特点特点解法解法方程缺自变量方程缺自变量x 三、三、 型的方程型的方程),(yyfy 那那么么xpdd xydd ,ddypp 方程变成方程变成 yppdd这是关于变量这是关于变量y, p 的一阶方程的一阶方程.设它的通解为设它的通解为).,(1Cyp 分别变量并积分分别变量并积分,得通解为得通解为.),(d21CxCyy p设设ypdd ).,(pyf y p )(yp)(ypx5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程

8、.212的通解的通解求方程求方程yyy 解解,ddyppy 则则, py 设设代入原方程代入原方程例例型型属属),(yyfy yppddyp212 yypppd1d22 可分别变量方程可分别变量方程12lnln)1ln(Cyp yCp121 11 yCp即即1dd1 yCxy可分别变量方程可分别变量方程xyCyd1d1 .12211CxyCC 5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程02 yyy微分方程微分方程满足条件满足条件, 10 xy210 xy的特解是的特解是1 xy或或12 xy解解0)(dd x故故有有yy 1Cyy 可分别变量方程可分别变量方程, 10 xy由由210 x

9、y211 C即即21 yy2222Cxy 10 xy由由212 C. 12 xy注注有些高阶方程也可用类似于有些高阶方程也可用类似于“凑全微分凑全微分的方法求解的方法求解.考研数学一考研数学一, 3分分5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程例例且且在在此此点点与与的的经经过过点点试试求求)1 , 0(Mxy 解解 该几何问题可归结为如下的微分方程的该几何问题可归结为如下的微分方程的1221Cxy 故所得曲线为故所得曲线为12 xy直直线线相切的积分曲线相切的积分曲线.初值问题初值问题:, 10 xy ,xy ,210 xyxy 对对两边积分两边积分, 得得,211 C21212 xy

10、两边再积分一次两边再积分一次, 得得232161Cxxy , 12 C. 121613 xxy四、应四、应 用用5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程上述两直线与上述两直线与 x 轴围成的三角形轴围成的三角形例例, 0)(,)0()( xyxxy且且二二阶阶可可导导设设函函数数过曲线过曲线y = y(x)上任一点上任一点 P(x, y)作该曲线的作该曲线的切线及切线及 x 轴的垂线轴的垂线,区间区间0, x上以上以 y(x)为曲边的曲边梯形面为曲边的曲边梯形面, 1221 SS且且解解, 0)(, 1)0( xyy因因为为. 0)( xy所以所以于是于是 cot2121yS yy 2

11、2设曲线设曲线y = y(x)在点在点 P(x, y)处的切线倾角为处的切线倾角为 ,求求y = y(x)满足的方程满足的方程 ., 1)0( y面积记为面积记为S1,ttySxd)(02 积记为积记为S2,Pxy1Oyx 1S2S5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程再利用再利用 y(0) = 1 得得利用利用, 1221 SS得得 xttyyy021d)(两边对两边对x求导求导, 得得2)( yyy 初始条件初始条件, 1)0( y),(ypy 令令方程化为方程化为,ddyppy 则则yyppdd yCp1 利用初始条件得利用初始条件得11 Cyy ,e2xCy , 12 C故所

12、求曲线方程为故所求曲线方程为.exy 2ddpyppy yyS 221ttySxd)(02 )0(y1型型方方程程属属),(yyfy 初始条件初始条件Pxy1Oyx 1S2S5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程012 yy求微分方程求微分方程的积分曲线的积分曲线, 使使该积分曲线过点该积分曲线过点,21, 0 且在该点的切线斜率为且在该点的切线斜率为2.解解方程方程012 yy型型属属),(yyfy ,ddyppy 则则, py 设设代入方程代入方程, 得得1dd2 yppy1212Cyp 01 Cyxy2dd 223232Cxy 2322132 C所求积分曲线为所求积分曲线为.2

13、12232323 xy5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程五、小结五、小结解法解法: : 经过代换将其化成较低阶的方程来求解经过代换将其化成较低阶的方程来求解.三种类型的可降阶的高阶微分方程三种类型的可降阶的高阶微分方程5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 思索题思索题处处上上点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx xttfxy0,d)(1轴轴上上的的截截距距等等于于的的切切线线在在解解)()(xXxfxfY , 0 X令令)()(xfxxfY xttfx0d)(1)()(d)(0 xfxxfxttfx 积分方程积分方程过曲线过曲线 y = f (x)上

14、点上点( x, f (x)处的切线处的切线考研数学一考研数学一, 8分分方程为方程为得切线在得切线在y轴上的截距轴上的截距求求 f (x)的普通表达式的普通表达式.5.5 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程处处上上点点过过曲曲线线对对)(,()(, 0 xfxxfyx .)(的一般表达式的一般表达式求求xf积分方程积分方程两边对两边对x求导求导, 即即0)()( xfxfx型可降阶的方程型可降阶的方程属于属于),(yxfy )()(xpxf 令令)()(xpxf 且且代入上式代入上式, 得得0)()( xpxpx可分别变量方程可分别变量方程 xttfxy0,d)(1轴轴上上的的截截距距等等于于的的切切线线在在)()(d)(0 xf