16全概率公式与贝叶斯公式图文

1、11.6 1.6 全概率公式与全概率公式与 在前面学习中，我们知道概率的加法公式和在前面学习中，我们知道概率的加法公式和乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节我们学习另外两个概率公式我们学习另外两个概率公式全概率公式和贝全概率公式和贝叶斯公式它们与之前的两个公式一起构成概率叶斯公式它们与之前的两个公式一起构成概率计算问题的四大公式计算问题的四大公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 2一、全概率公式一、全概率公式 1( )().niiip bp a p b a ba1a2a3a

2、4a6a7a5a812,naaa定理定理1.7 1.7 若若 构成一个完备事件构成一个完备事件则对于任何事件则对于任何事件 0,1,2,ip ain 组，且组，且 b b，有，有 311nniiiibbbaa b 证证 分配律分配律 1( )niip bpab 有限可加性有限可加性 1()niip ab 1().niiip a p b a 乘法公式乘法公式 41a2a an nb 原因事件原因事件 结果事件结果事件全概率公式全概率公式解决由因索解决由因索果果问题问题 每个原因都可能导致每个原因都可能导致b b发生，故发生，故b b发生的概率发生的概率是各原因引起是各原因引起b b发生的概率的总

3、和，发生的概率的总和，“全概率公式全概率公式”之之“全全”取为此意取为此意. .5 an n教教师师教教学学水水平平高高2a学学习习环环境境良良好好1a自自身身努努力力 1( )(.)niiip bp a p b a 学生成学生成绩好绩好 b b 原原因因6例例1.221.22 一批产品共一批产品共8 8件，其中正品件，其中正品6 6件，次件，次品品2 2件现不放回地从中取产品两次，每次一件，件现不放回地从中取产品两次，每次一件，求第二次取得正品的概率求第二次取得正品的概率 结于求结于求 2.p a是是2a发 生 的 两 个 不 同 的发 生 的 两 个 不 同 的 “ 原原因因”1a1a与与

4、构成一个完备事件组，即构成一个完备事件组，即 1a1a与与解解 记记 ,1,2,iaii 第第 次次取取得得正正品品问题归问题归由全概率公式，所求概率由全概率公式，所求概率 7 2121121p ap ap a ap ap a a 65263.87874 我们把我们把例例1.221.22稍稍作一些改动，可获得一稍稍作一些改动，可获得一个有趣的结果个有趣的结果例例1.231.23 一批产品共一批产品共8 8件，其中正品件，其中正品6 6件，件，次品次品2 2件现不放回地从中取产品三次，每次件现不放回地从中取产品三次，每次一件，求第三次取得正品的概率一件，求第三次取得正品的概率 解解 记记 ,1,

5、2,3,iaii 第第 次次取取得得正正品品8由全概率公式，所求概率由全概率公式，所求概率 31231212312p ap a ap a a ap a ap a a a 1231212312p a ap a a ap a ap a a a 3.p a问题归结于求问题归结于求 12,a a12a a与与12,a a12,a a12,a a构成一个完备事件组，即构成一个完备事件组，即 12a a是是3a发 生 的 四 个 不 同 的发 生 的 四 个 不 同 的 “ 原原因因”12a a与与12a a9 121312p ap a ap a a a 6546252652163.87687687687

6、64 121312p ap a ap a a a 121312p ap a ap a a a 121312p ap a ap a a a 10从件数一定的正品和次品组成一批产品从件数一定的正品和次品组成一批产品中，中，作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！若把抽到正品视为中奖，则上面的结论简单若把抽到正品视为中奖，则上面的结论简单叙述为：叙述为：中奖的概率与摸奖的顺序无关！中奖的概率与摸奖的顺序无关！ 小结小结例例1.221.22和和例例1.231.23的结果：的结果： 1233.4p ap ap a 11例例1.241.24 某工厂有四个车间生产同一种计

7、某工厂有四个车间生产同一种计算机算机配件，四个车间的产量分别占总产量的配件，四个车间的产量分别占总产量的15%15%、20%20%、 30%30%和和35%35%，已知这四个车间的次，已知这四个车间的次品率依次为品率依次为0.040.04、0.030.03、0.020.02及及0.010.01现在现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？品的概率是多少？ 2 2，3 3，4 4，b=b=抽到次品抽到次品 41( )()iiip bp a p b a 0.200.030.300.020.350.01 =2.15%=2.15%0.150.0

8、4 解解 令令 ,1,iaii 抽抽到到第第 个个车车间间的的产产品品由全概率公式由全概率公式12二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式 1,1,2,.()iiinjjjp ap b ap a binp a p b a 证证 由条件概率的定义、乘法公式及全概率由条件概率的定义、乘法公式及全概率定理定理1.1.若若 naaa12,构成一个完备事构成一个完备事 ip ain 0,1,2, ,则对于任何事则对于任何事组，且组，且 件，有件，有 13 贝叶斯公式是在贝叶斯公式是在“结果结果”已经发生条已经发生条件下，寻找各件下，寻找各“原因原因”发生的条件概率发生的条件概率可以说，可以说，贝叶斯公式贝叶斯公式解

9、决的是解决的是追根溯源问题追根溯源问题 1.()iiiinjjjp ap b ap a bp a bp bp a p b a 公式，公式，14 例如，某生例如，某生“学习成绩好学习成绩好”这个结果发生这个结果发生了，我了，我们可以探讨是由于们可以探讨是由于“学习环境良好学习环境良好”促促成的概率有多大成的概率有多大贝叶斯公式贝叶斯公式可以帮助人们确定结果（事可以帮助人们确定结果（事件件 b b）发生的主要原因）发生的主要原因15根据以往经验确定的一种主观概率，而根据以往经验确定的一种主观概率，而后者后者也可以说，也可以说，贝叶斯公贝叶斯公式是利用先式是利用先验概率去求后验概率验概率去求后验概率

10、ia概率概率，“结果结果” b b发生的条件下各发生的条件下各“原因原因”的概率的概率 ip a b为为后验概率后验概率，前者往往是，前者往往是通常称各通常称各“原因原因”的概率的概率 ip a为为先验先验是在结果是在结果b b发生之后对原因发生之后对原因ia的重新认识的重新认识16例例1.251.25 ( (续例续例1.24) 1.24) 若该厂规定，一旦发若该厂规定，一旦发现现了次品就要追究有关车间的经济责任现在了次品就要追究有关车间的经济责任现在从该厂生产的产品中任取一件，结果为次品，从该厂生产的产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪个车间生产的标志已经脱落，但该件产品是哪个车间生产

11、的标志已经脱落，问厂方如何处理这件次品比较合理问厂方如何处理这件次品比较合理? ? 具体地讲，具体地讲，各个车间应承担多大的经济责任各个车间应承担多大的经济责任? ? 解解 从概率的角度考虑可以按从概率的角度考虑可以按 ip a b的大的大个车间的经济责任个车间的经济责任 1,2,3,4i i 小来追究第小来追究第在前面的计算已经求得在前面的计算已经求得 41()0.0215.jjjp a p b a 17于是，由贝叶斯公式可得于是，由贝叶斯公式可得 111410.15 0.040.2791.0.0215()jjjp ap b ap a bp a p b a 同理可得，同理可得， 20.279

12、1,p a b 30.2791,p a b 40.1628.p a b 18由此可知，各个车间依次应承担由此可知，各个车间依次应承担27.91%27.91%、27.91%27.91%、27.91%27.91%和和16.28%16.28%的经济责任的经济责任. . 这样处理是使人信服的，比如说虽然第四个这样处理是使人信服的，比如说虽然第四个车间的产量占总产量的车间的产量占总产量的35%35%，但是它的次品率是，但是它的次品率是最低的，它生产的次品只占总次品的最低的，它生产的次品只占总次品的16.28%.16.28%.在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶斯公

13、式来解决一个较复杂的问题斯公式来解决一个较复杂的问题. .19例例1.261.26 设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各1010名、名、1515名名和和2525名考生的报名表，其中女生的报名表分别为名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 3份、份、7 7份和份和5 5份随机地取一个地区的报名表，份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份从中先后抽出两份 (1) (1) 求先抽到的一份是女生表的概率；求先抽到的一份是女生表的概率； （2 2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率一份是女生表的概率201231()()(),3p ap

14、ap a 113,10p b a 1b ,1,2,3,iaii 任任取取的的报报名名表表是是第第 区区考考生生的的 ,1,2,jbjj 第第 次次抽抽到到的的报报名名表表是是男男生生表表由题设可得由题设可得(1) (1) 问题归结于求问题归结于求 1.p b解解 设设21 135.25p b a 的所有的不同的原因的所有的不同的原因1b123,aaa构成一个完备事件组，是构成一个完备事件组，是 发生发生1b根据全概率公式，有根据全概率公式，有 311129.90iiip bp ap b a 127,15p b a 22 12121221212. (1.7)p b bp b bp b bp bp b bp b b 121377,10930p b b a (2)(2)问题归结为求问题归结为求 12.p b b由条件概率的由条件概率的定义可得定义可得 12.p b b下面我们先求下面我们先求由条件概率的本来由条件概率的本来含义得到含义得到23 1235205.252430p b b a 根据全概率公式根据全概率公式 17852.3 3030309 312121iiip b bp ap b b a 122788,151430p b b a 24 1217614,10930p b b a 122878