高等数学课件：D3_1中值定理

1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期第三章第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 (第三节第三节)推广推广中值定理 与导数的应用 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节第一节二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 微分

2、中值定理 第三章 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期费马费马(fermat)引理引理,)(有定义有定义在在0 x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xfxf 0( )()f xf x 或或00 )(xf证证: 设设00(),( )(),xxf xf x 则则0()fx 000( )()limxxf xf xxx 0()xx 0()fx 0()xx 0()fx 0 0 00 )(xfxyo0 x证毕证毕( )yf x 高等数学高等数学 化学化学141、142

3、20142015学年第一学期学年第一学期使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(),()()3(;),()2(;,)1()( babfafbabaxf )(0)(baf 一、罗尔一、罗尔( Rolle )中值定理中值定理使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(),()()3(;),()2(;,)1()( babfafbabaxf 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在内内可可微微在在开开区区间间

4、上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(),()()3(;),()2(;,)1()( babfafbabaxf 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(),()()3(;),()2(;,)1()( babfafbabaxf (2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期怎样证明罗尔定理怎样证明罗尔定理 ？先利用形象思维先利用形象思维去找出一个去找出一个点来！点来！想到利用闭区间上连续函数想到利

5、用闭区间上连续函数的最大最小值定理！的最大最小值定理！ xyoabAB 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期xyoab)(xfy 证证:故在故在a , b上取得最大值上取得最大值M 和最小值和最小值m 若若 M = m , 则则( ), , ,f xMxa b因此因此( , ),( )0 .a bf 因因 f(x) 在在 a , b 连续连续 ,高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端中至少有一个与端 点值不等点值不等,不妨设不妨设 , )(afM 则至

6、少存在一点则至少存在一点, ),(ba 使使( )fM ( )0f 则由费马引理得则由费马引理得 xyoab)(xfy 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意注意:定理条件不全具备定理条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,01( )0,1xxf xx x1yo( ), 1,1f xxx ( ),0,1f xxxx1yo1x1yo不满足第（不满足第（2）条：）条：不满足第（不满足第（1）条：）条：不满足第（不满足第（3）条：）条：无水平切线无水平切线高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学

7、期使2) 定理条件只是充分的定理条件只是充分的. 本定理可推广为y=f(x)在 ( a , b ) 内可导, 且lim( )xaf x lim( )xbf x 在( a , b ) 内至少存在一点( )0f 证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . ( )F x (),f axa ( ),f xaxb(),f bxb 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例1. 证明方程证明方程,)(155 xxxf(0)1,(1)3ff 0()0f x 有且仅有有且仅有一个小于一个小于1 的正实根的正实根 .证证: 1) 存在性存在性则则

8、f(x) 在在 0 , 1 连续连续 ,且且由零点定理知存在由零点定理知存在0(0,1),x 使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根x0设设5510 xx高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期,)(01 xf使使例例1. 证明方程证明方程0155 xx有且仅有有且仅有一个小于一个小于1 的正实根的正实根 .证证: 2) 唯一性唯一性, ),(01110 xxx 假设另有假设另有( )f x在在以以01,xx上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件 之之间间在在10 xx ,至少存在一点至少存在一点( )0f 使使4( )5(1)fxx 0,(0,

9、1)x但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例2 设设个个实实根根。内内恰恰有有在在区区间间方方程程，证证明明44004321),()()()()()( xfxxxxxxf证证连续连续在在,)(40 xf.)()()()()(043210 fffff且且.)(),(01011 xfx使使.)(),(02122 xfx使使.)(),(03233 xfx使使.)(),(04344 xfx使使可导可导在在且且，),()(40 xf( )0fx 又又是是4次代数方程次代数方程,至多有至多有4个实根个实根,所以，方程恰有

10、所以，方程恰有4个实根。个实根。高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期xyC轴轴切切线线平平行行于于 xoab AB0)( f高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期xoAB切切线线平平行行于于弦弦C( )( )f bf aba yAaBb 弦的斜率弦的斜率:( )f 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续y=f(x)满足满足:(2) 在区间在区间 ( a ,

11、b ) 内可导内可导至少存在一点至少存在一点( , ),a b 使使( )( )( )f bf afba xyoab)(xfy 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期怎样证明拉格朗日定理怎样证明拉格朗日定理 ？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件: )()(bfaf 则收缩为罗尔定理；则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件: )()(bfaf 则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。 知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的索的新问题新问题转化为已掌握的转化为已掌握的老问题老问题。因此想到利

12、用罗尔定理！因此想到利用罗尔定理！高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期xo:( )()0AByf ak xa 弦弦方方程程 ABabafbfk )()(yab 满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件弦线与弦线与f(x)在端点处相等在端点处相等( )( )()f xf ak xa 设设函数函数高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期( )( )( )( ) ( )()f bf aF xf xf ax ab a ).()(,),(,)(:bFaFbabaxF 且且可可导导内内在在上上连连续续在在容容易易验验证证拉格朗

13、日定理的证明：拉格朗日定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在由由罗罗尔尔定定理理知知,),(, ba0)()()()( abafbffF abafbff )()()( 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期( )( )( )f bf afba 或或).)()()(abfafbf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注注: :拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上上的增量的增量 与函数在该区间内某点处的导数之间的关系与函数在该区间内某点处的导数之间

14、的关系. .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期000()()()(01)f xxf xfxxx 则有则有),(,baxxx 00).()(100 xxxfy也可写成也可写成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式. .0()(01)yfxxx 设设高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期abafbff )()()( 拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式)()()()(ab

15、fafbf )()()()(1212xxfxfxf xfxfxxf )()()(00 xxxfxfxxf )()()(000 ),(ba ),(ba ),(21xx ),(00 xxx )10( 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期思思考考题题：有有什什麽麽区区别别？限限增增量量公公式式比比较较微微小小增增量量公公式式与与有有000()()()()f xxf xfxxx xxxfxfxxf )()()(000高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期0,xba上上任任意意取取定定一一点点在在)()()(00

16、xxfxfxf 条条件件满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理上上或或在在,)(,00 xxxxxfbax .,)(上上恒恒为为常常数数在在则则上上恒恒为为零零在在若若bafbaxf 推论推论1：证证有有由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 ,0)()(0 xfxf之之间间与与在在0 xx 0)( f已已知知常常数数 )()(0 xfxf高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期)()()(,),()(,是是常常数数其其中中有有则则有有若若CCxgxfbaxxgxfbax 推论推论2：高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学

17、期学年第一学期)1(2arccosarcsin xxx )1(01111)(22 xxxxf则则) 1(arccosarcsin)( xxxxf令令知知理的推论理的推论于是由拉格朗日中值定于是由拉格朗日中值定1)1()()( xccxf为为常常数数20arccos0arcsin)0( f又又证证例例3. 证明等式证明等式推论的应用推论的应用证明函数为常量函数证明函数为常量函数高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期时时有有当当又又1, x21arccos1arcsin)1( f于于是是得得到到)1(2arccosarcsin xxx )1(2arcco

18、sarcsin xxx 故故2)1arccos()1arcsin()1( f高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期拉氏定理拉氏定理应用应用证明不等式证明不等式【分析分析】据拉氏定理据拉氏定理)()()( fabafbf )(ba 由由 的范围，确定的范围，确定 的范围的范围 )( f 从而得到从而得到 的范围，变形可的范围，变形可得所求不等式得所求不等式 . abafbf )()(例例4. 221arctanarctan1,05aababbabba 有有不不等等式式时时证证明明当当例例高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一

19、学期学年第一学期拉氏定理拉氏定理应用应用证明不等式证明不等式【关键关键】将结论写成将结论写成 的形式，的形式，以找出以找出abafbf )()(, )(baxf及及例例4. 例例4变形为：变形为：221arctanarctan1,05aababbabba 有有不不等等式式时时证证明明当当例例221arctanarctan111bababa 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期221arctanarctan1,05aababbabba 有有不不等等式式时时证证明明当当例例,arctan)(baxxxf 令令且且可可微微内内在在开开区区间间上上连连续续

20、在在闭闭区区间间满满足足条条件件：显显然然,),()2(;,)1()(,babaxf211)(arctan)(xxxf 证证例例4高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期)()(11arctanarctan2baabab 有有理理于于是是由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定,222111aababbab 因因为为所所以以有有221arctanarctan1aababbab 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期拉氏定理拉氏定理应用应用证明不等式证明不等式.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当【关键关键】

21、将结论写成将结论写成 的形式，的形式，以找出以找出abafbf )()(, )(baxf及及例例5. 例例5变形为：变形为：10)01ln()1ln(11 xxx高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例5. 证明不等式证明不等式证证: 设设( )ln(1)f tt则则f(t)在在0,x上满足上满足Larange中值定理条件中值定理条件即即又因为又因为故故ln(1)(0)1xxxxx )()(0fxfln(1)x ,01xx 1x xx1x ln(1)(0)1xxxxx xxf 00 , )(因此应有因此应有高等数学高等数学 化学化学141、142

22、20142015学年第一学期学年第一学期xoAB切切线线平平行行于于弦弦CAB( )( )( )( )f bf ag bg a y)(ag)(bg)( g)()()(btatfytgx :的的参参数数方方程程AB)(af)(bf)( f弦的斜率弦的斜率:( )( )fg 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在且且内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(. 0)(,),()2(;,)1()(),( baxgbabaxgxf )()()()()()()(ba

23、gfagbgafbf 三、柯西三、柯西 (Cauchy )中值定理中值定理使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在且且内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(. 0)(,),()2(;,)1()(),( baxgbabaxgxf 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在且且内内可可微微在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足条条件件：设设函函数数,),(. 0)(,),()2(;,)1()(),( baxgbabaxgxf 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期. 0)()(

24、agbg先先证证矛矛盾盾！这这与与假假设设条条件件使使得得存存在在一一点点由由罗罗尔尔定定理理知知0)(, 0)(),(, xgcgbac用用反反证证法法)()(, 0)()(agbgagbg 即即假假设设柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明：高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag ( )g ( )g a( )( )xg tyf t ( )f a( )g b( )f bd( )d( )yftxg t 注意注意:xyo弦的斜率切线斜率高等数学高等数学

25、 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明：构造辅助函数构造辅助函数)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 即即使使得得故故存存在在满满足足罗罗尔尔定定理理条条件件, 0)(),(,)( FbaxF)()()()()()( gfagbgafbf 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?( )( )( )(),( , )f bf afbaa b ( )( )( )(),( , )g bg agbaa

26、b 两个两个 不一定相同不一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例6. 设设( )2 (1)(0)fff (1)(0)( )102fff 2( )()fxxx 2( ),g xx ,),(,)(内可导内可导在在上连续上连续在在1010 xf证明至少存在一点证明至少存在一点(0,1), 使使证证: 结论可变形为结论可变形为设设则则( ),( )f xg x在在 0, 1 上满足上满足Cauchy.Th条件条件因此在因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使使高等数学高

27、等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期(1)(0)gg ( )f ( )g 10 (1)(0)ff 2 即即( )2 (1)(0)fff 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期证证),0()1(2)()(ffxxfxg 则则),0()1()()(2ffxxfxg 令令),1()0()0(gfg , 0)(10 gRolle），使），使，（定理，定理，由由).0()1(2)(fff ).1 , 0( 利用罗尔定理利用罗尔定理例例6. 设设( )2 (1)(0)fff 证明至少存在一点证明至少存在一点(0,1), 使使在

28、在(0,1)内可导内可导, f(x)在在0,1上连续上连续, 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理( )g xx )()(bfaf 1. 1. 罗尔定理、拉格朗日中值定理及罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证

29、明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期4421 34 21 思考与练习思考与练习1. 填空题填空题1)函数函数4( )f xx 在区间在区间 1, 2 上满足上满足拉格朗日定理条件拉格朗日定理条件, 则中值则中值_ 1534高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期思考与练习思考与练习1. 填空题填空题2) 设设有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间3( )0fx (3,4)(1, 2),(2, 3),上上.( )(1)(2)(3)(4),f xxxxx方程方程高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期2. 设设在在(0,1)内可导内可导, 且且(1)0,f 证明至少存在一点证明至少存在一点( )f (0,1), 使使f(x)在在0,1上连续上连续, 2( )f 证证: 问题转化为证问题转化为证( )2 ( )0ff 设辅助函数设辅助函数2( )( )xx f x 显然显然( )x 在在 0 , 1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件(0,1)