2021年高中数学选修《圆锥曲线》单元练习（解析版）

1、2021年高中数学选修圆锥曲线单元练习一、选择题椭圆25x216y2=1的焦点坐标是()A.(±3,0) B.(±，0) C.(±，0) D. (0，±)设P是椭圆=1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形设F1，F2是椭圆=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|=21，则F1PF2的面积等于()A.5 B.4 C.3 D. 1双曲线=1的焦点到渐近线的距离为()A.2 B.2 C. D.1以直线x±y=0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的

2、双曲线方程是()A. y2=1 B. x2=1 C. y2=1 D. x2=1已知椭圆方程，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.3已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x4与C交于A，B两点，则cosAFB=()A. B. C. D.设椭圆=1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若·=4，则点A的坐标是()A.(2，±2) B.(1，±2) C

3、.(1,2) D.(2,2)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值等于()A.2 B.2 C.4 D.4若直线y=2x与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A.5p B.10p C.11p D.12p过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A.2 B.2 C.2 D.2二、填空题若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e=，则其标准方程为_.已知双曲线=1(a>0，b>0)中，=2，则离心率e=_.双曲线=1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B

4、，则AFB的面积为_.已知点A(2,3)在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为_.三、解答题已知椭圆=1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与=1共焦点的椭圆的方程已知直线kxy1=0与双曲线y2=1相交于两个不同点A，B.(1)求k的取值范围；(2)若x轴上的点M(3，0)到A，B两点的距离相等，求k的值.已知y=xm与抛物线y2=8x交于A、B两点.(1)若|AB|=10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值.已知双曲线C：x2y2=1及直线l：y=kx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交

5、点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积是，求实数k的值.已知双曲线=1的两焦点为F1、F2.(1)若点M在双曲线上，且·=0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于.若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.如图，过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线A

6、B，AC交抛物线于B，C两点.求证：直线BC的斜率是定值.答案解析答案为：D解析：椭圆的标准方程为=1，故焦点在y轴上，其中a2=，b2=，所以c2=a2b2=，故c=.所以所求焦点坐标为(0，±).答案为：B解析：由椭圆定义知|PF1|PF2|=2a=8.又|PF1|PF2|=2，|PF1|=5，|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4，PF1F2为直角三角形.答案为：B解析：本题考查椭圆定义的综合应用由椭圆方程，得a=3，b=2，c=，|PF1|PF2|=2a=6，又|PF1|PF2|=21，|PF1|=4，|PF2|=2，由2242=(2)2可知，F1PF2是直角三角形，故

7、F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4，故选B.答案为：A；解析：不妨取焦点(4,0)和渐近线y=x，则所求距离d=2.故选A.答案为：D.解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y轴上因为渐近线方程为x±y=0，所以可设双曲线方程为y23x2=(>0)，即=1,22=4，解得=3，所以双曲线方程为x2=1，故选D.答案为：C；答案为：D解析：由得x25x4=0，x=1或x=4.不妨设A(4,4)，B(1，2)，则|=5，|=2，·=(3,4)·(0，2

8、)=8，cosAFB=.故选D.答案为：B解析：因为抛物线的焦点为 (2,0)，故椭圆的焦点在x轴上，且c=2.又e=，所以m=4，n2=m2c2=12.所以此椭圆的方程为=1.故选B.答案为：B解析：F(1,0)，设A(，y0)，则=(，y0)，=(1，y0)，由·=4得到y0=±2.A(1，±2).答案为：D解析：椭圆右焦点F2(2,0)，=2，p=4.故选D.答案为：B；解析：将直线方程代入抛物线方程，可得x24pxp2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=4p，y1y2=9p.直线过抛物线的焦点，|AB|=y1y2p=10p.答案为：B；

9、解析：不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为2，且过点(1,0)得直线AB方程为y=2(x1)，代入抛物线方程y2=8x得4(x1)2=8x，整理得x24x1=0，x1x2=4，x1x2=1，|AB|=2.答案为：x2=1解析：依题意，得a=2，e=，所以c=，所以b2=a2c2=1，所以椭圆的标准方程为：x2=1.答案为：.解析：方法一：=2，e2=14=5，e=.方法二：=2，b2=4a2，即c2a2=4a2，c2=5a2，两边同除以a2，得e2=5，解关于e的方程，得e=(负值舍去).答案为：.解析：双曲线=1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，

10、渐近线方程为y=±x.不妨设直线FB的方程为y=(x5)，代入双曲线方程整理，得x2(x5)2=9，解得x=，y=，所以B（，）.所以SAFB=|AF|yB|=(ca)·|yB|=×(53)×=.答案为：.解析：抛物线y2=2px的准线为直线x=，而点A(2,3)在准线上，所以=2，即p=4，从而C：y2=8x，焦点为F(2,0).设切线方程为y3=k(x2)，代入y2=8x得y2y2k3=0(k0)，由于=14×(2k3)=0，所以k=2或k=.因为切点在第一象限，所以k=.将k=代入中，得y=8，再代入y2=8x中得x=8，所以点B的坐标为

11、(8,8)，所以直线BF的斜率为=.解：(1)把M的纵坐标代入=1得=1，即x2=9.x=±3，即M的横坐标为3或3.(2)对于椭圆=1，焦点在x轴上且c2=94=5，故设所求椭圆的方程为=1.把M点的坐标代入得=1，解得a2=15.故所求椭圆的方程为=1.解：(1)由得(12k2)x24kx4=0.所以解得：1<k<1，且k±.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，设P为AB中点，则P，即P，因为M(3，0)到A，B两点的距离相等，所以MPAB，所以kMP·kAB=1，即k·=1，解得k=或k=1(舍去)，所以k=.解：

12、由，得x2(2m8)xm2=0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x2=82m，x1·x2=m2，y1·y2=m(x1x2)x1·x2m2=8m.(1)因为|AB|=·=10，所以m=.(2)因为OAOB，所以x1x2y1y2=m28m=0，解得m=8，m=0(舍去).解：(1)由消去y，得(1k2)x22kx2=0.由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得解得<k<且k±1.即k的取值范围为(，1)(1,1)(1，).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程，得x1x2=，x1x2=.因为直线l：y=kx1恒过定

13、点D(0，1)，则当x1x2<0时，SAOB=SOADSOBD=|x1x2|=；当x1x2>0时，SAOB=|SOADSOBD|=|x1x2|=.综上可知，|x1x2|=2，所以(x1x2)2=(x1x2)24x1x2=(2)2，即（）2=8，解得k=0或k=±.由(1)，可知<k<且k±1，故k=0或k=±都符合题意.解：(1)如右图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则MF1MF2，设|MF1|=m，|MF2|=n，由双曲线定义知，mn=2a=8，又m2n2=(2c)2=80，由得m·n=8，mn=4=|F1F2|h，h=.M点到x轴的距离为.(2)设所求双曲线C的方程为=1(4<<16)，由于双曲线C过点(3，2)，所以=1，解得=4或=14(舍去).所求双曲线C的方程为=1.解：(1)将(1，2)代入y2=2px，得(2)2=2p·1，p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=2xt，由得y22y2t=0，因为直线l与抛物线