《开集闭集完备集》ppt课件

1、第6、7讲 2 开集、闭集与开集、闭集与 完备集完备集 3 p进位表数法进位表数法2 、开集、闭集、完备集、开集、闭集、完备集1、概念0(1),EEE若则 称为 开 集(2),EEE 若则 称为 闭 集(3),EEE若则 称为 自 密 集EEE(4)若则称为完备集,( , )EPEN PE存在为开集EE 无孤立点的闭集注：等价定义E自密无为集孤立点的集,PEPEE为闭集必有EE为完备集为自密的闭集例：有限集2、例1: 222(1)R 中集合E=(x,y)|x +y 1是开集?闭集?自密集?完备集?111( 2 )1, ., .?23En呢1 11(3)0,1,.,.?2 3En呢1(4)(0,

2、1)?RE 中点集呢5有理数集Q呢？ 例例2 2 证明点集证明点集FFF 为闭集的充要条件是为闭集的充要条件是 3、性质问：性质问：性质1 有什么作用？有什么作用？ 1开集与闭集的对偶性开集与闭集的对偶性定理定理2开集的余集为闭集，开集的余集为闭集， 闭集的余集是开集闭集的余集是开集3定理定理4、6恣意多个开集的并开，有限多个开集的交开恣意多个开集的并开，有限多个开集的交开2定理定理3、5恣意多个闭集的交闭，恣意多个闭集的交闭， 有限多个闭集的并闭有限多个闭集的并闭4定理定理1 对恣意集合对恣意集合E，E的内部开，的内部开，E的导集、的导集、E的闭包闭的闭包闭链接1.doc链接3.doc01;

3、EEEE、求点集的诸集1sin,0,1( , )|0,0 xEx yyxx（ ）0(0, )| 11 ;EEyyEEEEE 练习练习4.海涅波雷尔有限覆盖定理定理海涅波雷尔有限覆盖定理定理7： ,nR 中有界闭集的开覆盖 必有有限子覆盖证法1-数学分析的反证方法：造闭矩形套，套出一点，一方面不能有限覆盖，另一方面又可以，矛盾，得证自练证法2-用数学分析中的有限覆盖定理-开区间集覆盖闭区间这里的开区间指的是n维欧氏空间中的开矩形-对n维欧氏空间中的闭区间，假设存在一族开区间覆盖闭区间，那么能选出有限的开覆盖。证121|,nnniiFRGFGFG GGGF设 是中一有界闭集,为开集族 覆盖了即则一

4、定存在有限个开集,使得,nCFIRIFF因为 有界 所以存在闭区间使得且为开集,CnFRI 令则 覆盖了也覆盖了( , ),PPPIPGPI必有开区间且|,PPPGIPI IGI开区间族覆盖了,GI由数学分析中的有限覆盖定理知, 中必存在有限个开区间将 覆盖12,.,nPPPIII设为1,1,2,.,iiinPPPiFIIGinFG因,CFn若不在这 个开集中问题得证,1CCCFnFFFnF若在这 个开集中由于与 不交 故去掉后剩下个开集仍将 覆盖证明证明 ,pPPIGPG 于是使得5.Cantor三分集(1)0 1E定义， “三等分，去中间”余下的集合为康托三分集1)0,1EE ；（）002

5、)0,10,1)EGCG为闭集；(2)性质3)EEE为自密集；(4)EEE为完备集；(6)EEE为疏朗集（无处稠密集）-如果集合 的闭包 不包含任何邻域1231 11 11,2,3,.0,1,.1,.2 32 3AAA例：， 都是疏朗集。7) E c=5)E无内点212311118)1 (22.2.)03333nnE 的长度=EE（ 的闭包 没有内点） Nova分形十进制小数 相应于 对0,1十等分二进制小数 相应于 对0,1二等分三进制小数 相应于 对0,1三等分【注1】 对应0,1十等分的端点有两种表示，0. 2000000 0.1999999 十进制小数第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数3 p进位表数法进位表数法 例：设例：设 E是Cantor三分集，证明： Ec证明： ,xE 用三进制表示的小数表示 x，那么 12300.,1,2,.2ixa a aai1230.,021,2,.iEx xa a aai集合或者 ，将集合0,1中的元素x用二进制表示，那么1230 .,iyb b bbi0=, = 1 , 2 , . . . ，1可见，12300.,1,2,.2iEx xa a aai与1 2 30 10.,iy ybb bbi0，=, =1,2,.1一一对应0,1所以，E与一一对应，Ec, 所以。小结:1. 定义： 开集： 闭集