四种命题与充要条件

1、常用逻辑用语与充要条件高考考情解读】1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综 合在一起考查 .2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等 偏下1命题的定义用语言、 符号或式子表达的， 可以 判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真的语句叫真 命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1) 原命题为“若 p 则 q”，则它的逆命题为若 q 则 p ；否命题为若 p 则 q ；逆否命题为若 q 则 p .(2) 原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等

2、价四种命题中原命题与逆否命题同真 同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理， 即，可以转化为判断它的逆否命题的真假命题真假判断的方法：(1) 对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明若判断其为假命题只需举出一个反例(2) 对于复合命题的真假判断应利用真值表(3) 也可以利用 “互为逆否命题 ”的等价性，判断其逆否命题的真假 3充分条件与必要条件的定义(1) 若 p? q且 q p，则 p是 q 的充分非必要条件(2) 若 q? p 且 p q，则 p 是 q 的必要非充分条件(3) 若 p? q 且 q? p，则 p 是 q 的充要条件(4) 若 p

3、 q 且 q p，则 p 是 q 的非充分非必要条件设集合 Ax|x 满足条件 p ，B x| x满足条件 q，则有(1) 若 A? B，则 p是 q的充分条件，若 A B，则 p是 q的充分不必要条件；(2) 若 B? A，则 p是 q的必要条件，若 B A，则 p是 q的必要不充分条件；(3) 若 AB，则 p是 q的充要条件；(4) 若 A? B，且 B? A，则 p是 q的既不充分也不必要条件2充分、必要条件的判定方法(1) 定义法，直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2) 传递法(3) 集合法：若 p以集合 A的形式出现， q以集合 B的形式出现， 即 A x| p( x

4、) ，B x| q( x) ， 则若 A? B，则 p是 q的充分条件；若 B? A，则 p是 q的必要条件；若 AB，则 p是 q 的充要条件(4) 等价命题法：利用 A? B与B? A，B? A与A? B，A? B与 B? A的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论， 有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础1 简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词(2)简单复合命题的真值表：pqpqp 或 qp且 q （p 或 q） （p 且 q） p 或 qp 且q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假

5、真假假真真假假假真真假假真真真真2. 全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有 的”等3 全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题 (2)含有存在量词的命题叫特称命题4 命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题(2)p 或 q 的否定：非 p 且非 q； p 且 q 的否定：非 p 或非 q.注：1 逻辑联结词 “ 或”的含义逻辑联结词中的 “或”的含义，与并集概念中的 “或”的含义相同如 “xA或 xB”， 是指：xA 且

6、 x?B；x?A且 xB；xA 且 xB三种情况再如 “p真或 q 真”是指： p真且 q 假； p 假且 q 真； p 真且 q 真三种情况2 命题的否定与否命题“否命题”是对原命题 “若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论； “命题的否定 ”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题 的真假无必然联系3 含一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题1 (2013 ·皖南八校 )命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )

7、A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析 依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数选 B.2 (2012 ·湖北 )命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A 任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D 存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析 这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在 一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。

8、2已知 a，b，cR，命题“若 abc 3，则 a2b2c23”的否命题是 ( )A若 a bc3，则 a2b2c2<3B若 ab c3，则 a2 b2 c2<3C若 ab c3，则 a2 b2c23D若 a2b2c23，则 ab c3 答案 A解析 从“否命题 ” 的形式入手，但要注意 “否命题 ” 与 “命题的否定 ”的区别命题的否命 题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以 A 正确【山东省临沂市某重点中学 2014届高三 9月月考】命题“若函数 f(x) loga x(a 0,a 1)在 其定义域内是减函数，则 log a 2 0. ”的逆否命题是( )A若 log

9、a2 0，则函数 f(x) loga x(a 0,a 1)在其定义域内不是减函数B若 loga 2 0，则函数 f(x)loga x(a 0,a 1) 在其定义域内不是减函数C若 loga 2 0，则函数 f(x)loga x(a 0,a 1) 在其定义域内是减函数D若 loga 2 0，则函数 f(x)loga x(a 0,a 1) 在其定义域内是减函数题“若 x，y都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是( )A 若 x y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B 若 x y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D若 xy 不是偶数，则 x

10、 与 y 都不是偶数 答案 C解析 由于“x，y 都是偶数 ”的否定表达是 “x，y 不都是偶数 ”，“xy 是偶数 ”的否定表达 是“ xy不是偶数 ”，故原命题的逆否命题为 “若 xy不是偶数，则 x，y不都是偶数 ”，故 选 C.5与命题“若 a M，则 b?M”等价的命题是 ( )A若 a?M，则 b?MB若 b?M，则 a MC若a?M，则 b MD若 b M，则 a?M解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可故选D答案：D4 下列命题中为真命题的是()A 命题“若 x>y，则 x>|y|”的逆命题B命题“若 x>1，则 x2>

11、1 ”的否命题C命题“若 x1，则 x2x 20”的否命题D命题“若 x2>0，则 x>1 ”的逆否命题 答案 Ay y 0解析 对于 A ，其逆命题： 若 x>|y|，则 x>y，是真命题， 这是因为 x>|y|，必有 x>y； y y<0对于 B，否命题：若 x1，则 x21，是假命题如 x 5， x2 25>1；对于 C，其否命题： 若 x1，则 x2 x2 0，因为 x2 时，x2x20，所以是假命题；对于 D，若 x2>0，则x>0 或 x<0，不一定有 x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.2已知命题

12、p：? nN,2n>1 000 ，则 p为()A? nN,2n1 000B? nN,2n>1 000C? nN,2n1 000D? nN,2n<1 000解析 特称命题的否定是全称命题即p：? xM，p( x) ，则 p：? xM， p(x) 故选 A.答案 A4 (2012 ·湖北改编 )命题“存在 x0?RQ，x03Q ”的否定是( )A存在 x0D /?RQ ，x03Q B存在 x0?RQ，x30D/QC任意 xD/?RQ ，x3QD任意 x?RQ，x3D/Q答案 D解析 “存在”的否定是 “任意”，x3Q 的否定是 x3D/Q.命题 “存在 x0?RQ， x

13、03 Q” 的否定是 “任意 x ?RQ， x3D /Q” ，故应选 D.1 (2011 安·徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( )A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数答案 D解析 由于全称命题的否定是特称命题， 本题 “所有能被 2 整除的整数都是偶数 ”是全称命题， 其否定为特称命题 “存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 ”2 (2012 辽·宁改编 )已知命题 p：对任意 x1， x2 R ， (f (x2) f (x1) (·

14、;x2x1)0，则 p 是()A存在 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1) 0B对任意 x1，x2R， ( f(x2) f (x1)( x2 x1) 0C存在 x1，x2R ，(f(x2) f(x1)(x2x1)<0D对任意 x1，x2R，(f(x2) f(x1)(x2x1)<0答案 C解析 p：存在 x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2 x1)<0.2 (2012 ·安徽 )命题“存在实数 x，使 x>1”的否定是( )A 对任意实数 x，都有 x>1B不存在实数 x，使 x 1C对任意实数 x ，都有 x1D存在实数 x，使 x 1

15、答案 C解析 利用特称命题的否定是全称命题求解“存在实数 x，使 x>1”的否定是 “对任意实数 x，都有 x1” 故选 C.11给出以下三个命题： 若 ab 0，则 a0 或 b 0； 在 ABC 中，若 sin Asin B，则 A B； 在一元二次方程 ax2 bx c 0 中，若 b2 4ac<0，则方程有实数根 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 ( ) A BCD答案 (1)A (2)B11解析 (1)不等式 2x2 x1>0 的解集为 x x>2或 x<1 ，故由 x>2? 2x2 x 1>0 ，但 2x2x 11>

16、;0D? /x>2，故选 A.(2) 在ABC 中，由正弦定理得 sin A sin B? ab? AB.故选 B. 6 下列结论： 若命题 p：存在 xR，tan x 1；命题 q：对任意 x R ， x2 x 1>0.则命题“ p 且 q”是假 命题；a 已知直线 l 1： ax 3y 10，l2：xby1 0，则 l1 l 2的充要条件是 b 3； 命题“若 x23x 20，则 x1”的逆否命题：“若 x1，则 x23x20” 其中正确结论的序号为 答案 解析 中命题 p 为真命题，命题 q 为真命题，所以 p 且 q 为假命题，故 正确； 当 b a0时，有 l1l2，故

17、不正确； 正确所以正确结论的序号为 .5 下列命题中正确命题的序号是 若 ac2>bc2，则 a>b； 若 sin sin ，则 ； “实数 a0”是“直线 x2ay1 和直线 2x 2ay 1 平行”的充要条件； 若 f(x) log2x，则 f(|x|)是偶函数答案 解析 对于，ac2>bc2，c2>0，a>b正确；对于 ，sin 30 °sin 150 D°? /30 ° 150 °，所以 错误；对于 ，l1l2? A1B2A2B1，即2a4a? a0且 A1C2A2C1，所以对；对于 显 然对6已知 p(x)：x22

18、xm>0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围为 答案 3,8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 12 m 0，解得 m3；又因为 p(2)是真命题，所以 4 4 m>0，解得 m<8.故实数 m 的取值范围是 3 m<8. 以下命题是真命题的序号是 (1)“若 f(x)是奇函数，则 f( x)也是奇函数”的逆命题；(2)“若 x，y 是偶数，则 xy 也是偶数”的否命题；(3) “正三角形的三个内角均为 60°”的否命题；(4) “若 abc3，则 a2 b2c23”的逆否命题；【解析】 对于 (4) ，只需证明原命题为真， a

19、bc3， (abc)29.a2b2 c22ab2bc2ca9，从而 3(a2 b2 c2) 9， a2b2c23 成立【答案】 (1)(3)(4)2 下列命题中正确的是 ( )A 若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“ pq”为真命题B“ sin 1”是“ ”的充分不必要条件26C l 为直线， ，为两个不同的平面，若 l， ，则 lD命题“ ? xR,2x>0”的否定是“ ? x0 R, 2x0 0”答案 D解析 对A ，只有当 p， q全是真命题时， pq为真；对 B，sin 12? 2k 6或 2k 56， kZ，故“sin 1”是“ ”的必要不充分条件；对 C，l，?

20、 l或 l? ；对 D， 26全称命题的否定是特称命题，故选 D.15给出下列四个命题： 命题“若 ，则 cos cos ”的逆否命题； “ ? x0R，使得 x20x0>0”的否定是：“ ? x R ，均有 x2x<0”； 命题“ x2 4”是“ x 2”的充分不必要条件； p：aa，b，c，q：a? a，b，c，p且 q为真命题其中真命题的序号是 (填写所有真命题的序号 )答案 解析 对，因命题 “若 ，则 cos cos ”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题， 正确；对，命题 “? x0 R ，使得 x02x0>0”的否定应是：“? xR，均有 x2x0”，故 错；对，

21、因由“x24”得 x±2，所以 “x24” 是“x 2”的必要不充分条件，故 错；对 ，p，q均为真命题，由真值表判定 p且 q为真命题，故 正确 10给出下列命题： ? x R，不等式 x2 2x>4x 3 均成立； 若 log2 x log x2 2，则 x>1； “若 a>b>0 且 c<0，则 c>c”的逆否命题；ab 若 p 且 q 为假命题，则 p， q 均为假命题其中真命题是 （ ）A BCD答案 A1解析 中不等式可表示为 （x1）22>0，恒成立；中不等式可变为 log2x 1 2，得 x>1； log2x 中由 a&

22、gt;b>0，得1<1，而 c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；由p且 q为ab假只能得出 p，q 中至少有一个为假， 不正确12给出下列命题： 原命题为真，它的否命题为假；原命题为真，它的逆命题不一定为真；一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； 一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真； “若 m>1，则 mx2 2（ m 1） x m 3>0 的解集为 R”的逆命题 其中真命题是 （ 把你认为正确命题的序号都填在横线上）解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误， 正确又因为不等式 mx22（m1）xm3

23、>0 的解集为 R，m>0m>0由 2 ? m>1. 4 m1 4m m3 <0m>1故正确答案：3设 x，yR，则“x2y29”是“x>3且 y3”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件答案 B解析 结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手如图：x2 y2 9表示以原点为圆心， 3为半径的圆上及圆外的点，当x2y29时，x>3且 y3并不一定成立，当 x2，y3 时，x2y29，但 x>3 且 y3 不成立；而 x>3 且 y3 时，x2y29 一定成立，故选 B.一个命题的否命题、 逆命题

24、、 逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命 题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯 的大于、也不是单纯的小于进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意 断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可4“a>0”是“a|>0 ”的 ()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 因为 |a|>0? a>0 或 a<0，所以 a>0? |a|>0，但 |a|>0 a>0，所以 a>0 是 |a|>0 的充分不必

25、要 条件，故选 A.50<x<5是不等式 |x2|<4成立的 ()A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件解析 由|x2|<4，得2<x<6。0<x<5是2<x<6的子集， 0<x<5是不等式 |x2|<4成立 的充分不必要条件。6(2012 陕·西)设 a， b R， i是虚数单位，则“ ab0”是“复数 abi为纯虚数”的 ( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件解析 由 a b为纯虚数可知 a0，b0，所以 ab 0.而 ab0

26、 a 0，且 b 0.故选 B 项i7(2012 重·庆)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且以 2为周期，则“ f(x)为0,1上的增函数”是“ f(x)为3,4上的减函数”的 ()A既不充分也不必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D充要条件解析 x 0,1 时， f( x)是增函数，又 yf(x)是偶函数，x1,0时， f(x)是减函数当 x 3,4时， x41,0， T2，f(x)f(x4)x3,4 时，f(x)是减函数，充分性成立反之： x 3,4 时， f(x)是减函数， x41,0，T2， f(x)f(x4)x1,0时， f(x)是减函数yf(x)是偶函数，

27、 x0,1时， f(x)是增函数，故选 D.8(2011 ·天津)设 x，yR，则“ x2且 y2”是“x2y24”的()A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 因为 x2 且 y2? x2y24 易证，所以充分性满足，反之，不成立，如xy 7，满4 足 x2 y2 4，但不满足 x2 且 y 2，所以 x2 且 y2是 x2y24 的充分而不必要条件， 故 选择 A.9已知 a、 b 是实数，则 3a<3b是 log3a<log3b 的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件解析 由题知，3a<3b? a<b，log3a<log3b? 0<a<b.故 3a<3b是 log 3a< log3b 的必要不充分条 件故选 B.110 (2012 ·天津)设 xR ，则“ x>2”是“ 2x2x1>0”的()A 充分