高等数学：09第一章 第9节 连续函数运算及初等函数连续性

1、1与初等函数的连续性连续函数的运算第九节一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结及作业2一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx3问问题题：点不连续，点不连续，在在点连续，点连续，在在、若、若00)()(1xxgxxf点是否连续？点是否连续？在在0 x )()(xgxf点不连续，在点不

2、连续，在、若00)()(2xxgxxf点是否连续？点是否连续？在在、0 x )()()()(xgxfxgxf一定不连续一定不连续不一定连续不一定连续点不连续点不连续在在如如00, 10, 1)(,0, 10, 1)(xxxxgxxxf点连续。点连续。在在00)()(xxgxf4点点不不连连续续，在在0,0, 10,sin)(,0, 10,1)(xxxxxgxxxxf点连续。点连续。在在00, 10,sin)()(xxxxxxgxf5二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增

3、加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.),(cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.6定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 0

4、0时时使当使当对于对于 xx7.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(limxfxx 08意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解9例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx

5、则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 10.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy11三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1,

6、0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在12定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .131. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在

7、其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.14例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0

8、)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx155例例xxxex10)(limxxxexe101 limxxexexxexe)1(lim02e6例例xxx2sin10)(coslimxxxxx2sin1cos1cos10)1(cos1 limxxxxx2sin1cos1cos10)1(cos1lim21 e167例例21log)1 (limxxxxxxln2ln)1 (lim1换底换底)1ln(lim2ln01ttttxttt10)1ln(1lim2ln2ln178例例1lim)(2212nnnxbxaxxxf设设上连续。上连续。在在取何值时，取何值时，当当),()(,xfba12

9、1121112xbaxbaxxxbxaxxf,)(的连续性的连续性在在由由1)(xxf11baba10ba上连续。上连续。在在当当),()(,xfba10解18四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.19作业作业6891P习题. 5)6 , 5 , 4 , 3(4),7 , 5 , 3 , 1 (3, 120思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(x

10、xg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性.21思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点 0, 10, 00, 1)(xxxxf22一、一、 填空题：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1

11、lim2_. . 6 6、设、设,0,0,)( xxaxexfx 当当 a_时，时，)(xf在在 ),( 上连续上连续 . .练练 习习 题题237 7、 函数函数61)(24 xxxxxf的连续区间为的连续区间为 _. _.8 8、 设设 时时当当时时当当1,11,2cos)(xxxxxf确定确定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 计算下列各极限：计算下列各极限：1 1、axaxax sinsinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；24三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. .四、四、 设函数设函数)(xf在在0 x处连续，且处连续，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，试证函数，试证函数)(xg在