最新数字信号处理信号的频率分析

1、 第第4 4章章 信号的频域分析信号的频域分析 n傅里叶变换和傅里叶级数是傅里叶变换和傅里叶级数是ltilti系统分析与设计中非常系统分析与设计中非常有用的工具。有用的工具。n信号的频域表示信号的频域表示: : 用正弦信号（或复指数信号）作为用正弦信号（或复指数信号）作为分量来分解分量来分解( (或表示或表示) )信号。信号。n对周期信号，这种分解称为傅里叶级数。对周期信号，这种分解称为傅里叶级数。n对有限能量信号，这种分解称为傅里叶变换。对有限能量信号，这种分解称为傅里叶变换。nltilti系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合时，输出信号在

2、形式上也是正弦信号的线性组合，差时，输出信号在形式上也是正弦信号的线性组合，差别仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同。别仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同。nltilti系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的。系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的。第第4 4章章 信号和系统的频率分析信号和系统的频率分析 n4.1 4.1 连续时间信号的频率分析连续时间信号的频率分析 n4.2 4.2 离散时间信号的频率分析离散时间信号的频率分析n4.3 4.3 频域和时域的信号特性频域和时域的信号特性 n4.4 4.4 离散时间信号傅里叶变换的性质离散时间信号傅里叶变换的性质n4.5 4.5 小结和参考文

3、献小结和参考文献4.1 4.1 连续时间信号的频率分析连续时间信号的频率分析n利用玻璃棱镜利用玻璃棱镜(a)(a)分析和分析和(b)(b)综合白光综合白光( (太阳光太阳光).1672).1672年年牛牛顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光仪产生连续色带。仪产生连续色带。 joseph ，在测量太阳和，在测量太阳和星体发射的光线时，发现星体发射的光线时，发现看到的光线的谱包含不同看到的光线的谱包含不同的色光。的色光。19世纪中叶发现，每种化学元世纪中叶发现，每种化学元素受热辐射出不同的色光。因素受热辐射出不同的色光。因此，可以通过化学元素的光

4、谱此，可以通过化学元素的光谱来辨识每种化学元素。来辨识每种化学元素。频率分析频率分析n从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。n信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。不同不同的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示.n频率分析的基本目的频率分析的基本目的: 给出一个分析任意给定信号给出一个分析任意给定信号的频率分量的数学和图形表示方式。的频率分量的数学和图形表示方式。n可以证明可

5、以证明: : 实际中大多数有意义的信号能分解为正实际中大多数有意义的信号能分解为正弦信号分量和的形式。弦信号分量和的形式。n用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频率或者频谱分析。率或者频谱分析。 n在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的过程称为谱估计。过程称为谱估计。 n可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱分析分析 ( (例如，语音、例如，语音、eegeeg、ecgecg等等) )。n用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为频谱

6、分析仪。频谱分析仪。n傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代替了棱镜作用。替了棱镜作用。 主要内容主要内容n1 1 连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数n2 2 周期信号的功率谱密度周期信号的功率谱密度n3 3 连续时间非周期信号的傅里叶变换连续时间非周期信号的傅里叶变换n4 4 非周期信号的能量谱密度非周期信号的能量谱密度1 1 连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数n实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形波、三角波，当然包括正弦波和复指数。波、三角波，当然包括正弦波和复指数

7、。n周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数，周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数，它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线性加权和。性加权和。 n复指数谐波线性组合复指数谐波线性组合 02( )kjkf tkx tc e这是一个周期信号，基本周期为 。 01/ptf02 0, 1, 2, jkf tek基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可由它构造出不同类型的周期信号。由它构造出不同类型的周期信号。 系数系数 的确定的确定:000000000000002222()2()2()0022()( )() ( )ppp

8、pttttjlf tjlf tjkf tkttkttjfk l tktkjfk l tttjfk l ttjkf tkkjf klx t edtec edtcedteedtx tc e0000000, , ppptttttttpttkldtttkl kc00000002221( ) 1( ) ( ) pppttjlf tlttjlf tltpjlf tpltptcxcx t edttx t edcttettdt1 1 连续时间周期信号的傅里叶级数连续时间周期信号的傅里叶级数n综合方程综合方程 n分析方程分析方程 n如果信号是周期的且满足如果信号是周期的且满足dirichlet条件，则它一定条件

9、，则它一定可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析方程确定。方程确定。ndirichletdirichlet条件条件 信号信号 在一个周期内不连续点的个数有限。在一个周期内不连续点的个数有限。 信号信号 在一个周期内最小点和最大点的个数有限。在一个周期内最小点和最大点的个数有限。 信号信号 在一个周期内绝对可积，即在一个周期内绝对可积，即 实际中，感兴趣的所有周期信号都满足这些条件。实际中，感兴趣的所有周期信号都满足这些条件。 02( )jkf tkkx tc e021( )pjkf tktpcx t edtt()ptxtd t ( )x t

10、( )x t( )x tn周期信号为实数周期信号为实数 n另一种形式展开式另一种形式展开式 n实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式。实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式。001( )2cos(2)kkkkjjkkkkkkkcccc ecc ex tcckf t和是复共轭000100000cos(2)cos 2cossin 2sin 2cos ( )(cos 2sin 2)2sinkkkkkkkkkkkkx taakf tbkf tkf tkf tkf tacacbc2 2 周期信号的功率谱密度周期信号的功率谱密度n平均功率n功率信号的parseval关系21( )xpptpx tdtt00

11、00*22*22*2222( )( )( ) ( )11( )1 ( )1 1()(ppxpkppppkpjkf tjkf tkkkkpptjkf tktkkkkjkf ttxtkx t xtttx tc ex tc epx tdtdttx tc etcdttdtx t ecpx tdtctn物理含义物理含义 n显然，显然， 代表了信号第代表了信号第 个谐波分量的功率。因个谐波分量的功率。因此，周期信号总的平均功率是所有谐波平均功率此，周期信号总的平均功率是所有谐波平均功率的和。的和。 n连续周期信号的功率谱密度图连续周期信号的功率谱密度图 022( )jkf tkxkx tc epc2kck

12、连续周期信号的功率谱密度图连续周期信号的功率谱密度图 : , kkjkkkkkkcc eccc 是复数复度谱相位谱22*222220011122kkkkxkkkkkccccpccaabn实周期信号实周期信号幅度谱是偶函数，幅度谱是偶函数，相位谱是奇函数。相位谱是奇函数。 例例 给出矩形脉冲序列的傅里叶级数和功率谱密度。给出矩形脉冲序列的傅里叶级数和功率谱密度。解解: :基本周期: pt/20/2/2/21( )1ppppttpttppx t dttaadtttc000022222220002001, 1, 2, 2sin2sin/jkf tkpjkf tjkfjkfpppcaedttaeaee

13、aktjkfkf tjtkfkfkf 当 时，固定脉冲宽度 ，而改变周期 ptpt222200,0sin 1, 2,pkpaktckfaktkf 矩形脉冲串信号的功率谱密度 3 3 连续时间非周期信号的傅里叶变换连续时间非周期信号的傅里叶变换n分析方程(正变换)n综合方程(逆变换)n傅里叶级数和傅里叶变换的本质区别在于后者的谱是连续的，因此，在从非周期信号的频谱合成非周期信号的过程中，用积分运算代替了求和运算。n傅里叶变换对可以用角频率变量 表示 2()( )jftx fx t edt2( )()jftx txf edf2 f 1( )()2()( )jtjtx txedxx t edt4 非

14、周期信号的能量谱密度非周期信号的能量谱密度 设信号 是具有傅里叶变换 的能量有限信号。能量定义:parseval定理:它是信号能量在时域和频域之间的守恒定理。能量密度谱: 谱一般是复值的，极坐标表示为:是被积函数，代表了信号能量随着频率变化的分布情况, 被称为信号 的能量密度谱。实信号的能量谱密度是偶对称的。 ( )x t( )x f*22*22( )( )( )() ()( )()( )jftxjftex t x t dtx t dtxf edfxf dfx t edtx fdfx tdt22( )()xex tdtx fdf()( )( )jfx fx f e2()()xxsfx f( )

15、x t例例4.1.2 确定矩形脉冲信号的傅里叶变换和能量谱密度。解解: 信号是非周期的并且满足dirichlet条件，因此它的傅 里叶变换存在。应用式（4.1.30），得到, /2( )0, /2atx tt/2/2sin( )j ftfx faedtaf 矩形脉冲信号的谱是按 周期性地重复脉冲所得周期信号的谱线(傅里叶系数)的包络， pt 0110( )( )/ ()ppppkpkktttxtcx fkfk tcx kfx的 就是 在处的取样：时域和频域之间的不确定性原理: 当信号在时域扩展(压缩)时，则在频域压缩(扩展)。4.2 离散时间信号的频率分析离散时间信号的频率分析 n1 离散时间

16、周期信号的傅里叶级数n2 周期信号的功率谱密度n3 离散时间非周期信号的傅里叶变换n4 傅里叶变换的收敛性n5 非周期信号的能量谱密度n6 傅里叶变换与z变换之间的关系n7 倒谱n8 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换n9 取样定理的回顾n10 信号的频域分类： 带宽的概念n11 一些自然信号的频率范围n12 物理和数学上的二重性1 1 离散时间周期信号的傅里叶级数离散时间周期信号的傅里叶级数周期序列 的周期为 ，对所有的 ，有它的傅里叶级数表示包含 个指数谐波函数 综合方程: 分析方程:综合方程通常被称为离散时间傅里叶级数(dtfs),傅里叶系数 给出了信号的频域分析。 ( )x n( )(

17、)x nx nnn12/0( )njknnkkx nc e12/10( )njknnknncx n e kc n n2210 0, 1, , 1( ) (1) jkn njkn nnkkkeknx nc ec并且可表示为： 其中是级数表达式中的系数。傅里叶系数的表示式傅里叶系数的表示式: 21110012n/1112n2 ()00012 ()0,1,0, 2,10,01: ( ),0, , 2, ( )0,jkn nnnnkaknajlnnnnjlnjk l n nknnknjk l n nnnanknnaeaennnx n ec enklnnx n e 其他在(1)式的两边乘以从到求和其12

18、 ln/01( ) 0, 1, , 1njnlnncx n eln他信号或者它的谱的任意信号或者它的谱的任意 个连续的取样提个连续的取样提供了信号在时域或者频域的完整描述。供了信号在时域或者频域的完整描述。2/12()/012/0( ), 2/( )() 1 ( )1 ( ),kjkn nkkkknjkn n nknnnjkn nknkjnnsneeknsnsnncx n enx n ecncn因此是周期为的周期信号基本周期为的一个周期序列n2/5160( )0, 1, , 5 jkn nknx nkcen例例4.2.1 确定下列信号( ) ( )cos2 (b) ( )cos/3( ) (

19、)4,( )1,1,0,0ax nnx nnc x nnx n是周期的周期信号 并且0021/2, ff解：（a）由，得到因 不是有理数，所以,信号是非周期的。因此，不能用傅立叶级数展开。但是，它确实有频谱。他的频谱仅仅包含022/2/2116222/2 (5 )/11023415222(5 6)/( )cos0, , jn njn nnjn njnnjn nx neeeeecccccc(c) 32/ 4n=00123/21112441144( )0, 1, 2, 3, , (1), 0, (1)=(1)jknj kkx nkceccjccje0123012321242444, , 0, 0,

20、 cccccccc 未定义 (b)和(c)中所讨论的周期信号的谱 2 周期信号的功率谱密度周期信号的功率谱密度 n周期为 的离散时间周期信号的平均功率:n离散时间周期信号的parseval关系n信号的平均功率是单个频率分量的功率之和。n序列 是功率作为频率的函数的分布,被称为周期信号的功率谱密度。n单个周期上的能量 n1201( )nxnnpx n111*2/000111122*2/000011( )( )( )()11 ( )( )nnnjkn nxknnnnnnnjkn nkkknknpx n xnx nc enncx n ecx nnn2 (0, 1, , 1)kckn112200( )

21、nnnknkex nnc例例4.2.2 确定周期方波信号的傅里叶级数的系数和功率谱密度。 解解: 2/2/112/2/110012/02/2/1111/( ), 0,1,1,0 (),1,2,1jkl njknnljkn njkn nknnnnljk nnannjkl nj kl nj kl nj kl njk nj k nj k nj k neaneeeeeeeeeal ncx n eaeknkekne2(1)/222(1)/sin(/)sin(/)/0,2,(/)sin(/) /sin(/)/0,2,/,sin(/)/sin(/),kj k lnkj k lnkl nk nal nknna

22、 nkl nknal nknna nceckl nkn其他其他3 离散时间非周期信号的傅里叶变换离散时间非周期信号的傅里叶变换 n综合方程 (逆变换)n分析方程 (正变换)n离散时间有限能量信号的傅里叶变换和有限能量模拟信号的傅里叶变换之间两个基本区别 #连续时间信号的傅里叶变换的频率范围是 。离散时间信号的频率范围在 或 上确定。 # #离散时间信号的傅里叶变换涉及到求和项,而不是连续时间信号情形中的积分。 212( )( )j nx nxed( )( )j nnxx n e (, )(, )(0, 2 )(2)2(2)( ) ( )( )( )jk nnj njknj nnnxkx n e

23、x n eex n ex4 傅里叶变换的收敛性傅里叶变换的收敛性 n如果信号 绝对可和， 肯定一致收敛。n放松一致收敛的条件,定义有限能量序列的傅里叶变换，强加均方收敛的条件,这样，存在傅里叶变换的信号中就可以包括有限能量的信号。( )x n( ) x( )( ) ( )limsup( )( )0 ( )( )( )( )nj nnnnnnj nnnnnxx n exxxxxx nn ex n 假定当时，一致收敛到，即，对于每一个 ，都有： 。22( )( ) ( )( ) ( ) lim( )( )000nnxnnnxxxxex nxxd 从而保证误差的能量接近于 ，但没有必要趋于 。一个有

24、限能量信号的例题一个有限能量信号的例题 12sin1212sin( )( ) ( ), 0 0, (0),0 ( ) ,00( ) ccccj nj ncccccccnnnnxxx nedednnxdnx nnnx n的逆变换可得：如果因此，可得：(2)有时候，在当时，/ 的条件下，(2)中的系列可表示为： ( )sin/ ( sin)/(0)ccx nnnnnnx (3)不是一个连续信号，lhospital准则不适用于确定强调：。( )21, ( ) 10,ccxx例：是一个以为周期的周期信号，它的一个周期为：（）(1)式和(2)式的变换对如何确定序列如何确定序列的傅里叶变换的傅里叶变换 s

25、insin( ) ( ) (4)( )/(2)( )( )j nj nnnxcnj nnnnccnnnnx nx n eex nexxe序列不是绝对可和的。于是，对所有的 ，不是一致收敛的。然而，的且为。所以，在均方意义下，(4)中的求和一定收敛到式中的。 有限项的和： 能量有限考虑sin( ) cnnx nn 的示意图在 处有一个明显的震荡尖峰，而且它与 的值无关。随着 增加，震荡变得更快，但波纹的大小相同。当 ，震荡收敛到不连续点 处，但它们的幅度不会趋近于0。然而， 在均方意义上收敛于 。 ( ) nx cnnn c( )x( )nx( )( )( )nxxx在不连续点处，逼近函数gi的

26、震bb荡性被称为s现象。连续时间周期信号的傅里叶级数被截断时，就可以看到类似的效果。5 非周期信号的能量谱密度非周期信号的能量谱密度 n离散时间信号的能量定义n用谱特征 来表示能量 具有有限能量的离散时间非周期信号的parseval关系。 n 的能量谱密度n假定 是实数2( )xnex n ( )x xe*222*12121122( )( )( )() ()( )()(jnnnjnnnxxex n xnx nxedxxex nn edxdxd ( )xxs( )x n2()( )( )( )( ) ()( )jxxxxxxxxesxss， ( )x n*( )()( )()( )xxxxxx

27、），例4.2.4 确定序列的傅里叶变换和能量谱密度。 1020(/2)(1)211sin(/2)sin(/2)sin(/2)sin(/2)sin(/2)sin(1) ( ) ( ) ,0 ( ), ( )j ljlnnxj nnjleellllx nal aea lxaeaaea lxaxa 解：其他(/2), 01( )0, anlx n其他15al和常数幅度脉冲和周期方波的傅里叶变换之间的关系 (1)/212/1sin(/)0sin(/)(/2)(1)() (1) sin (/)sin (/)sin(/2)sin(/2)/0,2,( )(1),( )20,1,1( )2() j k lnn

28、njkn nkl nknannk njlkjk ln kln klal nknncx n eexaekknxnxkaen其他在处，计算可得 122 () 0,1, (2),1kxkncknn比较式（ ）和式（ ），可得：6 傅里叶变换与傅里叶变换与z 变换之间的关系变换之间的关系 21( )( ) :nnx zx n zroc rzrjzre( )|( )jnj nnz rex zx n re( )|( )( )jj nnz rex zxx n e( ) (1)nnx n r sin( ) cnnx nn 1,( )0,ccx7 倒谱倒谱 n假定 是一个稳定序列，它的 变换为 ，定义 n.n在

29、语音信号处理中，(实)倒谱已用于从语音信号音调频率中分离以及估计语音信号的成份。n实际中，复倒谱可以分离卷积后的信号。分离两个卷积信号的过程称为反卷积，用复倒谱实现这个过程的方法称为同态反卷积。 ( )x n( )x z( )ln( )xczx zz倒谱倒谱 (b)在该收敛域内， 可以用laurent 级数表示为n如果 可以表示为幂级数,则 是稳定的。如果复倒谱存在，则在单位圆上收敛，可得：)(zcx112( )ln( )( )( )ln( )nnxxxcnjczx zc n zc nx z zdz，其中 )(zcx)(ncx() ( )ln( )( )( )ln( )1 ( )ln( )2(

30、 )( )ln( )ln( )( )1( )ln( )( )211( )ln( ) ( )22j nxxnxj nxjj nxj njmcxc n ec nxc nxedxxexxjc nxjedcnxedce 其中是从的逆傅里叶变换nd8 在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换在单位圆上有极点的信号的傅里叶变换 n如果单位圆在 的收敛域内，则序列 的傅里叶变换可以通过计算它的 变换在单位圆上的值得到。否则，傅里叶变换不存在。n有些非周期序列，既不是绝对可和，又不是平方可和，因而它们的傅里叶变换不存在。n延伸傅里叶变换的表示很有用。通过允许信号谱中出现冲激，就可以将傅里叶变换延伸到那些既不能绝对可

31、和也不能平方可和的序列。 ( )x z( )x nz9 取样定理的回顾取样定理的回顾 n.n如果模拟信号的谱能够从离散时间信号的谱中完全恢复，那么就没有损失信息。n通过寻找模拟信号的谱和离散时间信号的谱之间的关系来研究取样过程。n如果 是非周期且能量有限的信号 n从 取样得到离散时间信号 ( )() ax nxntn )(txa22( )( ) ( )( )jftjftaaaaxfx t edtx txf edf)(txa)(nx21 221 2( )( ) ( )( )1( )( )( )2j njfnnnj njfnxx n ex fx n ex nxedx f edf或周期性取样在离散时

32、间信号的频率变量 和模拟信号的频率变量 之间建立联系： 22/2/2(1 2)2/2/(1 2)11112222(2/(1 2)1( )( )( )( )() ()( ) () ( )ssssssssssssfjnf fjnf ffaffkfjnf fjnf faakfkssassaskjnf fakffxedfxf edfxf edfxf edfkfkfxfffxfkfxf edf在频率，内的与在频率(,)内的一致，故有：1 2)22/222/22()2() () (/)() ( )( )ssssssssssssasffjnf fasfksaskfjnafkf fkksjn f kffjnf

33、 fxfkf edfxfkfedfx f ffxfkfx ffxfk fee fsf/sff f例如，假定一个带限模拟信号的谱如图 (a)所示。当 时，谱为0。如果 ，则离散时间信号的谱 将如图(b)所示，清晰可见。 1/ 2,()/ 2.ssffff 此时 没有混叠离散时间信号的谱等于 比例因子内 在基本频率范围或内的模拟信号的谱2sfbbf )/(sffx2 , ()( ) 2ssassfffbxf xfff如果 则2sfb2sfb离散时间信号的谱包含了模拟信号谱的混叠频率分量，最终使得无法从取样中恢复出原始信号。 n当不存在混叠时 1( ), 2( )0, 2sssasfffxffx f

34、ff2222()()( ) ( )()sssjfn fxfjftaasfsffxfxx n extxf edf222222222()2sin(/)()(/)()11( )()( ) () ( )ssssssssffjfn fjftjftaasffkfjf t n ffnansstt nttt ntffx txf edfx n eedfx nxedfnt( )(), 1/1/2 (2 )assx nxnttfbfb其中 假定in(/)sin 2( )(/)2st tbtg tt tbt用取样信号重构原始模拟信号的内插公式 内插函数 n利用理想内插公式重构连续时间信号利用理想内插公式重构连续时间信

35、号 (1 )axt(2 )axt(4 )axt( )()aatktx txkt在计算得到的就是取样值在所有其他时刻，可以通过内插函数的时移形式的加权求和准确得到 。 ( )ax t取样定理取样定理 n最高频率(带宽)为 的连续时间带限信号，当取样率 时，可以从它的取样信号惟一恢复出原始信号。n根据取样定理和重构公式, 从取样恢复模拟信号需要无限个取样。n仅关心从有限个取样恢复有限时宽的信号。n如果取样率太低，则出现混叠，该效果可以用模拟信号的频率变量在频率轴上多重折叠来描述。 bhz2ssffb满足时域和频域函数之间的关系 假定模拟信号是带限的并且对其进行取样的取样率等于或者高于nyquist

36、率。 实际中，在取样之前都要做抗混叠预滤波 由混叠所引起的失真可通过提高取样率来有效地减轻 10 10 信号的频域分类：带宽的概念信号的频域分类：带宽的概念低频信号: 信号的功率(或能量)谱密度集中在零频率附近。 高频信号 :如果信号功率(能量)谱密度集中在高频。 中频信号(或带通信号):信号的功率（能量）谱密度集中在低频和高频之间很宽的范围内的某处。 n功率或能量集中分布的频率范围的定量表示被称为信号的带宽。例如，假定一个连续时间信号的功率(或能量谱密度)的 集中在频率范围 ，那么这个信号的 的带宽就是 。n对于带通信号，如果信号的带宽与中频相比很小，则信号就被称为窄带信号。反之，是宽带信号

37、。n如果一个信号的谱在 的频率范围之外都为0，那么它是带限信号。n.n没有一个信号既是时限的，同时又是带限的。进而，一个信号的时宽和频宽之间存在互为互易的关系。 95%12fff95%21fffb0: ( )0 : ( )0 2 (): ( )0 : ( )0 ()pppx ttxttttx nnnx nnnnn为基周期性时限信号周期性时限信本周时限信号期为基号时信号本周期限11 一些自然信号的频率范围一些自然信号的频率范围 n一般地，为了从观测信号提取信息，要对信号作频率分析。n为了测量参数或者提取其他类型的信息，在信号处理时，我们必须大致知道获取信号的频率范围。 12 物理和数学上的二重性

38、物理和数学上的二重性 n已经介绍过的频率分析工具有： n时域的两种特征时域的两种特征( (时间变量是连续还是离散以及时间变量是连续还是离散以及信号是周期还是非周期信号是周期还是非周期) )决定了信号频谱的类型决定了信号频谱的类型n连续信号具有非周期谱连续信号具有非周期谱n离散时间信号具有周期谱离散时间信号具有周期谱n周期信号具有离散谱周期信号具有离散谱n能量有限的非周期信号具有连续谱能量有限的非周期信号具有连续谱 n在一个域的具有周期为在一个域的具有周期为 的周期性自然地意味着在另一的周期性自然地意味着在另一个域中具有间隔为个域中具有间隔为 的离散性，反之亦然。的离散性，反之亦然。n. .n.

39、 . a1/a4.3 离散时间信号傅里叶变换的性质n1 1 傅里叶变换的对称性傅里叶变换的对称性n2 2 傅里叶变换定理和性质傅里叶变换定理和性质1 1 傅里叶变换的对称性傅里叶变换的对称性n变换(分析式)和逆变换(综合式)n对称性分析可以简化傅里叶变换和傅里叶逆变换公式.n 1212( ) ( )( )( )( )( )j nnj nxf x nx n ex nfxxed( )( )fx nx ( )( )( )( )( )( )ririx nxnjxnxxjxcossinjej22()( )cos( )sin()( )sin( )cos1( )()cos()sin21( )()sin()c

40、os2rrixirixrriirixxnnxnnxxnnxnnxnxnxn dxnxnxn d n实信号实信号 ( )( )cos( )( ) ( ) ( )0( )( )sinrnriinxx nnxnx nx nxnxx nn 如果是实信号()( )cos()cossin()si( )( )(n()()(rrriiixxxxnnnnxxjxx 谱具有hermitian对称性。 221( )( )( )( )( )tan( )riirxxxxxx( )() () ()( ) () xxxx 偶奇01( )( )cos( )sinrix nxnxn dn实偶信号实偶信号n实奇信号实奇信号 01

41、1( )( )cos( )( )( )0 ( )( )sin()( )( )( )cos () ( )sin ()( )(0)2( )cos ( )( )cos0 ( ) rrnriinrnixx nnx nx nx nxx nnxnx nx nnx nxnxxxnndxnnxx n 偶奇偶)如果是实偶信号实偶信号的谱是实偶函数 0( )0 ( )2( )sin1( )( )sinrinixxx nnx nxnd 实奇信号的谱是纯虚值的，而且是频率变量的奇函数。 n纯虚信号纯虚信号 0( )( )sin ( )0( )( )( )( )cos 1( )( )sin( )cosrinriiini

42、rixxnnxnx njxnxxnnxnxnxn d（奇）（偶）110( )2( )sin () ( )01( )( )sin () ( )riniiirxx nnxx nxn dxnx n 奇如果10( )0( )(0)2( )cos1( )( )cos () ( ) riiiiniiixxxx nnx nxn dxnx n如果*12*12 ( )( )( )( )() ( )(: )( )( )()eeeriooorix nxnjxnx nxnx nxnjxnx nxn定义( ):( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )rieoeorriieox nx nxnjxnxnx

43、nj xnxnx nxn则任一复值信号可分解为( )() ()( )eeoox nxnxnx n 傅里叶变换对称性总结傅里叶变换对称性总结 2221(1)(1)1coscos1 2 cos ( ) 1cos ( ) 12 cossin ( )12 cosrijjjaeaeaeajaaaxaxaaaxaa 解:1() 111(),(),()()jriixaaexxxx例4.3.1 的和221211( )( )( ) 12 cos( )( )tan( )sin tan1cosriirxxxaaxxxaa 2 傅里叶变换定理和性质傅里叶变换定理和性质 n线性性线性性n时移性时移性 n时域反转时域反转

44、n卷积定理卷积定理n相关定理相关定理 nwiener-khintchine定理定理n频移性频移性n调制定理调制定理nparseval定理定理n两个序列的乘积两个序列的乘积(加窗定理加窗定理)n周期卷积n频域微分频域微分线性性线性性n傅里叶变换是对信号的一种运算，它是一个线傅里叶变换是对信号的一种运算，它是一个线性变换性变换. .n若若则有则有1 1221122( )( )( )( )fa x na x na xa x 1122( )( ) ( )( )ffx nxx nx 时移性时移性n若若则有则有()( )fj kx nkex ( )( )fx nx 时域反转时域反转n若若则有则有( )(

45、)fx nx ()()fxnx 卷积定理卷积定理n若若则有则有1212( )( )( )( )( )( )fx nx nx nxxx 1122( )( ) ( )( )ffx nxx nx 例例4.3.2 确定信号的傅里叶变换。 1 ()( )( )sin(1/2)( )( )(1cos)sin(2)( )sin(1/2)( ) sin(2)0,( )0( ),( )0mrnxnx nx nmxxanaxmxaxxx解：因，所以，是实偶信号，可得：因是实函数，所以，幅度谱和相位谱分别为：当时当时,( )0,amnmx n其他124.3.4 ( )( )1, 1, 1 x nx n例求 的卷积1122122()(0)2( )cos ()0()()12cos()()()(12cos) 34cos2cos2 32()()rinjjjjxxx nnxxxxxxeeee解12( )( )*( )1, 2, 3, 2, 1x nx nx n卷积性质的图形解释卷积性质的图形解释 相关定理相关定理 若若则有则有1 21 212122112( )( ) ( )() ( )() ( )( )( k nj nnj nnkj nknknjxkxjx xsrx kn en ex k x kn ex kx knxexexk 12)kj k