专题突破练10利用导数证明问题及讨论零点个数

1、专题突破练10利用导数证明问题及讨论零点个数 1. （2020全国/理21）设函数心）*+加+c,曲线尸金）在点討（护 处的切线与y轴垂直. （1） 求 b; （2） 若./U）有一个绝对值不大于1的零点，证明:7U）所有零点的绝对值都不大于1. 2. （2020河南开封三模，文21）已知函数.心）=lnx+级GR）的图象在点虑）处的切线斜率为-e,苴中 c为自然对数的底数. （1） 求实数“的值，并求yu）的单调区间； （2） 址明:彳匕）. 3. （2020山东潍坊二模,20）已知函数.心）=f+ln心（力=号. 讨论函数心）的单调性； 证明:=1时水对+丄1 +舟）In xe. 4. （

2、2020山东济宁5月模拟.21）已知两个函数7（A）=7（A）=+ -1. 当/0时，求兀）在区间灯+1上的最大值; 求证対任意xw（o,+oc）,不等式yu）g都成立. 5. （2020山东烟台一模,21）已知函数.肚）=耳二（心G R）. （1）若.心）W0在（0.+oo）恒成立，求“的取值范围，并证明:对任意的“GN,都有1+扌+ M+丄（+1）; 3 n 设朋）=（十1）3：讨论方程金）=g（X）的实数根的个数. 6. 已知函数,A-v）=ln x+a Q-l ），“丘 R. （1）若/U）20.求实数“取值的集合; 证明:cl+2-ln X+JT+（C-2）X. 7.（2019天津，

3、文20）设函数心）=lnx心1）口其中aGR. 若“W0,讨论./（X）的单调性； （2）若 0v“v& 正明心）恰有两个零点; 设xo为/U)的极值点小为./U)的零点，且A1 .(),证明3xo-Xl2. 8.(2020天津.20)已知函数tf(x)=x3+kn x(k G R)f(x)为.心)的导函数. 当R=6时， 你曲线尸金)在点(1 * 1)处的切线方程； 钢函数(X)=AX)/(A)4的单调区间和极值； 当 心-3时，求证:对任意的“七曰1+00),且畑有空琴亘 么 xl*x2 专题突破练10利用导数证明 问题及讨论零点个数 1. (1)解 f (Q=3+b,依题意得 即

4、#+b=0. 故 /?=-|- 证明由知 f(x) =xx+cf(x)f(x) =xx+cf(x)= =3x2.令 f(x)=O,解得 X二迈或 X=X=- -. . f(x)与几。的情况为： V 2) 2 1 2 (. 1 1 2 2， +00 ) 八 + ) - ) + HA) / 1 4 、1 4 / 因为/(I)=/(. *右所以当 CV吕时金)只有大于 1 的零点. 因为 X-l)=/(i)=c-if 以当 c右时金)只有小于-1 的零点. 由题设可知寸 当 c=-扌时朮对只有两个零点弓和 1. 当 c詁时金)只有两个零点-1 和字 当 4c| 时金)有三个零点 Q 心 3,且 (-

5、1,-|)2 (-1 l)3e(il). 综上，若几 Q 有一个绝对值不大于 1 的零点，则/(x)所有零点的绝对值都不大于 1. 2. (1)解因为函数/的定义域为(0,+oo)f三寻,所以/(|)=e- e2=-e,所以心|, 所以-吕令*)=0,得 当 xe(0,|)时厲)0, 所以几 T)在(0,|)上单调递减，在( + 00)上单调递增. 2 证明 设 h(x)=xf(x)=xh(x)=xf(x)=x n n X+-,由 ir(x)=ir(x)= n x+n x+1 =0,得 x=-. 所以当 xe(0, )时，“)v0,当 i-e ( ，+ 8)时,g)0, 所以力(x)在(0,扌

6、)上单调递减，在( + 00)上单调递增， 所以 /?(A)min=/?Q) = 设心)供0),则心)号, 所以当 A-e(o,i)时 f0 丿单调递增，当 xe(l,+oo)时 f(x)V0,心)单调递减，所以 /(X)max=f( 1 )=& 综上，在(0,+乂)上恒有*)心)，即巩力舌. 3. 解(1)函数的定义域为(0,+8)f(x)=-$ +牛= 当 aWO 时 f(x)vO,所以金)在(0,+乂)上单调递减； 当a0a0时，由 f(x)0,得工右由 f(x)vO,得 0A0 时金)在(0，+)上单调递减，在 G，+ 8)上单调递增. (2)0 为 A-0,所以不等式等价于

7、er-ex+1 , X X 设 F(x)=ev-ex+1 ,Fr(A)=ev-e, 所以 xG(l,+oo)时,F(x)O,F(x)单调递增,xe(0,l)时尸(x)O,G(x)单调递增,xe(e,+oo)时,Ga)vO,G(Q 单调递减，所以 G(X)max=G(e)=l. 虽然 F(x)的最小值等于 G(x)的最大值，但 1 扯所以 F(x)G(x),即*ex+l瞠，故原 X X 不等式成立. 4解 由/斗得才二耳竺=学 2.：当xx 时弘)1 时/(A-)0, /)在区间(-8,1)上为减函数,在区间(1,4-00)上为增函数. 当心 1 时抡 J 在区间H+1上为增函数 J(X)的最大

8、值为几+1)=害 当 ori金)在区间 a,1)上为减函数,在区间(i,/+i)上为增函数,：几丫)的 最大值为 /Wmax 二 max 1). 下面比较几)与/(/+1)的大小. 加(Hl)二厂寸春卄 40,1-xO, 当 0/右时曲)呎/+1)20,故./在区间M+1 上的最大值为 A0=p 当占 51 时 J处+1)0, pt+1 7W在区间M+I上的最大值为代+1)二寸 综上可知，当 0/占时金)在区间 pt+1 U+1上的最大值为f(t+V)=f(t+V)=. . (2)iiL明:不等式 j(x)g(x)j(x)g(x)即为竺 + 1. :k0,:不等式等价于 evlnx-x+1,

9、X X XX X X 令 /i(x)=ev-(x+l)(x0), 则 Ar(x)=ex-l0, :力(x)在(0,+oo)上为增函数,/i(x)/z(0)=0,即 c cx xx+x+1, 所以，要证 evln x x- -x+x+1 成立,只需证 x+1 ln x x- -x+x+1成立即可. 即证 2xIn x 在(0,+oo)上成立. 设(p(x)=2x4n(p(x)=2x4n x,则 0(x)=2 丄=竺当 0vy 时,0(x)o,卩(x)单调递增，: (x)min=n Q) = l-ln|=l+ln 20,：卩0 在(0,+s)上成立，.： 对任意兀丘(0,+8),不等式f(X)g(

10、X)f(X)g(X)都成立. 5.解由/WWO 可得,二 0),令砸)二苇严,则 /f(x)=y X(lnX)=罟， 当 00,1)时,)0 力单调递增，当 xe(i,+oo)时,g)vo,/z单调递减，故/心)在 X=1 处取得最大值，要使 6/ 需 a 印=1, X X 故 a 的取值范围为aa . . 显然，当a=la=l时，有 1,即不等式 lnxl(n N )，则有山矿 V 1=所以 lnr+ln-+-+ln0,心)单调递增，当 xe(l,+oo)时,fgvO,心)单调递减，故心)在*1 处取得最大值 f=1,又当 X0 时，心)T-OO,当 XT+O0 时，心)f co,所以，当a

11、=a= 时，方程 几)二 g(X)有一个实数解； 当aaa 时，方程/U)二 g(Q 没有实数解. 6.(1)解 f(x)= f(x)= - -令=分 Q0). 当 aWO 时 f(x)0,函数几 0 在(0,+乂)上单调递增.又/=0, 因此当0A0 时，可得函数心)在(0Q 上单调递减，在(4+8)上单调递增, 故当*0 时，函数/W取得最小值，则f(a)=f(a)= na+na+ - -aO.aO. 令 g=ln a+l-a,g(l)=O. 由 g(a)= -l二护，可知当a=a= 时，函数 g(a)取得最大值，而 g(l)=O, 因此只有当 =1 时满足f(a)=f(a)= n n G

12、+1G鼻 0.故a=a= . . 故实数取值的集合是1 证明由(1)可知，当a=a= 时“r)20,即在(0,+oo)內恒成立. X X 要证明 eA+i 2-ln x+x2+(e-2)x,即证明 e91+/+(e 即 er-l-x2-(e-2)x0. X X 令 /?(A)=ev-1 -x2-(e-2)x,x0. h h /(x)=eJ-2x-(e-2),令 u(x)u(x)=ex-2x-(e-2), u u x)=ex)=ex x- -2,2,令 V)=eV-2=0,解得 x=ln 2. 则函数在(0,In 2)内单调递减，在(In 2,+oo)内单调递增. 即函数/心)在(0,ln 2)

13、内单调递减，在(In 2,+s)内单调递增. 而 h hf(0)= 1 -(e-2)=3-e0, h(h( n n 2)0,/(x)单调递增； 当 x 丘(口), 1)时力 V)0,/心)单调递增. 又 A(0)= 1 -1 =0/(l)=e-l-l-(e-2)=0, 故对 V.v0,/z(x) 0 恒成立，即 ev-l-x2-(e-2)x0. 综上可知,e+Z 2-ln A+A2+(e-2)x 成立. X X 7解由已知金)的定义域为(0,+oo),且 f(x)丄於+(心 1)7二匕空因此当W0 时丄 X X X X aHeO,从而 f(x)0, 所以/W在(0,+oo)内单调递增. 证明

14、由知 f(x) 令 g(x)= 1-“Fe*,由 06/0,且 = 十)弓=1ln 十)?vO,故 g(x)=Og(x)=O 在(0,+=o)內有唯一解，从 而/(A)=0在(0,4-oo)内有唯一解，不妨设为 xo,则 1 x() 如二 0,所以/W在(0 应)内单调递增； X X X X 当炸(m+oo)时/二型 V 血=0、所以/在(xo,+8)内单调递减，因此 X0 是/U)的 X X X X 唯一极值点. 令/?(x)=lnx-x+1,则当 xl时川(x)亠 vO,故力(劝在(1,+8)内单调递减,从而当 Q1 X X 时力(x)v(l)=O,所以 xxxx 时JnxM)1,故ez。

15、况(%弓)=垢，两边取对数，得 IneX1Xoln %1-1 垢于是 xi -xo21n xo2. 8.(1)解 当 k=6k=6 时裁 x)二卫+61nx,故 /(%)=3+-. X X 可得 XI)=1/( 1)=9,所以曲线y=J(x)y=J(x)在点(1*1)处的切线方程为 y-l=9(x-l),即尸 9r & 依题意 x+f 丘(0,+8) X X 从而可得，W=3x2-6x+|-禺 整理可得密+i).令 g)=0,解得*1. 当 X 变化时 d),g(x)的变化情况如下表: (0J) 1 (1. + ) - 0 + 旳) 极小 值 / 所以，函数 g(x)的单调递减区间为(

16、0,1),单调递增区间为(l,+oo)；g(x)的极小值为 g(l)=l,无 极大值. 证明由 /(x)=A3+Zrln zV,得 f(x)=3xf(x)=3x2 2+ +- -. . X X 令 /1),则(疋)/迩 1)+几2)卜 2/(心)畑)二( X2)X2)( 3%? + +3%? + -2 - %2 +ln)=x? =x? - - %? -3 尢令2+3XI坊 +k+k )-21n= %1 %2 %2 丄 乙 丄 光 2 兀 1 %2 xlxl (C3F+3/-1)+/ r-i-21n/). 令 h(x)=xh(x)=x- -22 n n l,+oo). X X 当 X1 时，/?V)=l+-|=(吩)20, 由此可得/心)在1,+乂)单调递增， 所以当 /1 时,加)/?(1),即 t t- -22 n n /0. L L对任意的 MK2 丘1,+8),且X