最新材料力学弯曲强度

1、第五章第五章 弯曲强度弯曲强度5.1 5.1 纯弯曲及其变形纯弯曲及其变形5.2 5.2 纯弯曲时梁截面上的正应力纯弯曲时梁截面上的正应力5.3 5.3 横力弯曲时梁截面上的正应力横力弯曲时梁截面上的正应力弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件5.4 5.4 横力弯曲时梁截面上的切应力横力弯曲时梁截面上的切应力弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件5.5 5.5 纯弯曲理论对某些问题的扩充纯弯曲理论对某些问题的扩充5.65.6弯曲中心弯曲中心5.7 5.7 提高梁弯曲强度的主要措施提高梁弯曲强度的主要措施l 如何设计车轮轴的横截面如何设计车轮轴的横截面?l 如何计算火车车轮轴内的应力如何计算火车车

2、轮轴内的应力?l 如何简化出火车车轮轴的计算模型如何简化出火车车轮轴的计算模型?纯弯曲时的正应力：概述f ff f 5.1 纯弯曲及其变形纯弯曲及其变形概念概念:mefqfq 0mm=me=cmefq=0m= c纯弯曲纯弯曲(c为常数为常数)fq 0m ccffaafqfffam横力弯曲横力弯曲首先研究纯弯曲时横截面首先研究纯弯曲时横截面上的应力问题已知是横上的应力问题已知是横截面上的正应力组成了截面上的正应力组成了m，但如何分布，大小都是未但如何分布，大小都是未知，所以求解应力的问题知，所以求解应力的问题 属静不定问题属静不定问题中性层曲率中性层曲率-1/-1/ 中性轴中性轴-中性层与横截面

3、的交线中性层与横截面的交线(z)(z)横向线横向线-直线直线-斜直线斜直线-夹角夹角d d 纵向线纵向线-直线直线-弯曲弯曲缩短缩短伸长伸长画线观察画线观察一、实验观察一、实验观察( ( =0) =0)zy mmd二二、推理假设、推理假设表面表面 里边里边1.平面假设平面假设-变形前为平面的横截面变形后变形前为平面的横截面变形后仍为平面仍为平面,且垂直于变形后的轴线且垂直于变形后的轴线 =0 =0 =0 2.纵向纤维互不挤压纵向纤维互不挤压(纵向纤维间无纵向纤维间无 )对于均质对于均质, ,连续的等截面直梁在纯弯连续的等截面直梁在纯弯结结 论论: :时时, ,横截面上只产生正应力横截面上只产生

4、正应力 .(与与横截横截面的形状面的形状无关无关) )。5.2纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力、变形几何关系（应变变形几何关系（应变- -位移）位移）dydx凹边变弯缩短凹边变弯缩短中性层上变弯中性层上变弯凸边变弯伸长凸边变弯伸长 （- -）无无 （+ +）ydddydxdx)()( 只要平面假设成立只要平面假设成立, ,则纵向纤维的线应变与则纵向纤维的线应变与 它到中性轴的距离成正比它到中性轴的距离成正比, ,沿沿y y轴线性分布。轴线性分布。设设 p p e et t=e=ec c=e=e cyyee. .物理关系物理关系( ( ) )横截面上横截面上 沿沿y y轴线性

5、分布轴线性分布, ,中性轴上中性轴上 =0.=0.e et t为材料拉伸弹性模量为材料拉伸弹性模量, ,e ec c为压缩弹性模量为压缩弹性模量. . 三三 静力关系静力关系e sz=0e y ada=0fn= a da =0中性轴过形心中性轴过形心e y a z da=0e iyz=0my= az da=0 y,z为形心主轴为形心主轴ye xzydaczeim1 zei 为抗弯刚度为抗弯刚度ziym mz= ay da=me a y2da= mye xzydac几几 点点 讨讨 论论：1.m必须作用在与形心主惯性平面相必须作用在与形心主惯性平面相重合或平行的平面重合或平行的平面2.必须是平面

6、弯曲必须是平面弯曲;3.横截面可为任何实体横截面可为任何实体,空心空心(非薄壁非薄壁)面面; 4.若若et ec ,要分别导出公式要分别导出公式;5.平面弯曲平面弯曲,单一材料单一材料,p ,则中性轴一则中性轴一定过形心。定过形心。 公式公式 的适用条件的适用条件: ziym 1.平面弯曲平面弯曲2.纯弯曲纯弯曲3. p , et=ec4. 等截面直梁等截面直梁5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件、横力弯曲横力弯曲ffq m 有有 横截面翘曲横截面翘曲平面假设不成立平面假设不成立当当fq=c各各横截面翘曲相同，因横截面翘曲相同，

7、因横截横截面翘曲不会面翘曲不会引起附加线应变和正应力。引起附加线应变和正应力。 用公式用公式ziym 计算仍是完全正确的，计算仍是完全正确的，q当当fq c各横截面各横截面翘曲不相同翘曲不相同理论分析与实验表明理论分析与实验表明当当 l/h 4用公式用公式zimy 计算计算,其影响小于其影响小于1.7工程上完全是允许工程上完全是允许将将纯弯曲纯弯曲等截面等截面直梁直梁条件放松条件放松公式推广公式推广横力弯曲横力弯曲变截面梁变截面梁折梁折梁曲梁曲梁zziymziyxm)( 1.塑性材料塑性材料 .弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件当梁为变截面梁时当梁为变截面梁时, max 并不一定发生并不一定

8、发生在在| m |max 所在面上所在面上.注意注意:ziymmaxmaxmax zwmmaxmax令令iz /ymax=wz wz 抗弯截面系数抗弯截面系数2.脆性材料脆性材料 因为因为: t b)1.假设假设 的分布的分布: fq/且方向同且方向同fq 沿沿b b均布均布 fx2h2hyfqzb 2.的大小的大小mmmnnm+dm r p dxxfn2fn1= 取出取出dx段段fn2fn1 有有 fn2-fn1=dx b 0fxfxdx切切dx段段 a* y1da= sz*fn2= a*da=m+dmizsz* = a*fn1= a*dadaizmy1=miz a*y1da=mizsz*

9、sz*因此因此=iz bdmdxfq sz*iz b= fn2-fn1=dx b a*2h2hbyfqy1ydaz 沿沿y轴抛物线分布轴抛物线分布a*2h2hbyfqy1y1dyz 当y = 0 时时 2 b h3fqmax =1.5平均平均 =max 对某一截面而言对某一截面而言,随随sz*变变)2)(2(21yhyhbdaysaz )y4h(i2f22zq .工字形截面工字形截面max fq sz*iz b=翼缘翼缘腹板腹板thhdbh hzyya*fq腹腹maxfqa腹腹maxmin .圆形截面圆形截面弹性力学结论弹性力学结论: max=1.38平平maxdyzfq = max=fqsz

10、* izb4fq3a =1.33平平.闭口薄壁截面闭口薄壁截面zyyzmax与周边相切沿壁厚均匀分布与周边相切沿壁厚均匀分布,形成切应力流形成切应力流. fqfqmax.需要对切应力进行强度校核的情况需要对切应力进行强度校核的情况 短梁和集中力靠近支座短梁和集中力靠近支座 木梁木梁 焊焊,铆或胶合而成的梁铆或胶合而成的梁 薄壁截面梁薄壁截面梁 .弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件 max对于等直梁对于等直梁bisfz*maxzmaxqmax 解解:作作fq m图图fzhlb33max= =2fqa2fbhfqxfmfl 例例5.4 已知已知f b h l求求maxmax =max= mmax

11、wz6plbh2故故 =4maxmaxlhf 例例.5.5:两个相同材两个相同材料的矩形截面叠梁料的矩形截面叠梁.设设两梁间无摩檫两梁间无摩檫,求求maxmmax=fl2max= = mmaxwz12flbh2解解:每梁的变形相同每梁的变形相同所受外力所受外力 均为均为 任一梁的端处任一梁的端处f2h/2blfh/2max在自由端有一直径在自由端有一直径为为d的螺栓的螺栓,求求max及及螺栓截面的螺栓截面的fq1lfdmax max=mmaxwz6flbh2=解解:两梁作为一整体两梁作为一整体mmax =fl故故据切应力互等定理据切应力互等定理,中性层面有均匀分布的中性层面有均匀分布的max

12、求剪力求剪力fq 1 在中性轴处有垂直中性轴在中性轴处有垂直中性轴bhfafq2323max lfdhflblfq23max1 其合力与其合力与fq1平衡平衡,即即5.5 纯弯理论对某些问题的扩充纯弯理论对某些问题的扩充 扩充到横力弯曲问题扩充到横力弯曲问题 由弹性力学的精确分析表明由弹性力学的精确分析表明 当当 4 时其影响小于时其影响小于1.7% 因而此时也可用公式因而此时也可用公式 = 计算横力弯曲计算横力弯曲izm ylhe1ybh1h212zya1=e112=e2212 组合梁的弯曲正应力组合梁的弯曲正应力e1ye2y和和 =1mze1i1+ e2i2 可得可得:x1= x2 =mz

13、e1ye1i1+ e2i2mze2ye1i1+ e2i25.6 弯曲中心弯曲中心一一.什么叫弯曲中心什么叫弯曲中心 截面上切应力合力的作用点叫弯心截面上切应力合力的作用点叫弯心,也称也称 剪心剪心注意注意 弯心只与截面的形状和尺寸有关弯心只与截面的形状和尺寸有关,是是一个几何点一个几何点,是截面的几何性质是截面的几何性质.二二.只弯不扭的条件只弯不扭的条件 当横向力当横向力f通过弯心时通过弯心时,则梁只弯而不扭则梁只弯而不扭,弯弯心也称为扭心心也称为扭心.三三. 产生平面弯曲的条件产生平面弯曲的条件 充分条件充分条件:梁截面有纵向对称轴梁截面有纵向对称轴,梁有纵向梁有纵向对称面对称面,所有载荷

14、包括支反力都作用在纵向对所有载荷包括支反力都作用在纵向对称面内称面内,则梁一定产生平面弯曲则梁一定产生平面弯曲. 必要条件必要条件:横向力过弯心且平行主形心惯横向力过弯心且平行主形心惯性轴性轴.有一个对称轴有一个对称轴,则一则一定在对称轴上定在对称轴上;有几支组成有几支组成,则在支则在支的交点上的交点上.四四.常见截面弯心的大致位置常见截面弯心的大致位置有两个对称轴有两个对称轴,形心即是形心即是. 5.7 提高弯曲强度的主要措施提高弯曲强度的主要措施 弯曲强度主要取决于弯曲强度主要取决于max 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况 合理设计和布置支座合理设计和布置支座lqxmql2/2(a

15、) max= mmaxwz mmax= ql2 =0.5ql212。 。lq (b)mxql2/8。l。q0.2l0.2lmxql2/40mmax= =0.125ql2ql28mmax= =0.025ql2ql240 将集中载荷适当分散将集中载荷适当分散。 。 。fl/4 l/4l/4l/4m+xfl/4（a）mxfl/8（b）。 。f。 。 。l/2l/2。 。集中载荷尽量靠近支座集中载荷尽量靠近支座合理的截面设计合理的截面设计 塑性材料塑性材料 t= c，应尽量制成对称，应尽量制成对称截面，使面积分布远离中性轴截面，使面积分布远离中性轴 fl2l2x7lf64f8lmxfl4合理的截面形状合理的截面形状合理的截面形状合理的截面形状脆性材料脆性材料t c尽量制成截面对中性轴不对称尽量制成截面对中性轴不对称注意：注意：放置时使大头（靠近中性轴）受拉放置时使大头（靠近中性轴）受拉yc yt c maxzt maxyyiymiymct21z2maxz1maxmax