高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案 新人教A版必修4

1、2.3.4平面向量共线的坐标表示学习目标：1.理解用坐标表示两向量共线的条件(难点)2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定(易混点)自 主 预 习·探 新 知平面向量共线的坐标表示(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a，b共线，当且仅当存在实数，使ab.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b(b0)共线基础自测1思考辨析(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线()(2)向量(2,3)与向量(4，6)反向()(3)若a(x1，y1)，b(x

2、2，y2)且b0，则.()解析(1)正确因为(4,8)4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线(2)正确因为(4，6)2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(4，6)反向(3)错误当x2y20时.答案(1)(2)(3)×2下列各对向量中，共线的是()aa(2,3)，b(3，2)ba(2,3)，b(4，6)ca(，1)，b(1，)da(1，)，b(，2)da，b，c中各对向量都不共线，d中ba，两个向量共线3已知a(3,2)，b(6，y)，且ab，则y_.4ab，解得y4.合 作 探 究·攻 重 难判定直线平行、三点共线(1)已知a，b，c三点共线，且a(3，6)

3、，b(5,2)，若c点的横坐标为6，则c点的纵坐标为()a13b9c9d13(2)已知a(1，1)，b(1,3)，c(1,5)，d(2,7)，向量与平行吗？直线ab平行于直线cd吗？思路探究(1)(2)(1)c(1)设c(6，y)，又(8,8)，(3，y6)，8×(y6)3×80，y9.(2)解(1(1)，3(1)(2,4)，(21,75)(1,2)又2×24×10，.又(2,6)，(2,4)，2×42×60，a，b，c不共线，ab与cd不重合，abcd.规律方法向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1x2

4、y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减跟踪训练1已知a(1，3)，b，c(9,1)，求证：a，b，c三点共线. 【导学号：84352230】证明，(91,13)(8,4)，7×4×80，且，有公共点a，a，b，c三点共线.已知平面向量共线求参数已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 【导学号：84352231】思路探究法一：可利用b与非零向量a共线等价于ba(>0，b与a同向；<0，b与a反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用ba判定同向还是

5、反向解法一：(共线向量定理法)kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3,2k2)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为<0，所以kab与a3b反向法二：(坐标法)由题知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)×(4)10×(2k2)0，解得k.这时kab(a3b)，所以当k时，kab与a3b平行，并且反向规律方法利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理a

6、b(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直接求解跟踪训练2已知a(1,1)，b(x2，x)且ab，则实数的最小值是_因为ab，所以x2x0，即x2x2，所以的最小值为.向量共线的综合应用(1)已知向量a(cos ，2)，b(sin ，1)，且ab，则2sin cos 等于()a3 b3c d(2)如图2­3­18所示，已知点a(4,0)，b(4,4)，c(2，6)，求ac与ob的交点p的坐标. 【导学号：84352232】图2­3­18思路探究(1)先由ab推出sin 与cos 的关系，求tan ，再用“1”的代换求2sin

7、 cos .(2)要求点p的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到，利用与共线的坐标表示求出即可；也可设p(x，y)，由及，列出关于x，y的方程组求解(1)c(1)因为ab，所以cos ×1(2)sin 0即cos 2sin ，tan ，所以2sin cos .(2)法一：(定理法)由o，p，b三点共线，可设(4，4)，则(44,4)，(2,6)由与共线得(44)×64×(2)0，解得，所以(3,3)，所以p点的坐标为(3,3)法二：(坐标法)设p(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，则得(x4)&

8、#215;6y×(2)0，解得xy3，所以p点的坐标为(3,3)规律方法向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.跟踪训练3如图2­3­19，已知a(4,5)，b(1,2)，c(12,1)，d(11,6)，求ac与bd的交点p的坐标图2­3­19解设(111,62)(10

9、，4)易得(11,1)，(1011,41)又(8,4)，而与共线，4×(1011)8×(41)0，解得.设点p的坐标为(xp，yp)，(5,2)(xp1，yp2)，即故点p的坐标为(6,4).共线向量与线段分点点坐标的计算探究问题1设p1，p2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段p1p2的中点p的坐标？提示：如图所示，p为p1p2的中点，()，线段p1p2的中点坐标是.2设p1，p2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点p是线段p1p2的一个三等分点，则p点坐标是什么？提示：点p是线段p1p2的一个三等分点，分两种情况：当时，()；当时，().3当

10、时，点p的坐标是什么？提示：()，(x1，y1)(x2，y2)，p.已知点a(3，4)与点b(1,2)，点p在直线ab上，且|2|，求点p的坐标. 【导学号：84352233】思路探究点p在直线ab上，包括点p在线段ab内和在线段ab的延长线上，因此应分类讨论解设p点坐标为(x，y)，|2|.当p在线段ab上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得p点坐标为.当p在线段ab延长线上时，2，(x3，y4)2(1x,2y)，解得p点坐标为(5,8)综上所述，点p的坐标为或(5,8)母题探究：1.若将本例条件“|2|”改为“3”其他条件不变，求点p的坐标解因为3，所以(x3，y4)3(1x,2y

11、)，所以解得所以点p的坐标为.2若将本例条件改为“经过点p(2,3)的直线分别交x轴、y轴于点a，b，且|3|”，求点a，b的坐标解由题设知，a，b，p三点共线，且|3|，设a(x,0)，b(0，y)，点p在a，b之间，则有3，(x，y)3(2x,3)，解得x3，y9，点a，b的坐标分别为(3,0)，(0,9)点p不在a，b之间，则有3，同理，可求得点a，b的坐标分别为，(0，9)综上，点a，b的坐标分别为(3,0)，(0,9)或，(0，9)规律方法在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.当 堂 达 标·固 双 基1下列向量

12、组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()aa(0,0)，b(2,3)ba(1，3)，b(2，6)ca(4,6)，b(6,9)da(2,3)，b(4,6)d只有d选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选d.2若向量a(，1)，b(0，2)，则与a2b共线的向量可以是()a(，1)b(1，)c(，1)d(1，)d因为a2b(，3)(1，)，所以向量a2b与(1，)是共线向量故选d.3已知两点a(2，1)，b(3,1)，则与平行且方向相反的向量a可以是() 【导学号：84352234】a(1，2) b(9,3)c(2,4)d(4，8)d由题意，得(1,2)，所以a(，2)(其中0)符合条件的只有d项，故选d.4已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于_(4，8)ab，1×m(2)×20，m4，a(1,2)，b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)5设o是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，a，b，c三点共线？ 解(4k，7)，(10k，k12)，又a，b，c三点共线，由两向量平行的充要条件，得(4k)(k12)7(10k)0，解得k2或k11.即当k2或k11时