一轮复习课件 第7章 第7节 立体几何中的向量方法理

1、考纲要求考情分析1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.从考查内容看，本节是高考的必考内容，主要考查利用空间向量的坐标运算解决直线、平面间的平行、垂直关系，求空间角(异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角)及距离等问题. 2.从考查形式看，主要以解答题的形式出现，侧重于考查空间向量的应用，属中档题.一、直线的方向向量和平面的法向量1直线的

2、方向向量直线l上的向量e或与e 的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有 个共线无数2平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，此时向量n叫做平面的法向量显然一个平面的法向量也有 个，且它们是 向量无数多共线1求平面法向量的一般步骤是什么？二、利用空间向量求角1求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则|cosa，n| (2)设n1，n2分别是二面角l的两个面、的法向量，则 向 量 n1与 n2的 夹 角 ( 或 其 补 角 ) 的 大 小 就 是 (如图) 二面角的平面角的大小求出两平面法向量的夹角后，一定

3、要根据图形来判断二面角的大小与两法向量夹角的关系，然后得出结论2点到平面的距离公式如何推导？1若直线l1，l2的方向向量分别为a(2，4，4)，b(6，9，6)，则()al1l2bl1l2cl1与l2相交但不垂直d以上均不正确解析：ab2(6)496(4)0，ab，从而l1l2.答案：b2若平面与平面的法向量分别是a(4，0，2)，b(4，0，2)，则平面与的位置关系是()a平行b垂直c相交但不垂直 d无法判断解析：由题意，有ab，a与b共线，从而与平行答案：a4已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)n(0，1，1)，则两平面所成二面角的大小为_5在正方体abcda1b1c1d1中，m是ab

4、的中点，则对角线db1与cm所成角的余弦值为_ 【考向探寻】1利用空间向量证明平行关系2利用空间向量证明垂直关系【典例剖析】 (1)若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是aa(1，0，0)，n(2，0，0)ba(1，3，5)，n(1，0，1)ca(0，2，1)，n(1，0，1)da(1，1，3)，n(0，3，1)(2)如图，已知直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，且abaa1，d、e、f分别为b1a、c1c、bc的中点求证：de平面abc；b1f平面aef.题号分析(1)根据a，n是否垂直进行判断.(2)建立空间直角坐标系，运用向量法证明.(1)解析

5、：若l，则需an0即可，经验证知d满足答案：d(1)用向量证平行的方法线线平行 证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示面面平行证明两平面的法向量为平行(即为共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题.(2)用向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证他们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线面垂直面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.用向

6、量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性。如证明线面平行时，仍需要体现出一条直线在平面内、另一条直线在平面外的答题步骤【活学活用】1.如图所示，在四棱锥pabcd 中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，bc90，ab4，cd1，点m在pb上，pb4pm，pb与平面abcd成30的角求证：(1)cm平面pad；(2)平面pab平面pad. 证明：以c为坐标原点，cb为x轴，cd为y轴，cp为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.pc平面abcd，pbc为pb与平面abcd所成的角，pbc30，【考向探寻】1利用空间向量求两异面直线所成的角，线面角、二面角的大小2利用空间向量求空间中

7、的距离问题(2)在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则点c1到平面a1ed的距离是_ (1)建立坐标系，利用向量法求线面角(2)建立坐标系，利用向量法求点到面的距离(3)用几何法证明；用向量法求解 (3)证明：连接bd，因为m，n分别是pb，pd的中点，所以mn是pbd的中位线，所以mnbd.又因为mn 平面abcd，bd平面abcd，所以mn平面abcd.(1)空间角的求法异面直线所成的角设异面直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2，他们所成的角为，则cos |cosn1，n2|.直线与平面所成的角设直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，直线和平面所成的角为，则sin

8、 |cosm，n|.【活学活用】2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为a.(1)求点c1到平面ab1d1的距离；(2)求平面cdd1c1与平面ab1d1所成的二面角的余弦值 【考向探寻】利用空间向量解决探索性问题【典例剖析】 (2012福建高考)如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd的中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长 探索性问题的分类及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种(1)存在性判断问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假设【活学活用】3(2012北京高考)如图(1)，在rtabc中，c90，bc3，ac6，d，e分别是ac，ab上的点，且debc，de2，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如图(2) (1)求证：a1c平面bcde；(2)若m是a1d的中点，求cm与平面a1be所成角的大小；(3)线段bc上是否存在点p，使平面a1dp与平面a1be垂直？说明理由(1)证明：acbc，debc，deac.dea1d，decd，又a1dcdd.de平面a1dc.dea1c.又a1ccd，cdded.a1c平面bcd