高等数学：第十章 习题课

1、1第十章习题课第十章习题课2( ,)DIf x y d 二二重重积积分分的的对对称称定定理理 ( () )(1)(, )( , )0.fx yf x yI 当时，则11(2)(, )( , )2( , )( , )|0 .Dfx yf x yIf x y dDx yD x当时，则， 其中，2.Dx若关于 轴对称，(1)( ,)( , )0.f xyf x yI 当时，则22(2)( ,)( , )2( , )( , )|0 .Df xyf x yIf x y dDx yD y当时，则， 其中，1.Dy若关于 轴对称，3( , )( , )DDDyxf x y df y x d若关于直线对称，则

2、 ( )( ).DDf x df y d特别地，3. 轮换的对称性422221(232)xyaxxyd例计算222( 23 )y0 xyadxxy于是，解：积分域是圆域，关于 轴和 轴都对称.42142222222222222adyxdydxayxayxayx )(而而222222adayx 422.4aa原式522ln(1)4312DDIxyydxdyyxyxx 例计算其中， 由所围成(如，图所示).oyx124xyxy32D1D1x2( , )ln(1)f x yxyy解：令，12()DDD如图所示12(, )( , );( ,)( , ).Dyfx yf x yDxf xyf x y 关

3、于 轴对称，且关于 轴对称，且1222ln(1)ln(1)0DDIxyydxdyxyydxdy故，622222(1)()1;11.(2)xyDDDIxxyedxdyxyyxyx 计算其中，为圆域，成直围由线练练习习 oxy1D222(1)xyDDIx dxxyedydxdy解：利用对称性0)(2122ydxdyxD2010321rdrd47o1yx11D2Dxyxy .(2)yx 积分域如图，添加辅助线12DDD和，将分为利用对称性有2212222xyDDxyDIx dxdyxyedxdyxyedxdy001112xyddxx328( , )If x y z dv三 重重积积分分的的对对称称定

4、定理理 ( () )( , ,).)(,xOyf x y zzf x y zz当积分区域关于平面对称，且被积函数是 的奇函数，则三重积分为零，若被积函数是 的偶函数，则三重积分为在平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍, ,x y z.积分区域关于坐标平面的对称性；.被积函数在积分区域上的关使用对称性定理时应注意于：的奇偶性.9222222ln(1)0.1zxyzdxdy zzzdxy解：关于三个坐标面都对称，且 被积函数是 的奇函数，故，222222222ln(1)1( , , )|1.zxyzdxdydzxyzx y zxyz 例3 计算， 其中，102222()2()xyzxyzxyyzz

5、x解：222222(4).2xyzdxdydzzxyIxyz例计算其中，是由抛物面和球面所围成立体区域(如图)，()0.xxyyzyxyOyzzdv是关于 的奇函数，且关于面故，对称，0.yOxzxx dzz v是关于 的奇函数，且关于面，故，对称，同理222().Ixyzdxdydz于是，11222()Ixyzdxdydz2202012.rrzr在柱面坐标下：，222222010)(rrdzzrrdrdI).89290(60 12 利用球面坐标利用球面坐标yOzxx关于面对称， 为 的解：奇函数，0.xdv于是， ()xz dvzdv 1024020sincosdrrrdd.8 2222()

6、1xz dvzxyzxy计算，其中，练习是锥面与球面所：围成的立体13D解解X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD2212DxdDyxyxyx例 计算，其中， 由，围成14解解1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 211 01.Dyx dDxy 例 计算，其中， ：，1521120yxIdxx edy例 计算yydxexdyI02102103231dyeyy)(edttetyt216161102令令162223/2500.()DdDxayaaxy例计算，其中， ：；解：用极坐标计算,（如图）1214cos22 3/20022()DDDardrdar原式4201cos262sindaaa17解解)cos( 120222aaDrdrrddyx20331132 da)cos().2922(3 a22(1 cos )Dxy dDrara练习：计算，其中，是由心脏线和圆所围的部分(取圆外部)18 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一