工程力学C：第三章 力偶系

1、2021年年11月月6日日2021-11-61引言引言力力 是改变物体运动状态的物理量。是改变物体运动状态的物理量。物体运动状物体运动状态的改变态的改变移动移动转动转动用用力矢力矢来度量来度量用用力矩力矩来度量来度量力矩是力矩是度量力对刚体转动效应度量力对刚体转动效应的物理量。的物理量。力矩本质上仍是力。力矩本质上仍是力。2021-11-62目录2021-11-63ABdF3-1 3-1 平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算( )OMFF d ( )2OMFOAB ( )OMF2021-11-64 R12()()()()()OOOOnOiMFMFMFMFMF证明：证明：cbdO

2、xOb = Oc + Od()2OMFOABOA Ob R1()2OMFOACOA Oc 2()2OMFOADOA Od R12()()()OOOMFMFMFR()()OOiMFMF而：而：R12FFFABRFDC1F2F3-1 3-1 平面力对点之矩平面力对点之矩2021-11-65( )()()OOxOyyxMFMFMFxFyFR()()OiiyiixMFx Fy FyxAOxyFxFyF3-1 3-1 平面力对点之矩平面力对点之矩2021-11-66Or 已知：已知：F，r求：力求：力 F 块对轮心块对轮心O的力矩。的力矩。h解：（解：（1）直接计算）直接计算( )cosOMFFhFr（

3、2）利用合力之矩定理计算）利用合力之矩定理计算r( )()()()cosOOOtOtMFMFMFMFFrFrFtF3-1 3-1 平面力对点之矩平面力对点之矩2021-11-673-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论2021-11-68FABdCF力偶臂力偶臂力偶的作用面力偶的作用面力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶矩力偶矩:MFd 力偶力偶()M F,F M3-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论2021-11-69性质性质1 1. .力偶不能合成为一个力，力偶不能合成为一个力，故力偶也不能用一个力来平衡。故力偶也不能用一个力来平衡。因此因此力力和和力偶力偶是静力学的两个基是静力学的两个

4、基本要素。本要素。性质性质2 2. .力偶对作用面内任一点之力偶对作用面内任一点之矩与矩心位置无关，恒等于力偶矩与矩心位置无关，恒等于力偶矩。矩。(,)()( )()()OOOMF,FMFMFF dxMFMF xd F F验证：验证：FOxdF3-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论2021-11-610性质性质3 3. .平面力偶等效定理：在同一平面内的两个力偶，如果平面力偶等效定理：在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两个力偶彼此等效。力偶矩相等，则两个力偶彼此等效。推论推论1：；推论推论2：MMM注：性质注：性质3 3只适用于刚体。只适用于刚体。FdFF0 0ABF0 0DCF2F

5、1 1F 2 2F1 1F0 0F 0 03-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论力偶二要素力偶二要素: 大小和转向大小和转向2021-11-6113-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡31 11FdFdM 4222F dF dM4343,FFFFFF4321()MFdFF dMM=0iMiMM ABd1Fd12Fd21F2F3F3F4F4FABFdF2021-11-612BF？MaaABCa求：求：A、 C 处约束力。处约束力。已知：已知：a, M解：解：（1）取取AB为研究对象为研究对象（2）取）取BC为研究对象为研究对象BCABM0,20AMMFa22ABFFMaB

6、22CBFFFMa 若将此力偶移至若将此力偶移至BC构件上，再求构件上，再求A、C处约束力。在此处约束力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩是否还等于力偶矩。是否还等于力偶矩。BFCFAF3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2021-11-613M1M2CABDM2CDM1AB解解: (1)取取AB为研究对象为研究对象(2) 取取CD为研究对象为研究对象求：平衡时求：平衡时M1、M2之间的关系。之间的关系。已知：已知：AB=CD=a, BCD=3010,cos30= 0BMF aM解得解得13=2

7、BaMF2= 0,sin30 = 0CMMF a2C1=2Ma F解得解得因为因为 FB = FCBFAFCFDF3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2021-11-614DBCMaaEDCBAaa求：求：A、B、C、D、E处处的约束力。的约束力。解解: (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象= 0,= 0AMMF a=ABMFFa(2) 取取BCD为研究对象为研究对象DF确定确定 D 处约束力的方向处约束力的方向BFAFBFCF3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2021-11-615CAE EF(4) 取取ACE为研究对象为研究对象o= 0

8、,sincos45 = 01sin=5yCEFFF5=CMFaMDE(3) 取取DE为研究对象为研究对象o= 0,sin45= 0DMF aM2=DEMFFaEFDFAFCFMaaEDCBAaaBFAF3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡2021-11-616PRMoAMMBC 当当 M=PR 时，系统处于平时，系统处于平衡，因此力偶也可以与一个力衡，因此力偶也可以与一个力平衡，这种说法对吗平衡，这种说法对吗? 图示系统平衡否，若平衡，图示系统平衡否，若平衡，A、B处约束力的方向应如何确处约束力的方向应如何确定。定。思考题？思考题？3-3 3-3 平面力偶系的合成与平衡

9、平面力偶系的合成与平衡2021-11-617空间的力对空间的力对O点之矩取决于：点之矩取决于：（1）力矩的）力矩的 大小大小；（2）力矩的）力矩的 转向转向；（3）力矩）力矩 作用面方位作用面方位。3-4 空间力对点之矩与对轴之矩空间力对点之矩与对轴之矩 须用一矢量表征须用一矢量表征( )OM FOA(x,y,z)BhyxzFr( )=2OM FFhOAB2021-11-618xyzr=xi+yj+zkF=Fi+F j+Fk( ) =()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF kOA(x,y,z)Bhyxz( )OM FFr定位矢量定位矢量( )O

10、M F3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2021-11-619Oxyzh 力对轴的矩等于力在垂直于该力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。点的矩。 力对轴之矩用来表征力对轴之矩用来表征 当力与轴在当力与轴在同一平面同一平面时，力对该轴的矩等于零。时，力对该轴的矩等于零。BAFbzFxyF( )zM F( )=()= 2zOxyxyM FM FF hOAb 注：注：3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2021-11-620( ) =( ) =( ) =xzyyxzzyxMFyFzFMFzFxFMFxFyFy(

11、)=()=( )+( )=zOxyOxOyxM FM FM FM FxF yFxyzxyzF=F+F+F=Fi+F j+FkyzOxA(x,y,z)BabxyFzFxFyFxyFxFyF3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2021-11-621( ) =( )( ) =( )( ) =( )OxxOyyOzzM FM FM FM FM FM F 力对点的矩矢在通过力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。于力对该轴的矩。( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF k( )=( )=( )=x

12、zyyxzzyxM FyF zFM FzF xFM FxFyF3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2021-11-622（1）力对点的矩）力对点的矩 ( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF k回顾：回顾：空间力矩的计算空间力矩的计算OA(x,y,z)Brhyxz( )OM FF( )=2OM FFhOAB2021-11-623 力对轴的矩等于力在垂直于该轴的力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。平面上的投影对轴与平面交点的矩。（2）力对轴的矩）力对轴的矩 ( )( )( )xzyyxzzyxMFyF

13、zFMFzFxFMFxFyFOABabhzFxyFyzOxA(x,y,z)BabxyFxFyFzFxFyFxyF( )()2zOxyxyMFMFF hOab 2021-11-624（3）力对点的矩与力对轴的矩的关系）力对点的矩与力对轴的矩的关系 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。投影，等于力对该轴的矩。( ) =( )( ) =( )( ) =( )OxxOyyOzzM FM FM FM FM FM F2021-11-625解：解：(1) 直接计算直接计算z( )Oxyi j kM F r Fx y zF F F 0=cossin=cosc

14、os=sinxyzxaybzFFFFFF3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩求：求：已知：已知：F、 a、b、 、 ( )OM F2021-11-626( ) =( )( )( )=sinsin(cossincoscos)OxyzMFMF iMF jMF kFbiFajFbFak(2) 利用力矩关系利用力矩关系( ) =sin( ) =sin( ) =cos sincos cosxzyzzyxMFF bFbMFF aFaMFxFyFFbFa3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2021-11-627222( ) =( ) cos=+OAOMFMFFababc已知：

15、已知： F 、 a、b、c求：求： 力力F 对对OA轴之矩轴之矩( ) = 0000OijkMFrFbFFbi（2）利用力矩关系）利用力矩关系( )OM FzOabcAxy F3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩解：（解：（1）计算）计算( )OM F2021-11-628( )/ 200/ 2/ 2+22 22 2DBMFrFijkbbFFFbFbFbijk 已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：力求：力 F 对对OA 边的中点边的中点D之矩在之矩在AC方向的投影。方向的投影。解：利用力矩关系解：利用力矩关系xyz22+22+2BFFjFkbribjOAB

16、CDF3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2021-11-62911=+22ACnik( )( )11() ()22 22 2224ACDACMFMFnFbFbFbijkikFb OABCDxyzF( )+22 22 2DFbFbFbMFijk3-4 3-4 空间力对点和轴之矩空间力对点和轴之矩2021-11-6303-5 空间力偶理论空间力偶理论(1) 力偶矩的大小；力偶矩的大小；(2) 力偶的转向；力偶的转向；(3) 力偶作用面的方位。力偶作用面的方位。 空间力偶矩矢为空间力偶矩矢为自由矢量自由矢量，即可以在保证大小和方向不，即可以在保证大小和方向不变的情况下在刚体内任意移

17、动。变的情况下在刚体内任意移动。空间力偶的定义空间力偶的定义:右手螺旋右手螺旋FBAFM2M2F2F力偶矩矢：力偶矩矢： 或或 M()M F,F 2021-11-631BA证明：证明：FB1A11F2FORF两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。自由矢量自由矢量MFRF2F1F2021-11-632 空间力偶系的合成与平衡空间力偶系的合成与平衡xyzMM iM jM k121212=+=+=+=xxxnxixyyynyiyzzznzizMMMMMMMMMMMMMMM222=+cos() =cos() =cos() =xyzxyzMMMMMM,iMMM,

18、jMMM,kM 合力偶矩矢：合力偶矩矢：12=+=niMMMMMzOxyABC1M2M3MnM2021-11-633000ixiyizMMM0niiM1xyzMMMM2222021-11-6341F1F2F2Fxyz1o2oAB10,nixiM已知已知 O1和和O2圆盘与水平轴圆盘与水平轴AB固连固连 ， O1盘垂直于盘垂直于z轴，轴， O2盘垂直于盘垂直于x轴，盘面上分别作用力偶，如图示。两盘半轴，盘面上分别作用力偶，如图示。两盘半径径r=20 cm,F1=3 N,F2=5 N, AB=80 cm，不计构件自重，不计构件自重，试计算轴承试计算轴承A和和B处的约束力。处的约束力。解：取整体为研

19、究对象解：取整体为研究对象AxFAzFBxFBzF10,niziM220AzFrFAB120AxFrFAB解得：解得：1.5 NAxBxFF2.5 NAzBzFF2021-11-6353-6 结论与讨论结论与讨论1. 平面力对点之矩平面力对点之矩()2OMF dOAB F2. 合力矩定理：合力矩定理：R12()()()()()OOOOnOiMFMFMFMFMF 3. 平面力偶和力偶矩平面力偶和力偶矩力偶力偶两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。2021-11-636 力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒力偶在任一轴上的

20、投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。4. 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平衡条件：平衡条件：0iMiMM合成结果：合成结果：力偶的等效定理：力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。MFd 力偶矩2021-11-637（1）力对点的矩）力对点的矩 ( )()()()OxyzzyxzyxijkMFrFxyzFFFyFzF izFxFjxFyF k5. 空间力矩的计算空间力矩的计算OA(x,y,z)Brhyxz( )OM FF( )=2OM