系统辨识及参数估计习题

1、WORD整理版系统辨识与参数估计课程习题选择题：答案唯一，在（）内填入正确答案的编号。1.对于批量最小二乘格式Yl =Ql& + El，其最小二乘无偏估计的必要条件是（ ）°T1 TA.输入序列山为“持续激励”信号B.El与（ll）l正交c. El为非白噪声向量D.eElH0专业资料学习参考2.对象模型为 yk二订二 ek时，采用递推最小二乘估计后的残差序列的计算式为B.3.c. ；yk 一 说D.在上题的条件下，递推最小二乘算法中的增益矩阵Kk可以写成（B.D.A. Pk4；k4c. PJk4.可以同时得到对象参数和干扰噪声模型参数的估计算法是（A.辅助变量法B.）

2、6;广义最小二乘法5.C.最小二乘限定记忆法D.相关最小二乘两步法增广最小二乘估计的关键是（A.将控制项增广进k中,并用残差项取代进行估计B.将输出项增广进k中,并用残差项取代进行估计C.将噪声项增广进k中,并用残差项取代进行估计D.将噪声项增广进k中,并用输出项取代进行估计答案：1. B 2. C 3. D 4. B 5. C、判断题：以。表示正确或x表示错误。1估计残差平方和最小是确定辨识过程对象结构的唯一标准。（）2最小二乘估计的批量算法和递推算法在数学上是等价的。（）3广义最小二乘法就是辅助变量法和增广最小二乘法交替试用。（）4在递推最小二乘算法中，若置R二P二PT 0 ,则该算法也能

3、克服“数据饱和”现象，进而可适用于时变系统。（）5用神经网络对 SISO非线性系统辨识，采用的是输入层和输出层均为一个神经元的 三层前馈神经元网络结构。（）答案：1. X 2. O 3. X 4. O 5. X三、设y和xX2,Xn之间满足关系 y二exp（aiXi a2X2_anXn），试图利用y和x1,x2 xn的观测值来估计参数 a1,a2/ an，请将该模型化成最小二乘格式。答案：z=ln（y） =a1x1 a2x2 -anxn = T其中，J二b1,a2,，aT =殳1公2,，x四、对于多输入单输出（MISO）系统可由下面的模型描述A（z）yk = B（z）Ukek其中，uk为系统的

4、mx 1维输入向量；yk为系统的标量输出；ek为标量i.i.d 随机噪1 1 1声；z为延迟算子，即z yk=yk4 ; A（z ）为标量参数多项式，B（z ）为1 x m的参数多项式向量：A（zJ） =1.anaz屯B（z'） =B° B1Z .Bnbz"b请写出：最小二乘递推算法公式和计算步骤或流程。答案：根据题意，可写出最小二乘格式为：yk 二戸 ek其中，叫=L yk4,yk,一丫|斗"二小1,珂6屜川,ana；B0,B1）|,Bnbk=1,2,丄，则有批量最小二因此，采用批量最小二乘法估计时，设采集数据时刻为乘格式为：-'yd(9TejY

5、l =y2m，L =，El =e2Yl _1 1®T 一1IeL 一其中,Yl - El从而，批量最小二乘估计公式为：$=(Q&l)%TYl递推最小二乘估计公式为：PJktPk1 YPkJk彳=彳二'Kk(yk -初始估计：三=0 , P0工沪I ,2是一个充分大的正数。KkPJk1 YpkJkFk Pk J计算流程为：(0)给定纟，P°,k=0 ；(1)量测Yk 1，组成订1 ;(2)计算Kk1 ;(3)计算彳1 ；(4)输出估计结果，并由误差限或数据长度L来确定是否停止估计。若条件满足,则停止估计；否则，继续进行。(5)计算Pk 1 ；(6)k 二 k

6、1，返回到(1 )。五、对于SISO系统的数学模型A(z)yk =B(z4)Uk4 Vk其中，Uk和yk分别为系统的输入输出量，Vk为干扰噪声，A(zJ和B(z4)为参数多项式：A(z4) =1 a'az 叫B(z4)二b。dz，且na 5b， z，为延迟算子，即z'yk =ykv。1 对于量测Uk、yk , k =1,2，N，写出估计系统参数的最小二乘批量算法详细公 式。2 .给出最小二乘法无偏估计的条件并加以证明。3.简述辨识动态系统数学模型的一般步骤。答案:1 由题意可知，采用 L次测量的批量最小二乘格式可写为:YN =N 71' VN其中，= -ykyk_2，i

7、l|yka；Uk,Uk_2，|UkbT-a1,a2JH,ana；bo,b1 川丨，bY N =y2，N =©T 十23，Vn =V2S-Yn 一11 VN 一KI_vi1因此，最小二乘批量算法公式为：（兀5）七：4百2 证明：E® = eMNGnLgNYn L E（GA：-N）r-Nc：2 Vn）1= E） eKn）4NVn）当“心你）和叮jnVn不相关时，上式第二项为零，最小二乘估计为无偏估计，Vk为零均值独立随机序列时，此条件自然满足。此时，E（角二E（“。3 辨识动态系统数学模型的一般步骤为：Stepi:确定建模目的，并由工艺和物理/化学过程初步确定模型形式和结构；S

8、tep2:试验设计：包括试验信号设计、采样周期选择、实验数据长度选定、试验方式（离线/在线）等；Step3:实际系统试验，采集输入输出数据，并进行数据的预处理；Step4:模型结构假设，选定阶次范围；Step5:选供适用算法进行参数估计，得到一组数学模型；Step6:模型结构的确定，得到一个数学模型；Step7:模型检验；根据检验结果，可能要从Step2到Step6中的任何一步重新做起。Step8:若模型检验合格，则得到最终模型。六、某系统的动态模型为yk= ayk1-bukek，假设：系统是稳定的，且泊昇和'uk f都为零均值广义平稳随机序列。采用辅助变量法进行参数估计，进行L次量测

9、，且L充分大,试证明：_Uo Ui 1+b+rZl = UkA Uk+b+rLA Ul j是一个合适的辅助变量矩阵。答案：证明：辅助变量法的计算公式为无-(zL-lzLYl =(Lzt<)j1ztyl根据题义有Z【Yl =IoUiIIIIIIUkiUkinin-'YoUo 1LL"I+4+44工ya瓦uaYk4UkA=LL+444工yME uiui_i-iTiT一-.YL4Ul_i_UlUlIIIIIIUkUkIIIIIIy/lUL4ULykJ yUi_LimLyuiy 一因Wk、uk和yk均为是零均值广义平稳噪声序列，所以,lim -ZT- =lt： l L LRyU

10、(0)RyU1)Ruu (0) 1RuuRyu(1)1Ryu(O) 一lim pL字=Ryu(O)Ruu(O) Ryu(1) =丄Ruu(1)&u(T)Ruu(1)_ Ryu(O)k-Ryu(-1)% &LmPkRyu(T)Ruu(1)_ Ryu(O) 一-Ruu (OHI. Ryu (1)1Ryu(O)Ryu(O) 一1 Ruu Ryu -Ruu(O)Ryu(O)A -RyuRyu(-1)+R：u(O) 一式中，I =Ryu(O)Ruu(1)Ryu( 1)Ruu(O)又相关函数Ryu (1) = E MUk-i 1 二 aRyu (O) bRuu (O)Ryu(O) = E

11、lyM 1 二 aRyu(-1)bFU1可得旨1 _ RUu(1)_aRyu(ObRJu(O-RJu(O)_aRyuirHbRUu(1)l I lim p | |=- _- _n护 回牛厂只川(1)aRyu(O)+bFUO)Wyu(O)aRyu(-1) + bFU1)由此可知，Zn矩阵是一个合适的辅助变量矩阵。七、在递推最小二乘估计中，新息的表达式为kk= yk -申IE。1. 请写出残差的表达式 k,k2证明:k,k 汀k,2/(1TPJk)答案：1 k,k =yk - 订彳2. 证明：k,k = yk - ：k= yk - ：k C?k4 ' Kk (yk - ：彳/)=Yk,k

12、4 _ ' k K k yk,k J = yk,k(1 'k Kk )二 k,k4(1 - ；：TPk4；：k/(V ；： TPk4；： k)-yk,k 4 /(1 k Pk 4 ' k )八、请证明：在递推最小二乘估计中Kk = Pk ；：k。证明：在递推最小二乘估计中Pk4'；：TPk4PK =Pkk PKk v TP，Pk k k kP ：、：、T p ：、: '.T pkdkkkjk p . (ik rkj k )仆八出八(1飞丁PjkiJk九、考虑一个SISO闭环系统如图所示，其中uk和yk分别为前向通道过程输入和输出量， ej为白噪声扰动序列

13、，过程参数多项式A(z')、B(z')、C(z)和已知的调节器参数多项式P(zJ)、Q(zJ)分别表示为：A(zJ) =1 a1zJ .angzJaB(z)二 b° biz'.匕皿乙入,na nbC(z') =1 - c1zA .q z几,nc _ 1P(Z)=1 P1Z，PnpZ。Q(z)=q° qQ qnqZ。试证明：过程参数多项式可辨识的条件是使调节器参数多项式的阶次满足np _ nb 1 或 nq _ na 1 - d证明：由题义可知过程对象的数学模型为4-d-1_4A(z )yk =z B(z )Uk C(z )ek由Wk到yk的闭

14、环系统方程为A(z')P(z)zB(z)Q(z)VzP(z)B(z_1)Wk令T(z)二 A(zJ)P(zJ) z" B(z")Q(zJ) =1 t)zJ ：；汕tn z(8-1)S(z 丄)=屍 +S1Z+Snszs 显然有,nt = maxha np, nb nq d 】，nt 二 nb nq则闭环系统方程可以写为T(zJ)yS(zJ)Wk亦可进一步写成最小二乘格式yk =魯其中，：T =Lyk 丄 e- -yk_nt； Wk Wk_n丁 二穆； So Sns 1采用相应的最小二乘类型参数估计算法，可以估计得到2。应估计的主要的过程参数多项式A(z)、B(zJ)

15、的参数个数为I =na nb 1,需要根据已知的调节 器参数多项式P(z°)、Q(z)，用估计得到的 北从方程(3-1 )中解出。方程(3-1 )两边z 4同次幕系数比较即可得到线性方程组，从而解出过程参数的估计值A(z ')和E?(zJ)，有唯一解的必要条件为：nt = max ha np, nb nq d_ na nb 1其等价条件为np丄nb 1或nq _ na 1 -d，命题得证。十、考虑一个SISO闭环系统如图所示，其中uk和yk分别为前向通道被控对象的输入和输 出量，ek为白噪声扰动序列。试讨论以下两种情况的被控对象模型参数的可辨识性 和辨识结果。1 控制器为：F

16、(z) =-fo -fo=O,2 控制器为：Fo(z=-fo和F1(z')=-f1两个控制器切换，fo= f1 = 01 11 - F(z )=-f°-fiZ 时，山=-f°yk - £yk-i , Q 7np=On =1二n i_d二 该闭环系统可以辨识。闭环系统方程为：y - 一a yk-2 yk _2 -'bo f°yk _2 -bo f1 yk' ek gq 二 ek其中，：k J _yk，一丫2, 一丫2，編丨二-1,2，二如二打 I，-:対=a ,二2 = 0 fO a2,二3 = bo f1, -，4 = c1根据题

17、意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得：从而可以解出前向通道被控系统参数的估计值为：玄=叫,02=%-I?f0 =（?2 -和。/ f1,b0 =叫/ 帚？=也42.由于是两个不同的控制器切换，故存在闭环系统可辨识性。（1） uk=-f0yk时，闭环系统方程为：yk 二 _a1 yk 4 - a2yk _ b0 f0yk 2 ek二，kek其中，A = -_yk lyk-2 ,ek 4二 =-'1，鳥2 , -3 I，- 1 = 31,2 = bj f。' a2 厂 3 = G根据题意，采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得：(? = fc?, (?2 , <?3 1从而可以解出：玄=(?,a? =(?2 b0f。,？ =c?其中a2和b0关联，无法直接解出。(2)山二-皿时，闭环系统方程为:yk = -aiykd a2yk_ b0fiyk_2 ek GQ = k71 Q其中，'k =-yk/，-yk _2，ek J=：i