高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式学案 新人教A版必修5

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 53 3. .4 4基本不等式：基本不等式：ababa ab b2 2学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)自自 主主 预预 习习探探 新新 知知1重要不等式如果a，br r，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”)思考：如果a0，b0，用a，b分别代替不等式a2b22ab中的a，b，可得到怎样的不等式？提示a

3、b2ab.2基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号思考：不等式a2b22ab与abab2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？提示不同，a2b22ab成立的条件是a，br r；abab2成立的条件是a，b均为正实数3算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab2，几何平均数为ab；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数思考：ab2ab与ab22ab是等价的吗？提示不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，br r.4用基本不等式求最值的结论(1)设x，y为正实数，若xys(和

4、s为定值)，则当xys2时，积xy有最小值为 2xy.(2)设x，y为正实数， 若xyp(积p为定值)， 则当xyp时， 和xy有最大值为xy24.5基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d

5、 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(3)等号成立的条件是否满足思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？提示三个条件是：一正，二定，三相

6、等求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值基础自测基础自测1思考辨析(1)对任意a，br r，a2b22ab，ab2ab均成立()(2)对任意的a，br r，若a与b的和为定值，则ab有最大值()(3)若xy4，则xy的最小值为 4.()(4)函数f(x)x22x21的最小值为 2 21.()答案(1)(2)(3)(4)2设x，y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值为_.【导学号：91432346】400400因为x，y都是正数，且xy40，所以xyxy22400，当且仅当xy20 时取等号3把总长为 16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2

7、.1616设一边长为xm，则另一边长可表示为(8x)m，则面积sx(8x)x8x2216，当且仅当x4 时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为 4 m 时面积取到最大值 16 m2.4给出下列说法：若x(0，)，则 sinx1sinx2；若a，b(0，)，则 lgalgb2 lgalgb；若xr r 且x0，则|x4x|4.其中正确说法的序号是_.【导学号：91432347】因为x(0，)，所以 sinx(0,1，所以成立；只有在 lga0，lgb0，即a1，b1 时才成立；|x4x|x|4x|2|x|4x|4 成立6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f

8、f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f

9、2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5合合 作作 探探 究究攻攻 重重 难难利用基本不等式比较大小已知 0a1,0b0，b0，所以ab2ab，a2b22ab，所以四个数中最大的数应为ab或a2b2.又因为 0a1,0b1，所以a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，所以a2b22)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是_.【导学号：91432348】(2)若ab1，p lgalgb，q12(lgalgb)，rlgab2，则p，q，r的大小关系是_(1)mn(2)pq2，所以a20，又因为ma1a2(a2)1a22，6 e d

10、b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4

11、4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5所以m2a21a224，由b0，得b20，所以 2b22，n22b2n.(2)因为ab1，所以 lgalgb0，所以q12(lgalgb) lgalgbp；q12(lgalgb)lgalgblgablgab2r.所以pqabbcca.解a0，b0，c0，ab2ab0，bc2bc0，ca2ca0，2(abc)2(abbcca)，即abcabbcca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abcabbcca.规律方法1所证不等式一端出现“

12、和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明2利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用跟踪训练6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9

13、1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 52已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：1a11b11c18.【导学号：91432349】证明因为a，b，c为正实数，

14、且abc1，所以1a11aabca2bca.同理，1b12acb，1c12abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a11b11c12bca2acb2abc8，当且仅当abc13时，取等号基本不等式的实际应用如图 341，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成图 341(1)现有可围 36 m 长网的材料， 每间虎笼的长、 宽各设计为多少时， 可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：已知ab为定值，如何求ab的最大值？已知ab为定值，如何求ab的最小值？解设

15、每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知：4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为s，则sxy.法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，2 6xy18，得xy272，即s272，当且仅当 2x3y时，等号成立由2x3y18，2x3y，解得x4.5，y3.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9

16、 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5法二：由 2x3y18，得x932y.x0，932y0，0y6，sxy932yy32(6y)y.0y0，s326yy22

17、272.当且仅当 6yy，即y3 时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大(2)由条件知sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.法一：2x3y2 2x3y2 6xy24，l4x6y2(2x3y)48.当且仅当 2x3y时，等号成立由2x3yxy24，解得x6，y4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小法二：由xy24，得x24y.l4x6y96y6y616yy6216yy48.当且仅当16yy，即y4 时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 4

18、00 平方米的三级污水处理池，平面图如图 342 所示池外圈建造单价为每米 200 元，中间两条隔墙建造单价为每米 250 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4

19、 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5解设污水池的长为x米，则宽为400 x米，总造价y(2x2400 x)2002250400 x80400400 x900 x32 0004002x900 x32 00056 000(元)，当且

20、仅当x900 x，即x30 时取等号故污水池的长为 30 米、宽为403米时，最低造价为 56 000 元.利用基本不等式求最值探究问题1 由x2y22xy知xyx2y22， 当且仅当xy时“”成立， 能说xy的最大值是x2y22吗？能说x2y2的最小值为 2xy吗？提示：最值是一个定值(常数)，而x2y2或 2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误要利用基本不等式ab2ab(a，br r)求最值，必须保证一端是定值，方可使用2小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的：“因为yx1x2x1x2，当且仅当x1x，即x21 时“”号成立，所以yx1x的最小值为 2.”你认为

21、他的求解正确吗？为什么？提示：不正确因为利用基本不等式求最值，必须满足x与1x都是正数，而本题x可能为正，也可能为负所以不能盲目“套用”基本不等式求解正确解法应为：当x0 时，yx1x2x1x2，当且仅当x1x，即x1 时取“”，yx1x的最小值是 2；当x0 时，yx1x2x1x2，当且仅当x1x，即x1 时，取“”，yx1x的最大值是2.3已知x3，求yx24x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：yx24xx4x2x4x4，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1

22、f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7

23、5当x3 时，yx24x的最小值为 4.”提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可本解法忽略了等号成立的条件，即“”号不成立本问题可采用yx4x的单调性求解(1)已知x54，求y4x214x5的最大值；(2)已知 0 x0，求f(x)2xx21的最大值；(4)已知x0，y0，且1x9y1，求xy的最小值.【导学号：91432350】思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征(1)4x214x54x514x53.(2)12x(12x)142x(12x)(3)2xx2

24、12x1x.(4)xy(xy)1(xy)1x9y.解(1)x0，y4x214x554x154x3231，当且仅当 54x154x，即x1 时，上式等号成立，故当x1 时，ymax1.(2)0 x0，y142x(12x)142x12x221414116，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3

25、d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5当且仅当 2x12x0 x0，x1x2x1x2，f(x)221，当且仅当x1x，即x1 时等号成立(4)x0，y0，1x9y1，xy1x9y(xy)yx9xy1061016，当且仅当

26、yx9xy，又1x9y1，即x4，y12 时，上式取等号故当x4，y12 时，(xy)min16.母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x54，求函数f(x)4x214x5的值域解x54，4x50，f(x)4x514x53235.当且仅当 4x514x5.即x32时，等号成立f(x)的值域为5，)2(变条件)在例题(1)中去掉条件x54时，4x50f(x)4x514x53235当且仅当 4x514x5时等号成立即x32时f(x)min5.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3

27、 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5

28、 f 3 7 5当x54时，4x50.f(x)4x214x554x154x3231当且仅当 54x154x，即x1 时等号成立故当x1 时，f(x)max1.规律方法利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.(2)构造法：构造不等式：利用abab22，将式子转化为含ab或ab的一元二次不等式，将ab，(ab)作为整体解出范围；构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式

29、子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.易错警示：利用基本不等式求函数最值，一定要判断等号何时成立.当当 堂堂 达达 标标固固 双双 基基1若 0a1,0b1，则 logablogba_.2 2因为 0a1,0b0，logba0，所以 logablogbalogab1logab2logab1logab2.当且仅当 logablogba即ab时取“”2已知a，br r，若a2b21，则ab有最_值为_；若ab1，则a2b2有最_值为_.【导学号：91432351】大1 12 2小2 2由a2b22ab可知，当a2b21 时，ab12，故ab有最大值为12；当ab1 时，a2b22，a2b2有最小值 2.3若 0 x1，则x32x的取值范围是_0 0，3 3 2 24 4由 0 x0，故x32x12 2x32x122x32x23 24，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d