高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3.3 空间向量运算的坐标表示训练案 北师大版选修21

1、我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展

2、一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。2.3.32.3.3 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示a.基础达标1设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点o，球面上有两个点a，b的坐标分别为a(1，2，2)，b(2，2，1)，则|ab|()a18b12c3 2d2 3解

3、析：选 c.ab(1，4，1)，|ab|ab| 12（4）2（1）23 2.2.若abcd为平行四边形，且a(4，1，3)，b(2，5，1)，c(3，7，5)，则顶点d的坐标为()a.72，4，1b(2，3，1)c(3，1，5)d(1，13，3)解析：选 d.设d(x，y，z)，因为abdc，所以(2，6，2)(3x，7y，5z)，所以23x，67y，25z，所以x1，y13，z3.3已知a a(cos，1，sin)，b b(sin，1，cos)，则向量a ab b与a ab b的夹角是()a0b60c30d90解析： 选 d.因为(a ab b)(a ab b)a a2b b2cos21si

4、n2(sin21cos2)0，所以 cosa ab b，a ab b0，所以a ab b，a ab b90.4已知向量a a(1，1，0)，b b(0，1，1)，c c(1，0，1)，d d(1，0，1)，则其中共面的三个向量是()aa a，b b，c cba a，b b，d dca a，c c，d ddb b，c c，d d解析：选 b.因为a ab bd d，所以a a，b b，d d三向量共面5若a a(1，2)，b b(2，1，1)，a a与b b的夹角为 60，则的值为()a17 或1b17 或 1c1d1解析：选 b.a ab b4，|a a| 52，|b b| 6，由题意得 co

5、s 60a ab b|a a|b b|，即452 612，解之得1 或17.6已知a a(m1，0，2m)，b b(6，0，2)，a ab b，则m的值为_解析：因为a ab b，所以a ab b，即m16，2m2，得15，m15.答案：15我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经

6、 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战

7、 。 。7已知a a(1t，2t1，0)，b b(2，t，t)，tr r，则|b ba a|的最小值为_解析：因为b ba a(1t，1t，t)，所以|b ba a| （b ba a）（b ba a） 3t22 2.答案： 28与a a(2，1，2)共线且满足a ax x18 的向量x x_解析：因为a ax x，所以x xa a(2，2)，所以a ax x22(1)()22918， 得2， 故x x(4， 2，4)答案：(4，2，4)9已知在abc中，a(2，5，3)，ab(4，1，2)，bc(3，2，5)，求顶点b，c的坐标，向量ca及a的余弦值解：设b，c两点的坐标分别为(x，y，z)，

8、(x1，y1，z1)因为ab(4，1，2)，所以x24，y51，z32.解得x6，y4，z5.所以b点坐标为(6，4，5)因为bc(3，2，5)，所以x163，y142，z155.解得x19，y16，z110.所以c点坐标为(9，6，10)所以ac(7，1，7)，ca(7，1，7)所以 cosaacab|ac|ab|2811499 21413 23141 231693.10.如图，在空间直角坐标系中，bc2，原点o是bc的中点，点a的坐标是32，12，0， 点d在平面yoz上， 且bdc90， dcb30.(1)求向量od的坐标；(2)设向量ad和bc的夹角为，求 cos的值解：(1)如图所示

9、，过d作debc，垂足为e，在 rtbdc中，由bdc90，dcb30，bc2，得bd1，cd 3.所以decdsin 3032.oeobbdcos 6011212，所以d点坐标为0，12，32 ，即向量od的坐标为0，12，32 .(2)依题意知oa32，12，0，我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ，

10、， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现

11、现 实 实 挑 挑 战 战 。 。ob(0，1，0)，oc(0，1，0)所以adodoa32，1，32 .bcocob(0，2，0)由于向量ad和bc的夹角为，则cosadbc|ad|bc|32 0（1）2320322（1）2322 0222022101510.所以 cos105.b.能力提升1已知向量oa(2，2，3)，向量ob(x，1y，4z)，且平行四边形oacb对角线的中点坐标为0，32，12 ，则(x，y，z)()a(2，4，1)b(2，4，1)c(2，4，1)d(2，4，1)解析：选 a.由题意得2x20，21y232，34z212，即x2，y4，z1.2abc的顶点分别为a(1，

12、1，2)，b(5，6，2)，c(1，3，1)，则ac边上的高bd等于()a5b. 41c4d2 5解析：选 a.设adac，其中r r，d(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0，4，3)，所以x1，y41，z23.所以bd(4，45，3)所以 4(45)3(3)0.所以45，所以bd(4，95，125)所以|bd|（4）2（95）2（125）25.3设ab(cossin，0，sin)，bc(0，cos，0)，则|ac|的最大值为_解析：acabbc(cossin，cos，sin)，我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要

13、 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临

14、 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 、 、 城 城 镇 镇 化 化 水 水 平 平 不 不 高 高 、 、 城 城 乡 乡 发 发 展 展 不 不 平 平 衡 衡 不 不 协 协 调 调 等 等 现 现 实 实 挑 挑 战 战 。 。所以|ac| （cossin）2cos2（sin）2 2sin 2 3.答案： 34已知a a2(2，1，3)，b b(1，4，2)，c c(7，5，)，若a a，b b，c c三个向量共面，则的值为_解析：由共面向量定理知存在有序实数组(x，y)使得a axb byc c，即(4，2，6)(x，4x，2x)(7y，5y，y)，即4x7y，2

15、4x5y，62xy，解得x3433，y1433，657.答案：6575 已知关于x的方程x2(t2)xt23t50 有两个实根，a a(1， 1， 3)，b b(1，0，2)，c ca atb b.(1)当|c c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的条件下，求b b和c c夹角的余弦值解：(1)因为关于x的方程x2(t2)xt23t50 有两个实根，所以(t2)24(t23t5)0，即4t43.又c c(1，1，3)t(1，0，2)(1t，1，32t)，所以|c c| （1t）212（32t）25（t75）265.因为t4，43时，上述关于t的函数是递减的，所以当t43时，|c c|取最小

16、值3473.(2)当t43时，c c(73，1，173)，所以 cosb b，c cb bc c|b b|c c|7303431202（2）2（73）212（173）2411 73541 1 7351 735.6(选做题)已知a(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，2)(1)若dbac，dcab，求点d的坐标(2)问是否存在实数，使得acabbc成立？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由解：(1)设d(x，y，z)，则db(x，1y，z)，ac(1，0，2)，dc(x，y，2z)，ab(1，1，0)因为dbac，dcab，我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 进 进 入 入

17、 新 新 常 常 态 态 ， ， 需 需 要 要 转 转 变 变 经 经 济 济 发 发 展 展 方 方 式 式 ， ， 改 改 变 变 粗 粗 放 放 式 式 增 增 长 长 模 模 式 式 ， ， 不 不 断 断 优 优 化 化 经 经 济 济 结 结 构 构 ， ， 实 实 现 现 经 经 济 济 健 健 康 康 可 可 持 持 续 续 发 发 展 展 进 进 区 区 域 域 协 协 调 调 发 发 展 展 ， ， 推 推 进 进 新 新 型 型 城 城 镇 镇 化 化 ， ， 推 推 动 动 城 城 乡 乡 发 发 展 展 一 一 体 体 化 化 因 因 ： ： 我 我 国 国 经 经 济 济 发 发 展 展 还 还 面 面 临 临 区 区 域 域 发 发 展 展 不 不