2022年高考数学大题练习03（含详解）

1、2022年高考数学大题练习03在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2Acos(BC)=sin 3A.(1)求A的大小；(2)若b=2，求ABC面积的取值范围.设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a1=1，a2=，a3=，且当n2时，4Sn25Sn=8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列.如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA=120°，且三棱锥S­BCD

2、的体积为，求侧面SAB的面积.已知椭圆C：=1(ab0)的离心率为，左焦点为F(1，0)，过点D(0，2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使·恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由.已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，y1y2=4.(1)求抛物线C的方程；(2)如图，点B在准线l上的正投影为E，D是C上一点，且ADEF，求ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.已知函数f(x)=(xa1)ex，g(x)=x2ax，其中

3、a为常数.(1)当a=2时，求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若对任意的x0，)，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.已知函数f(x)=ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)2.选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2=4sin 3.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值.选修4­4：坐标系与参数方程已知直线l

4、的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是=.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若点P是曲线C上的动点，求P到直线l距离的最小值，并求出此时P点的坐标.选修4­5：不等式选讲已知函数f(x)=|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2b2=M，证明：ab2ab.已知函数f(x)=|xm|2x1|(mR).(1)当m=1时，求不等式f(x)2的解集；(2)设关于x的不等式f(x)|2x1|的解集为A，且,2A，求实数m的取值范围.已知函数

5、f(x)=m|x1|，mR，且f(x2)f(x2)0的解集为2,4.(1)求m的值；(2)若a，b，c为正数，且=m，求证：a2b3c3.答案解析解：(1)ABC=，cos(BC)=cos A，3A=2AA，sin 3A=sin(2AA)=sin 2Acos Acos 2Asin A，又sin 2A=2sin Acos A，将代入已知，得2sin 2Acos Acos A=sin 2Acos Acos 2Asin A，整理得sin Acos A=，即sin(A+)=，又A(0,)，A=，即A=.(2)由(1)得BC=，C=B，ABC为锐角三角形，B(0,)且B(0,)，解得B(,)，在ABC中

6、，由正弦定理得=，c=1，又B(,)，(0，)，c(1，4)，SABC=bcsin A=c，SABC(,2).解：(1)当n=2时，4S45S2=8S3S1，即45=81，解得a4=.(2)【证明】由4Sn25Sn=8Sn1Sn1(n2)，得4Sn24Sn1SnSn1=4Sn14Sn(n2)，即4an2an=4an1(n2).4a3a1=4×1=6=4a2，4an2an=4an1(nN*).=.数列是以a2a1=1为首项，为公比的等比数列.解：(1)证明：设BC=a，则CD=a，AB=2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD=90°，则BD=a，CBD=45°

7、;，所以ABD=ABCCBD=45°，在ABD中，AD=a，因为AD2BD2=4a2=AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD, 平面SAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)由(1)可知AD=SD=a，在SAD中，SDA=120°，SA=2SDsin 60°=a，作SHAD，交AD的延长线于点H，则SH=SDsin 60°=a，由(1)知BD平面SAD，因为SH平面SAD，所以BDSH，又ADBD=D，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥S­BCD的高，所以VS

8、­BCD=×a××a2=，解得a=1，由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，则SB=2，又AB=2，SA=，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为 =，则SAB的面积为××=.解：(1)由已知可得可得a2=2，b2=1，所以椭圆C的标准方程为y2=1.(2)设过点D(0，2)且斜率为k的直线l的方程为y=kx2，由消去y整理得(12k2)x28kx6=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，x1x2=.又y1y2=(kx12)(kx22)=k2x1x22k(x1x2)4=，y1y2=(kx12)(kx22)=k

9、(x1x2)4=.设存在点E(0，m)，则=(x1，my1)，=(x2，my2)，所以·=x1x2m2m(y1y2)y1y2=m2m×=.要使·=t(t为常数)，只需=t，从而(2m222t)k2m24m10t=0，即解得m=，从而t=，故存在定点E，使·恒为定值.解：(1)依题意知F，当直线AB的斜率不存在时，y1y2=p2=4，解得p=2.当直线AB的斜率存在时，设lAB：y=k(k0)，由消去x并整理，得y2yp2=0，则y1y2=p2，由y1y2=4得p2=4，解得p=2.综上所述，抛物线C的方程为y2=4x.(2)设D(x0，y0)，B，则E(

10、1，t)，又由y1y2=4，可得A.因为kEF=，ADEF，所以kAD=，则直线AD：y=，化简得2xty4=0.由消去x并整理，得y22ty8=0，=(2t)24=4t2320恒成立，所以y1y0=2t，y1y0=8.于是|AD|= |y1y0|= = ，设点B到直线AD的距离为d，则d=.所以SABD=|AD|·d= 16，当且仅当t4=16，即t=±2时取等号，即ABD的最小值为16.当t=2时，直线AD：xy3=0；当t=2时，直线AD：xy3=0.解：(1)因为a=2，所以f(x)=(x1)ex，所以f(0)=1，f(x)=(x2)ex，所以f(0)=2，所以切点

11、的坐标为(0，1)，所以切线方程为2xy1=0.(2)令h(x)=f(x)g(x)，由题意得h(x)min0在x0，)上恒成立，h(x)=(xa1)exx2ax，所以h(x)=(xa)(ex1)，若a0，则当x0，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，)上单调递增，所以h(x)min=h(0)=a1，则a10，得a1.若a0，则当x0，a)时，h(x)0，当x(a，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以h(x)min=h(a)，又h(a)h(0)=a10，所以不合题意.综上，实数a的取值范围为1，).解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)=

12、2ax2a1=.若a0，则当x(0，)时，f(x)>0，故f(x)在(0，)上递增.若a<0，则当x（0,）时，f(x)>0；当x（，）时，f(x)<0.故f(x)在（0,）上递增，在（，）上递减.(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x=处取得最大值，最大值为f()=ln（）1.所以f(x)2等价于ln（）12，即ln（）10.设g(x)=ln xx1，则g(x)=1.当x(0,1)时，g(x)>0；当x(1，)时，g(x)<0，所以g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减.故当x=1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)=0.所以当x

13、>0时，g(x)0.从而当a<0时，ln（）10，即f(x)2.解：(1)x2=sin(+)2=(sin cos )2=sin 21=y，所以C1的普通方程为y=x2.将2=x2y2，sin =y代入C2的方程得x2y2=4y3，所以C2的直角坐标方程为x2y24y3=0.(2)将x2y24y3=0变形为x2(y2)2=1，它的圆心为C(0，2).设P(x0，y0)为C1上任意一点，则y0=x，从而|PC|2=(x00)2(y02)2=x(x2)2=x3x4=（x-）2，所以当x=时，|PC|min=，故曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为1.解：(1)由，得xy=1，所

14、以直线l的极坐标方程为cos sin =1，即(cos cossin sin)=1，即cos=1.由=，所以=，所以cos2=sin ，所以(cos )2=sin ，即曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)设P(x0，y0)，则y0=x，所以P到直线l的距离d=，所以当x0=时，dmin=，此时P，所以当P点为时，P到直线l的距离最小，最小值为.解：(1)由已知可得f(x)=所以f(x)min=1，所以只需|m1|1，解得1m11，所以0m2，所以实数m的最大值M=2.(2)证明：因为a2b22ab，所以ab1，所以1，当且仅当a=b时取等号，又，所以，所以，当且仅当a=b时取等号，由得，所以ab2ab.解：(1)当m=1时，f(x)=|x1|2x1|，由f(x)2，得|x1|2x1|2，或或解得或或0x或x1或1x.原不等式的解集为.(2),2A，当x,2时，不等式f(x)|2x1|恒成立，即|xm|2x1|2x1|在x,2上恒成立，|xm|2x12