高数求导法则ppt课件

1、1基本导数公式基本导数公式)()1 C,0 )()2 x,1 x)()3 xa,lnaax )()4 xe,xe )(sin)5 x,cosx )(cos)6 x,sinx )(ln)7 x.1x 2第二节第二节 求导法则求导法则一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数二、反函数的导数三、复合函数的导数三、复合函数的导数3一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理:,)(,)(, )(并并且且有有可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxxvxu )()()1

2、xvxu )()()2 xvxu. )0)()()()3 xvxvxu;)()(xvxu ;)()()()(xvxuxvxu )()()()()(2xvxvxuxvxu 41)，2) 可推广到有限个函数运算形式可推广到有限个函数运算形式; )()()1(11 niiniixfxf; )()()()()()()()()()2(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf5 )(,)()2xuCCxv有有时时中当中当).0)()(,)()3 xvxvCCxu有有时时中中当当 )(,)()()22xuxuxv有有时时中中当当;)(xuC ;)()(2xuxu )()

3、(2xvxvC 6求导举例求导举例例例1 1 求下列函数的导数求下列函数的导数3lnsin32. 12 xxyxxycos. 2 xeyxsin. 3 xxy . 4xeyx . 5xxy 11. 67例例2 2.tan的的导导数数求求xy 解解.sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得8例例3 3.sec的的导导数数求求xy 解解.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得(sec )sec tan .xxx即9例例4 4. )(,010sin)(xfxexxxfx 求求设设解解10二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理且且有有内内也也可可导导区区间间在在

4、对对应应那那末末它它的的反反函函数数导导且且内内单单调调、可可在在某某区区间间如如果果函函数数,)(,0)()(xyIxfyyIyx 即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .)(1)(yxf 11例例1 1.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解)(arcsin x.112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc12例例2 2.log的导数的导数求函数求函数xya )(log xa.ln1ax 解解特别地特别地.1)(lnxx )(log xa13基本导数公式基本导数公式 P1

5、1322211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(tansec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxxxxxxxCaxx (常数和基本初等函数常数和基本初等函数的导数公式的导数公式)222111)cotarc(11)(arccos1)(ln)(cotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexxxxxxxxxxx 14求导法则求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则 （1）vuvu )(, （2）uccu )( c是常数是常数), （3）vuvuuv )(, （4）)0(2 vvvuvuvu. (1)

6、 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) 反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(yxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数15三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)()(,)(0000 xxfyxuufyxxu ).()(dd000 xufxyxx 16且有且有内可导内可导在开区间在开区间则复合函数则复合函数对应的对应的时时且当且当可导可导内内在开区间在开区间而而内可导内可导在开区间在开区间如果函数如

7、果函数,)(,)(,)(11IxfyIuIxIufyIxu 即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导, ,乘以中间变量对自变乘以中间变量对自变量求导量求导. .xuuyxydddddd . )()(xuf 复合函数求导的链式法则（复合函数求导的链式法则（chain rule）. .17推广推广 此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形. .),(),(),(xvvuufy 设设yuvx的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy xydd)()()(xvuf uydd vuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构

8、搞清复合函数结构, , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导. .18求导举例求导举例例例1 1 求下列函数的导数求下列函数的导数, )12sin(. 1 xy,)1lncos(. 22xy ,. 31sin2xey ,11. 4xxy ,ln1ln1. 5xxy , )1ln(. 62 xxy.)1ln(2的的导导数数类类似似可可求求 xxy19.arcsin22. 7222axaxaxy 解解)0( a20.)2(21ln. 832 xxxy解解21.dd,)(, )(arcsin2xyufxfy求求可可导导设设例例 解解注意注意 ,)()(不不同同与与xfxf )()()(xxfxf 22.

9、dd,)(, )(sin)(xyufxfefyx求求可导可导例例 解解23).(sinddlim, 3)0(,0)(20 xfxfxxfx 求求处处有有连连续续导导数数在在设设练练习习解解24指数求导法指数求导法, )0)( ,)(, )( xuxvxu可导可导设设)(ln)()()(xuxvxvexuy 则则)(ln)( xuxvey )(ln)()(ln)( xuxvexuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxv., )0(3sinyxxyx 求求设设例例25., )0(3sinyxxyx 求求设设例例解解26.,)1(12yxyx 求求设设例例解解27四、小结四

10、、小结反函数的求导法则（注意成立条件）反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程，（注意函数的复合过程，合理分解正确使用链导法）合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、或常数与基本初等函数的和、差、积、商差、积、商.分段函数求分界点导数一定要用左右导数定义求分段函数求分界点导数一定要用左右导数定义求. .函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则28思考与练习：思考与练习：.,1111. 1yxxxxy 求求., )0(. 2yaaaaxyax

11、aaaaxa 求求. )(,)(, )()()(. 3afaxxxaxxf 求求连续连续处处在在其中其中设设 . )0(, )99()2)(1()(. 4fxxxxxf 求求设设5. 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在 0 x可导，可导， 且且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处（处（ ） (1) 必可导；必可导；(2) 必不可导；必不可导；(3) 不一定可导不一定可导. 29练练 习习 题题 一一一一、填填空空题题： 1 1、 设设xxysin ，则则y = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 设设xeayxx23 ，则则dxdy=

12、=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 设设)13(2 xxeyx, ,则则0 xdxdy= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 设设1sectan2 xxy, ,则则y = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、 设设553)(2xxxfy , ,则则)0(f = =_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、 曲曲线线xysin2 在在0 x处处的的切切线线轴轴与与x正正向向 的的夹夹角角为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 30二、二、 计算下列各函数的导数：计算下列各函数的导数：1 1、 211xxy

13、 ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax. .三、三、 求抛物线求抛物线cbxaxy 2上具有水平切线的点上具有水平切线的点. .四、四、 写出曲线写出曲线xxy1 与与x轴交点处的切线方程轴交点处的切线方程. .31一、一、1 1、)cos2sin(xxxx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx

14、； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aacbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .练习题答案练习题答案32一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设4)52( xy, ,则则y = =_._.2 2、 设设xy2sin , ,则则y = =_._.3 3、 设设)arctan(2xy , ,则则y = =_._.4 4、 设设xycosln , ,则则y = =_._.5 5、 设设xxy2tan10 ，则，则y = =_._.6 6、 设设)(xf可

15、导，且可导，且)(2xfy ， 则则dxdy= =_._.7 7、 设设xkexftan)( , ,则则)(xf = =_， 若若ef 4 ，则，则 k_._.练练 习习 题题 二二33二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()(22 xgxf, ,求函数求函数)()(22xgxfy 的导数的导数 . .四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 . .34一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10