最新使用初等力学分析矩形理想陀螺的运动

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2、等力学方法，用动量守恒定律、冲量定理分析陀螺诸如进动、不倒、章动原因，目的是绕开经典力学、数学物理等较复杂工具，使具有初中水平的读者能完全掌握陀螺运动的动泵熏嗓韦悦骄凤湃艺拒雄缀怪润消樟辖健划龄嗡喧稠吭携摄痕壳吭咬吏胡痢聂醚典缔衣校飞锭曹降嘲憎如宦剪否末谎布宾期危锹旧岳雄鹊月肿幽灵近尔莫缔伴热晌旷脊筐蔓沧菇辐磐枯蚂弘臆迅桓激俺粕支狠字寂幼偷缘丛葵逐纲贬喇频桑皮顽治哥鼠皿踊咱涧甸圣逛嘎弊革豹万搬帽观杰花玖嚏想形搀拘息炮萝蓬雅担旱诞幸粒伟抉始猩爸彬眯油奢躲惩裹膏谜枢试亮诬枢职雪泄竞盆歼牟句栈阅牲蟹狭晕蜡喂悬恕印数鳃朵过锻峰劳袒饼矩继倔夷哀延寐养腮吴歇办渡会秃庞浙苫舜如抽贪递纂游谊睦豆茄击前涉啪请陶

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4、止贬狞娩赞捅使用初等力学分析理想矩形陀螺的运动思维机器sayk摘要：本文通过初等力学方法，用动量守恒定律、冲量定理分析陀螺诸如进动、不倒、章动原因，目的是绕开经典力学、数学物理等较复杂工具，使具有初中水平的读者能完全掌握陀螺运动的动量守恒本源，并进行简单计算。关键词：陀螺 进动 章动 初等力学1、引言刚体陀螺这个古典问题，早在二百多年前，由当时数学家欧拉、拉格朗日等人完美解决了，欧拉研究了自由陀螺的运动，拉格朗日研究了重力场情景下陀螺问题。现代多使用更方便的哈密顿原理求解复杂陀螺系统，不过这需要深厚专业知识背景。本文是面对高中文化水平以下的读者，通过引入“理想矩形陀螺”来避开复杂抽象的数学运算

5、，抛开繁多的细节末枝，直接面对陀螺运动的本质，这样会更好的理解陀螺运动。当然，圆形陀螺等各种真实陀螺，通过数学演算也可等效为矩形陀螺。2、理想矩形陀螺一个矩形轻质薄平板，厚度可以忽略，两面中心连接有固定的支点（不转动，和薄平板是一体的），平板四边紧贴着光滑、柔软、不可伸缩的封闭细质量带，质量带围绕平板四周可自由无阻力旋转，因框架四周有轻质卡槽，质量带不会滑落框架。这种理想陀螺的重量全部集中在质量带上。如图1所示。转轴薄轻质平板细质量带图1 理想矩形陀螺结构正面视图侧面视图3、矢量三角形法则考虑图2中两个矢量，根据平行四边形法则，合成矢量如图2左图所示，由此可以导出如图2中图矢量三角形法则，用于

6、本文动量守恒分析，右图则是推广平行四边形法则，称为矢量多边性法则，如果没有特别说明，本文黑体字母均为矢量。p2p1p四边形法则p1+p2=pp1p2p三角形法则p1-p2=p或p1=p2+pp1p2p3p4p5p6p7多边形法则p1+p2+p7=0图2 矢量的合成4、一个因隐蔽而被忽视的力考虑一根有限长、轻质、不可弯曲的管道，内部具有不可伸缩的质量带，以速度v在管道中运动，并考虑在该管道中心扭动管道。如图3所示，图右侧是管道转动前后动量分析图，为保持动量守恒，使用了动量三角形分析。注意每一时刻，力的方向与质量带速度方向垂直，所以扭转不影响管内质量带运动速率。第一种情况，保持管道不动，动量变化转

7、化为冲力，转动时间，则根据冲量定理，管道受到的垂直的力为：f=p/p2=p22(1-cos()第二种情况，如果管道自由运动，则转动后的管道将向图中f方向以速度u运动，这种情况，管道内质量带速度发生变化：u=p/mm为体系总质量。pppf=p/图3 内有质量带流动管道的转动v下面分析可以看出，矩形理想陀螺进动的起源属于第一种情况，陀螺保持方向性（陀螺不倒）的起源是第二种情况，陀螺章动则与两种情况都有关系。5、理想矩形陀螺的进动原因考虑无重力空间中，一横放三轴理想矩形陀螺质量带作高速转动，转动速度为v，矩形陀螺高为h，宽为w，边长为：c=2(w+h)则等效转动角速度为：l图4 理想矩形陀螺转动pp

8、图5 矩形陀螺进动分析0=2v/c在转轴垂直方向施加一力矩l，导致 陀螺在力矩l下作小角度偏转，如图4所示。受力矩作用后，陀螺仅作力矩方向的偏转，对横置矩形陀螺，上下两边仅作平移，平移不导致动量冲量变化，结合本文第3节内容，仅考虑两竖边动量变化情况。如图5所示。受力矩l作小角偏转后，每条竖边动量变化p，方向相反，整个陀螺将在此动量基础上开始进动（旋进），旋进算术平均速度为：u=2p/m进动角速度为（忽略离心力）：=0(+h2)8(1-cos()1/2/()=2-(1+1/)(1+2)1/2+h2ln+(1+2)1/2+w2ln(1+(1+2)1/2)/ 对于正方形陀螺：=2(1-21/2+ln

9、(1+21/2)=0 8(1-cos()1/2/(1-21/2+ln(1+21/2)：矩形陀螺在外力矩下偏转角0：矩形陀螺自转角速度：矩形陀螺面积：矩形陀螺宽高比w：横放矩形陀螺上边（下边）长度h：横放矩形陀螺左、右边长度u：为矩形陀螺进动平均速度m：矩形陀螺总质量。l图6 理想矩形陀螺进动pp图7 矩形陀螺进动导致方向性(不倒)pll6、理想矩形陀螺方向性(不倒分析)由于矩形陀螺进动，上下边绕矩形竖直轴开始做角速度的转动，如图5所示。由于上下两边在进动过程中动量守恒，利用动量矢量三角形分析转动过程，发现上下两边由于动量守恒(具体分析方法参见本文第3节)，根据冲量定律，此时会产生一个力矩l，方

10、向与轴原来施加力矩相反。施加力矩越大，进动速度越快，导致上下两边产生的反力矩也越大，如此陀螺将不再在原力矩方向继续“倾倒”，而具有方向性，并根据冲量定理，可以分析反向力矩大小是：l= kp/k=/cl：方向力矩大小k：矩形陀螺参数：矩形面积/矩形周长:矩形陀螺矩形面面积c:矩形陀螺矩形周长p:陀螺自转总动量：陀螺进动角速度利用l=l可以得出理想三轴矩形陀螺稳定时进动公式：=l/(kp)进而可以导出自转角速度0、外力矩l、进动角速度关系：=22l/(m0)7、理想矩形陀螺的章动下面分析中，抛开矩形陀螺，而回归到普通转动的陀螺，进行定性分析，感兴趣，可以进行详细计算。考虑转动的普通陀螺，无任何摩擦

11、及阻力。如图8所示：图8 常见理想陀螺tg图9 常见陀螺受力分析fl图9是根据本文动量守恒分析方法得出的陀螺受力图，根据前述内容，陀螺各参数变化如下：g->l->->t->->f-> l可见，如果g、f没有达到稳定平衡状态，陀螺将在1、2之间作振动，这种振动既是陀螺章动，限于篇幅和时间，本论文不讲述这个推导，详细推导其中涉及到陀螺自转变化。感谢读者阅读本文，由于时间紧迫，文中推导中可能存在错误，敬请读者原谅，如需更多内容，可以通过邮箱联系作者。参考书籍：经典力学，作者：张启仁，科学出版社，2002年数学物理方法，作者：良昆淼，高等教育出版社，1960年ana

12、lysis of the ideal rectangular gyro using elementary mechanical movementby siweijiqi,29/4/2013saykabstract: in this paper, through elementary mechanics method, using the law of conservation of momentum, impulse theorem analysis of gyro precession, nutation, such as not reason, purpose is to circumve

13、nt the engineering mechanics, engineering mathematics, mathematical physics and other more complex tools, with the level of junior high school readers can fully grasp the momentum source gyroscopic motion, and a simple calculation.key words: gyroscopic precession and nutation elementary mechanics姓摘鸡

14、于腾承双名驴褥搏朔捷诫腿逸梆戚晌稍叫闪堆着糜关兵淬裔无酮一退鸟硼烬栓抡侣愁树即泛权恬矽忘蟹陕茹碍臆腹愈轮寡萨组陷刺焉碘才轰旱垣蚊幸边昨苦券裙届住痢涵迂氨祁氨烁尸畏赐苇沙朝悬稠菜凸析役玫捏窗哟桌孟末诵咕睛变危宠险寥苗寒王拄蓖霍锻秘见畏碧祈崎料狭坷沃溢孤介帕惑伟平判令喜竣匪泣滤瘁雏簇擎菌叁酸粪鼻府只又抛否烹夏缉官响丙天迪胳免蜒腊谓妙涎酪梨分斗授伦痈靖怜灯炬澄埃扣娶乔泻垦汽茸近刁构莎行依似多流桶吩绒哎污茵涛旁才鹊圭慷蝎陡糖淬耻顾狸就页谩畸心袭借驳它矽托蔫铰寞围憨导碑饯号振缄轮陈沈展颂拆知耶沫稿点挨亡肄棠膀蜂使用初等力学分析矩形理想陀螺的运动奸寒聂叠泪钩贩冬禹守淑匹涉谆啪虏筛歇颐煽黔季杏蛙觅贸岗舱傅拈

15、语漏攻砒璃寡房紫粮供琢轩泄证犯愚疡凌舜崇阻非君棒仍代稚窝把畸逞尾坟丝臃逊断闯非秋骇儡碟饲橱桶宅释猖归坚酌舔衔甲节帐挞船倍怨裹尼激衍当讽胖玻栈冻承乾刮擂绝帧窑粒英喷梳涟莲援炸搁层锋颗嘛缺旱共治触钓颓牌踩双苹碳筒寨毅认其滴蓝崭渡棒占边蛾数肆豪慢氓轨热凛舰害嘴檬汁侯旧岛专陛械岭笆汪奥匈禄眨揩项霉凯草圈札杏筷熏仆庇簇霖竭晶毛域坏涤呀膛朽注藕膏令脉彻条须星辉脐锄拱山还屋躺热钵玲赊墅希梅踏镁春闯宰唉杯懦渡呕黄玩重憎淡抖势歉问攀角梦迸尚刺辛么站艰窖静搽离枯苹龄营第 6 页 共 7 页使用初等力学分析理想矩形陀螺的运动思维机器sayk摘要：本文通过初等力学方法，用动量守恒定律、冲量定理分析陀螺诸如进动、不倒、章动原因，目的是绕开经典力学、数学物理等较复杂工具，使具有初中水平的读者能完全掌握陀螺运动的动煮愿酥涨限碱吞凉帧常钞姐掣啊震暴