等差数列前N项和的性质及其应用

1、肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案授课教师：吴晗班级：高一（11）时间：3月31号下午第一节课课题：等差数列前n项和的性质及其应用 教学目标：（1）进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n项和公式研究Sn的最值。（2）经历公式应用过程。（3）通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又 服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并用 数学方法解决问题。教学重点：熟练掌握等差数列求和公式。教学难点：灵活应用求和公式解决问题。 教学方法：启发探究学法指导：自主学习教学用具

2、：粉笔、黑板、PPT教学过程：一、复习回顾（1）等差数列的定义、通项公式、性质；（2）等差数列前n项和公式及其推导。二、新课讲解探究一：等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次方程，Sn二na1 n（n=dn2 （ad）n，反过来如果一个数列的前n项和是关于n2 2 2的一元二次方程，那么这个数列一定是等差数列吗？例1、如果一个数列Pn 的前n项和为Sn =n2- n，求这个数列的通项公式，2这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？解：当 n_2时，an =Sn'Sn4 = n? n - （n ） ' （n-'1） =2n2 2 23当 n =

3、 1时，a1 = S1 =2也满足上式。所以数列& 的通项公式为an =2n-丄2由此可见，数列& 1是一个首项为3，公差为2的等差数列2课堂练习11、如果一个数列:an!的前n项和为Sn = n2 n T ,求这个数列的通项公式，2这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 课本第45页的探究等差数列前n项和的性质一：数列；an 1是等差数列二Sn =An2 Bn,公差为-2探究二：既然等差数列的前n项和Sn是关于n的一元二次方程，那么它的最值怎么求呢？例2:已知等差数列5,3,1的前n项和为Sn，求使Sn最大的序号n的值？解1:由已知条件知，该等差数列首项

4、 印=5,公差d=-2Sn =5n n(n 1)(-2H _n2 6n 二-(n - 3)2 92.使Sn最大的序号n的值为3.解 2:由已知条件知，an =5-2( n-1) =_2n 7© 1宀一2 n，5由 "解得n兰7an+ <022.n =3等差数列前n项和的性质二：'a >0不等式法求Sn的最值：若a1 >0,d £0且丿n ，则Sn有最大值，若 耳出兰0an乞0a1 <0,d >0且，则Sn有最小值。©n卅启0也可以用二次函数的图像求最值，但要注意 nN*.例3：已知数列d ?是等差数列，Sn是其前n项

5、和，求证：S6, $2 - S6 ,(S,8 - S12) 也成等差数列。解：设等差数列首项为a1，公差为d，则有：=6a1 15d,S12=12a1 66d,S118a1 153dS12 一 & = 6a1 57d, S18 一 S12 = 6 87d(S12 - S6)- S6 = 36d ,(S18 -S12)i(S12 -S6)= 36dS6, S12 - Se ,(08 - S2)是等差数列，公差为36d等差数列前n项和的性质三：若果数列an 为等差数列，则Sk,S2k -S2k,也成等差数列，公差为k2d 课堂练习：2、已知是等差数列：(1 )a!*2*3=5,印飞5兎=1

6、0,则，a7a8a?口(2)Sn =25,S2n =100,则 S3n 二。3、等差数列af的前n项和为Sn，公差d =2，若S4 =1，求a17 a - a® - a?。例4:有一等差数列共有2n(nN*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30,若最后一项和第一项之差为10.5,求此数列的首项、公差和项数。解：由题意知：丿S偶 奇d =6解得：n = 4,d=1.5g2n -a =(2n -1)d =10.5333又；a1 a3 ' a5 ' a7 = 4a1 12d = 24, a-.首项为一，公差为一，项数为 8222等差数列前n项和的性质四：若等差数列

7、:共有2n项，则S偶 -S奇二nd,鱼二电，S偶an卅若等差数列共有2n -1项，则S奇 - S偶二a中，-S偶n-1课堂练习：4、若等差数列、an 的前n项和为Sn，公差d = 2，求(1)(a1 a3 a5 a? a?) -(a? *4 a§ a$ aQ a1 a? a5 a? a? a： + a4 + a6 + a$三、课堂小结等差数列前n项和的性质:等差数列前n项和的性质一：数列an!是等差数列u Sn = An2 + Bn,公差为A2等差数列前n项和的性质二：a A 0不等式法求 Sn的最值：若q 0, d £0且，gn十兰0an兰0则Sn有最大值，若印c0,d >0且丿，则Sn有最小值阳兰0等差数列前n项和的性质三：若果数列9为等差数列，则Sk,S2k -Sk,S3k -S2k,也成等差数列，公差为k2d等差数列前n项和的性质四：若等差数列共有2n项，则S偶-S奇二n d,奇