A201516035032_王佳佳_常婉莹_陈星宇

1、太阳影子定位众所周知，地球在自转的同时也在围绕着太阳做公转，由于地球的自转和公转都有着自己的周期与轨道，这就形成了地球上不同地点和不同时间时物体的影子长度随时间有着本身独特的变化规律，所以我们既可以根据地点和时间通过使用适当的定理与公理来建立数学模型以求得影子随时间的变化情况，同样我们也可以根据影子随时间的变化规律来求得物体所在的地点与时间。对于问题一，我们需要在已知日期和地点的情况下，求影子随时间的变化规律。在本问题中，由于给出的是当地时间，此时刻太阳高度角最大，通过分别固定太阳让地球自转和固定地球让太阳做圆周运动来建立两种模型以求得影长随时间的变化规律：当正午偏离角度较小时两个模型由较强的

2、耦合性，有一定的实用性。对于问题二，我们需要在给出日期，时间和影长的情况下求所在地点。在第一问中，我们已建立影长，时间和地点之间变化关系的模型，故可以通过对第一问的模型进行对第二问的影长进行拟合，求出影长最短的时刻，即为当地的12点，然后与北京时间做对比求出相应的经度，并求出此时的太阳高度角，根据太阳高度角与日期的关系求出相应的纬度坐标。最终得到地点的坐标，即:A79.02°N,96.16°EB39.45°N,96.16°EC79.02°S,96.16°ED39.45°S,96.16°E对于问题三，我们需要在给出影

3、长变化规律，北京时间情况下求出对应地点和日期的组合。由第二问可以根据影长和时间的变化求出该点的经度，进而求出太阳高度角，并根据太阳高度角和日期的变化关系求出可能日期和时间的组合。对于问题四，我们需要在一段时间的视频信息下求出该点的地理位置。我们可以从视频中读出视频的日期，并通过截图及读图软件读得影长随时间的变化规律，然后根据问题二的模型求出可能的地理位置，即：A4.94°N,66.21°EB4.94°N,66.21°EC3.38°S,66.21°ED3.38°S,66.21°E对于第四问中，我们需要在未知日期的情况

4、下给出可能的日期与地点的组合。事实上本题是给出在一个时间内影长与时间的变化关系，利用问题三的模型既可求得相应的地点与日期的组合，即可得到相应地点。关键词：太阳高度角 椭圆定理勾股定理拟合一、问题重述视频拍摄的地点和日期作为视频数据分析的重要方面，是通过分析视频中物体的太阳影子变化的方法来确定的，而该方法称为太阳影子定位技术。我们现在通过解决以下问题来了解该技术：1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用我们所建立的模型画出2015年10月22日北京时间9点至15点之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据已知数据，建立数学模型确定直杆所处的地点

5、。将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据已知数据，建立数学模型确定杆所处的地点和日期。将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4.通过观看一根直杆在太阳下的影子变化的视频，建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用模型给出若干个可能的拍摄地点，已知直杆的高度为2米。若拍摄日期未知，尝试根据视频确定出拍摄地点与日期。二、问题分析由于地球的自转与绕太阳的公转有着确定的周期和轨道，这就形成地点，日期，时间和影长变化之间的相互关系，本论文就是根据已知四个变量中的某几个已知变量去求解余下的未知变量。对问题一，本问题中给出了时间，地点，日期三

6、个变量，求影长这个变量岁其他三个变量之间的关系。对问题二，本问题给出了时间，影长和日期三个变量，求解地点这个变量。对问题三，本题给出了时间，影长这两个变量，求日期和地点这两个变量对问题四，本问题通过视频给出了日期，影长，时间三个变量，求地点这个变量。对于问题四中的附加问，即通过视频给出时间，影长两个变量，求日期，地点这两个变量。三、符号说明h太阳高度角观测地地理纬度太阳赤纬R地球半径v地球自转的线速度N日期在年内的顺序号，即积日四、问题假设1、假设不考虑空气折射率的影响。2、假设地球为严格的球体。3、假设地球的公转轨道是标准的圆。4、假设整个分析的过程都在白天进行且天气晴朗。五、模型的建立与求

7、解5.1影子长度关于各个参数的变化规律的分析5.1.1模型一建立与求解假设在计算过程中忽略地球自转所引起的同一纬度上高度的变化。地球自转过程中，对于某一特定纬度，任意一个时间点物体都有自己的影长，任意一段时间内，转过的弧度是一定的，因此可建立关于时间，影长，弧度之间的数学模型，进而求得太阳高度角随时间变化的函数关系。对于已知经纬度的某一地点，如图1：图1地球上某点随地球自转变化图图1中AB的距离为lx，即地球上两点间的距离，AC的距离为ly，BC的距离为lz。在正午时刻,太阳直射点与其经度位置点在同一纬线上，故可以建立函数关系其中lh为日地距离，大小约为。以已知点的位置作为参考点，忽略地球公转

8、时引起的太阳高度角的变化，观察太阳高度角在该地不同时刻的变化，可在任意时刻建立太阳高度角相关参数的变化关系：由勾股定理知，即式中lx为同一经度上，处于太阳直射的地区与当地之间的直线距离。由假设可知地球是一个标准球体，则在地球上的位置可表示为在地球上的位置可表示为求得AB所对球心所张的角的余弦大小为因此AB两点之间的球面距离为则AB两点间的直线距离为式中的R为地球半径，R=6371.393km。地球自转过程中，角速度恒定，线速度随着纬度高低变化，建立线速度函数式为:为当地纬度，T=23.93h，为地球自转周期，故每一时间段内相对某地来言，太阳射入光线的弧度变化。在不同时刻，影长随物体长度的变化可

9、建立关系如下：联立上式，可得影长随时间t、当地纬度以及的函数表达式为：太阳赤纬（太阳直射点的纬度）是计算太阳高度角中必不可少的元素，它在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的，根据参考文献可知：式中为日角，即而d又由两部分组成，即，其中的N为积日（日期在年内的顺序号），而N0的计算公式为INT表示取整数部分。已知，当地时间段为北京时间9:00-15:00，2015年10月22日，地理位置为（39°5426N,116°2329E），物体长度为3米，带入上述函数式可得因此，可知直杆的太阳影子长度随时间的变化函数为:t表示各时段到正午的时差，单位为，。北京时间9:00-15:0

10、0时，用Matlab软件画出影子长度的变化图象如下：图2影子长度的变化图像5.1.2模型二建立与求解(1)确定正午影长由于10月22日靠近秋分日，所以假定太阳运行轨迹经过赤道便于计算。根据几何关系可知根据所学地理知识可知，正午时间太阳高度角的计算公式为由倍角公式可将式（1.4）化简为上述式子中涉及观测点地理纬度=39.9072°和太阳赤纬，可由由模型一中式（1.1）求得。题中需要画出2015年10月22日时的函数图像，即积日为326，将该数据及其他已知数据逐步代人公式（1.2）、（1.1）、（1.5），并通过计算得出太阳高度角。再将求出的太阳高度角代人（1.3）中即可求出正午时刻杆的

11、影长。（2）确定影长和关系假定在太阳-地球这一体系中，太阳围绕某一定点做圆周运动，运用CAD作太阳的运行轨迹图。图3某点一天中太阳的运行轨迹将太阳轨迹投影到地平面上，可得如图3，即为一椭圆。图4太阳轨迹在地面上的投影对图3和图4进行分析，l为某一时刻太阳在地面上的投影,根据勾股定理可知其中，。而lh为太阳到投影点的垂直距离，运用勾股定理可知b为太阳投影平面上的短轴半径，由图可知由相似三角形的性质即图5物体和太阳的影长可知由于lh远大于l物，t远大于l影，故联立上式，即其中R为日地距离，经过公式间的换算得出l影和的关系式为其中为偏移x轴坐标的角度，。将正午太阳高度角代入得影长的表达公式为(3)绘

12、制影长随时间的变化曲线将9点至15点分为19个时间段，通过公式将时间换算为角度，分别带入式（1.7）得随时间段变化而改变的影长，如表1所示表1影长随时间的变化情况123456时间段9:009:209:4010:0010:2010:40(度)454035302520影长（m）3.48843.00632.60272.26111.97121.7038789101112时间段11:0011:2011:4012:0012:2012:40(度)151050510影长(m)1.53121.38301.29061.25881.29061.383013141516171819时间段13:0013:2013:40

13、14:0014:2014:4015:00(度)15202530354045影长(m)1.53121.70381.97122.26112.60273.00633.4884根据表格数据即可绘出题目所需的变化曲线，如图6所示：图6直杆的太阳影子长度的变化曲线5.1.3模型分析从两张图中的影长与时间的变化关系可知，影长与时间成抛物线，与实际情况相符合。由于两模型一定的角度范围内有较强的耦合，所以在偏离当地正午较小的角度范围内，这两个模型有较强的可用性。5.2确定直杆所处的地点5.2.1模型建立与求解由附件一可知北京时间及对应的某地的影子顶点坐标，由对问题1分析，可以近似地将影子长度随时间的变化规律认为

14、是二次函数，其图像是一条近似于抛物线的曲线。因为时区随经度的变化而变化，实际上当地地理时刻不等于北京时间。但无论哪一经度的地区，当正午时刻时，影子长度都达到最小值。根据这一现象，所以我们先对附件一的数据进行拟合，找出当地正午影子最短时对应的北京时间，确定其经度，并能确定与北京时间的时差。所以确定当地时间与影长变化的规律后再代入以上模型，便可确定太阳高度角与影长之间的函数关系。具体步骤如下：（1）确定影长已知附件一中当地影长顶点坐标，用matlab软件对时间与影长的变化规律进行拟合，得到拟合函数为拟合函数部分图像如下：图7影长随时间变化由图7可知，影长随时间变化确有一最小值，计算可得，当x=40

15、.03时,当地时间为12:00,北京时间为即13：21，同时可知当地与北京时间间隔为1.3485个小时。当地时间与影长的变化规律如下表2当地时间与影长的变化规律当地13:2113:2413:2713:3013:3313:3613:39影长0.74580.74720.74860.75000.75140.75280.754213.3513.413.4513.513.5513.613.65T20.252121.7522.523.252424.75当地13:4213:4513:4813:5113:5413:5714:00影长0.75550.75690.75830.75970.76100.76240.7

16、63813.713.7513.813.8513.913.9514T25.526.252727.7528.529.2530当地14:0314:0614:0914:1214:1514:1814:21影长0.76510.76650.76780.76920.77060.77190.773314.0514.114.1514.214.2514.314.35T30.7531.532.253333.7534.535.25(2)确定当地纬度由问题1中模型一可知，在同一经度上，不同纬度地区的距离对式(2.1)求导得：将已知公式代人式（2.2）化简得将上述两个函数表达式联立得认为与参数大致相同。可得，当地纬度为=7

17、9.02°或39.45°。（3）确定当地经度已求得当地与北京时间间隔1.3485个小时，经度间相隔已知北京经度为116.3914°，则该地区经度即东经。（4）确定可能的观测点已知此时为2015年4月18日，太阳直射点位于赤道和北回归线之间，故此时可能的观测点有四个，即5.3确定直杆所处的地点和日期5.3.1模型建立与求解已知北京时间与当地影长的变化。由附件一知北京时间时，对应的某地的影子顶点坐标，将数据进行拟合，找出当地正午影子最短时对应的北京时间，确定其经度同时与北京时间的时差也能确定，所以知道了当地时间与影长变化的规律后，代入以上模型，可确定太阳高度角与影长之

18、间的函数关系。具体步骤如下：（1）确定观测地经度已知附件二中某地影长顶点坐标，通过坐标可确定影长，用Matlab软件对时间与影长的变化规律进行拟合，得到拟合函数为拟合图像如下所示：图8拟合函数图像由以上拟合函数图象知，影长随时间变化确有一最小值，计算可得，此时x=51.46,此时当地时间为12:00,北京时间为即15:23。则当地时间与北京时间相隔3.383个小时。以北京地理位置作为参考点，当地与北京经度相隔已知北京经度为116.3914。则该地区经度为即东经。（2）确定一天之中太阳高度角h随影长变化函数问题三要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标，建立数学模型确定直杆所处地点与日期

19、。由于在本问题中不知道当地的日期，即太阳直射点的坐标未知，只能根据影长的变化来建立模型求出可能的地点位置。我们根据具体的定理、公理及公式通过对日地系统的运转规律的分析来建立模型求解。对于一个某个固定的地点，在固定的时间内，先考虑地球公转的变化与影长的关系，再考虑自转与影长的关系，通过求解方程组来求解模型，进而得到当地在空间中的坐标。求解过程如下：根据坐标的正交变换可知：考虑同一地点在当地正午的情况图9一天中太阳的变化轨道考虑太阳直射赤道时的情况由图9可知，太阳直射赤道时H为当地的太阳高度角根据勾股定理有式中由于现在考虑的是太阳直射在赤道上，于是其中为物体的高度，为影子的长度。所以任意一点的纬度

20、坐标即是该点的太阳高度角。考虑日期引起的太阳高度角变化的情况图10太阳直射点随日期的变化关系当太阳直射南半球时，太阳轨道平面将沿图10中地轴向南平移，所以可知北半球任意一点太阳高度为在南半球上的任意一点其中为地球轴线与太阳轨道平面的夹角。（3）求解地区纬度当太阳直射赤道时，各地正午太阳高度角是不同的，影长也是不同的。找出影长随太阳高度角的变化规律。由上述条件可求得在地球直射赤道时，各地正午时而在任意一个日期时，当太阳直射点在南回归线与赤道之间时，对于北半球各地区，有当太阳直射点在赤道与北回归线之间时，对于北半球各地区，有其中查阅资料可知，太阳直射点纬度随时间的变化函数为:综上，可得（4）确定纬

21、度由公式可知，所以假定A、B两点分别为这不同纬度所在的位置。图11太阳高度角和纬度差的关系1当时，由图11可知而lx可通过计算两点间直线距离得出，进而可求出lh。图中R为地球半径，由勾股定理可知地球中心点O的经纬是已知的，通过公式可得出A的纬度，则也可同时求出。图12太阳高度角和纬度差的关系2当时，AB两点间的纬度差已知，得出lx，然后得出lh，仍根据勾股定理则可得出lOA，通过公式（4.1）得A点的纬度，则也可同时求出。（4）确定太阳与地心间角度由图10可知（5）确定太阳直射点与当地间距离已知则（6）确定太阳赤纬度设太阳赤纬点到同一经度上赤道的距离为lx其中R为太阳到地心距离，为太阳到赤纬点

22、的距离。太阳赤纬与各距离间的关系为则(7) 确定观测日期太阳赤纬可由问题1中模型一式（1.1）求得，故观测地点日期的确定可由以上太阳直射点纬度逆推得出。过程如下：N为积日，与日期直接相关，故设积日为（8）确定观测地纬度即正午时，太阳高度角即为所求的观测地纬度。5.4确定视频拍摄地点5.4.1模型建立与求解（1）确定每时刻直杆长度与影长的变化附件四为某地2015年7月13日8:54-9:34这一时段内直杆影长随太阳高度角的变化而改变的一个视频，使用截图工具对视频进行截图，可得若干时刻太阳影子的长度。现每隔4分钟截取一帧图片，再用读图软件对其进行测量，得到图片中截取时刻与对应影子长度。如下表3：表

23、3截取时刻与对应影子长度时刻8:548:589:029:069:10影长（/m)1.19741.16921.14621.11801.0846时刻9:149:189:229:269:309:34影长（/m)1.05641.03851.00770.97690.95640.9307（2）确定拟合函数影长随时间变化遵从一定的函数关系，在Matlab中将其各时刻点与此时直杆影长进行拟合，得到函数关系：拟合图像如下图13影长随时间的变化关系（3）确定当地经度在该拟合函数下，求得影长对应每时刻的变化图像如下：图14拟合函数图像由图可知，影长最短时，x=97.68，此时所对应的北京时刻已知当地与北京时间相隔3

24、.345小时，经度相差北京经度为116.3914，所以该地区经度为即东经。（4）确定太阳赤纬已知此时为2015年7月13日，则由式（1.2）并通过计算知。积日，便可得日角将上式求出的结果带入式（1.1）得太阳直射点纬度。（5）确定当地纬度正午时刻时，得。已知此时为北半球时间7月13日，太阳直射点在赤道与北回归线之间，即直射点纬度为20.26°N，联立上述关系式及数据，有便得出当地纬度或。（6）确定该地地理位置假设附件4中的时间为北半球时间，已知在7月13日时，太阳直射点在赤道与北回归线之间，即直射点纬度为20.26°N，所以该地可能的地点有四个5.5拍摄时间未知情况下的分析

25、由于在本问题中不知道当地的日期，即太阳直射点的坐标未知，只能根据影长的变化来建立模型求出可能的地点位置。我们根据具体的定理、公理及公式通过对日地系统的运转规律的分析来建立模型求解。现在我们用两种模型进行求解。5.5.1模型一建立如问题一所述，对于一个固定的地点，固定的时间，先考虑公转与影长的关系，然后再考虑地球的自转的变化与影长的关系，通过求解方程组来求解模型，进而得到当地在空间中的坐标。求解过程如下：我们将视频中所给的影长正交分解，分解成与经纬度重合的分量，即根据坐标的正交变换可知：（1）考虑同一地点在当地正午的情况图15（2）考虑太阳直射赤道时的情况由图13可知，太阳直射赤道时H为当地的太阳高度角根据勾股定理有式中由于现在考虑的是太阳直射在赤道上，于是其中为物体的高度，为影子的长度。所以任意一点的纬度坐标即是该点的太阳高度角。（3）考虑日期引