二次函数的图像和性质第一课时

1、0 xy雷河中学雷河中学 杨成萍(1)一次函数的解析式是关于自变量的一次函数的解析式是关于自变量的_， 图象是一条图象是一条_，(2)反比例函数的反比例函数的解析式是关于自变量的解析式是关于自变量的_，图象是，图象是_，直线直线双曲线双曲线(4) 通常画一个函数的图象分几步？通常画一个函数的图象分几步？列表、描点、连线列表、描点、连线（5） 二次函数的的解析式是关于自变量的二次函数的的解析式是关于自变量的 _，它的图象又是什么形它的图象又是什么形 状呢？状呢？ 结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法我们现在从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论

2、法我们现在从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质一般二次函数的图象和性质一次整式一次整式分式分式(3)我们从哪些方面研究了它们的图像的性质？我们从哪些方面研究了它们的图像的性质？主要从分布的象限、增减性主要从分布的象限、增减性二次整式二次整式1. 列表：在列表：在y = x2 中自变量中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：可以是任意实数，列表表示几组对应值：x3210123y = x22. 根据表中根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（的数值在坐标平面中描点（x,y）画最简单的二次函数画最简单的二次函数 y = x2 的图象的图象3336901491493. 如图

3、，再用平滑曲线顺次连接如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到各点，就得到y = x2 的图象的图象结合表格中的数值以及函数的图像，你认结合表格中的数值以及函数的图像，你认为它的图像有哪些性质为它的图像有哪些性质 二次函数二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线抛物线 y = x2 ，二次函数二次函数y = x 2 的图象是的图象是轴轴对称图形，对称图形，一般地，二次函数一般地，二次函数 y = ax2 + bx +

4、c（a0）的图象叫做的图象叫做抛物线抛物线y = ax2 + bx + c1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5抛抛物线物线 与它的对称轴的交点与它的对称轴的交点（0 0，0 0）叫做抛物线）叫做抛物线 的顶点的顶点它是抛物线它是抛物线 的的最低点最低点2xy2xy 2xy 实际上实际上, , 二次函数的图象都是二次函数的图象都是抛物线抛物线，对称轴对称轴是是y y轴轴2xy 这条抛物线是轴对称这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，图形吗？如果是，对称轴是什么？对称轴是什么？抛物线与对称轴抛物线与对称轴有交点吗？有交点吗？2xy当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)

5、时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.x x -4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1. 1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= = x2 2和和y=2=2x2 2的图象的图象解解: (1) :

6、(1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.51 12 22yx212yx22yxxy=2xy=2x2 28-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.581 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 函数函数y= = x2 2, , y=2=2x2 2的图的图象象与函数与函数y=x2 2( (图中虚线图形图中虚线图形) )的图的图象象相比相比, ,有什么共同点和有什么

7、共同点和不同点不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口都向上开口都向上; ;顶点是原点而且是顶点是原点而且是抛物线抛物线的最低点，对称轴是的最低点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;2yx212yx22yx| |a| |越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而减小。减小。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。抛物线的开口越小抛物线的开口越小。探究探究 画出函数画出函数 的图象的图象2222,21,xyxyxyx1y解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点

8、(3) (3) 连线连线x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=x x2 2y=y=x x2 2y=y=2x2x2 21 12 2-2.25-0.25-0.25-2.25-2-2-.-.-.-.- -. .- -. .- -. .-.-4. 5-4. 5-1-2-30123-1-2-3-4-52xy221xy 22xy x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5 函数函数y= x2 2, ,y=2 2x2 2的图象与函数的图象与函数y=x2 2的图象相比的图象相比, ,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?1 12

9、 2共同点共同点: : 开口都向下开口都向下; ;不同点不同点: :顶点是原点而且是顶点是原点而且是抛物线抛物线的最高点，对称轴是的最高点，对称轴是 y y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;|a|a| 越大，越大，221xy 2xy22xy 在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而减小而减小。抛物线的开口越小抛物线的开口越小对比抛物线，对比抛物线，y=x2和和y=x2.它它们关于们关于x轴对称吗？轴对称吗？一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2和和y=ax2呢？呢？在同一坐标系内在同一坐标

10、系内,抛物线抛物线 与与抛物线抛物线 是关于是关于x轴对称的轴对称的.2axy 2axy 2xy2xy22xy232xy1 1、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称

11、轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0，点，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、 241xy y1、 y2、y3的大小关是的大小关是 。(m+3，y3)在抛物线在抛物线 上，则上，则22、若抛物线、若抛物线 的开口的开口向下，求向下，求n的值。的值。nnxny2) 1( 3、已知二次函数、已知二次函数 的图形经的图形经过点过点(-2，-3)。(1)求求a的值，并写出函数解析式；的值，并写出函数解析式；(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、说出函数图

12、象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置；开口方向和图象的位置；2axy 1、二次函数y=ax2的图象是什么？的图象是什么？2、二次函数y=ax2的图象有何性质？的图象有何性质？3、抛物线y=ax2 与与y=- -ax2有何关系？有何关系？小结y=ax2 (a0)a0a0图图象象开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值xyoyxo向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。当当x0 x0时，时，y y随着随着x x的增大而的增大而增大增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。抛物线的开口就

13、越小抛物线的开口就越小. |a|越小越小, 抛物线的开口就越大抛物线的开口就越大.函数函数yax2和函数和函数yaxa的图象在同的图象在同一坐标系中大致是图中（一坐标系中大致是图中（ ）5、已知抛物线、已知抛物线y=ax2经过点经过点a（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点b（-1，- 4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a= -2,所求函数解析式为所求函数解析