高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学案 新人教A版选修21

1、第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学习目标：1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系(重点)2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1点与椭圆的位置关系点p(x0，y0)与椭圆1(a>b>0)的位置关系：点p在椭圆上1；点p在椭圆内部<1；点p在椭圆外部>1.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解>0相切一解0相离无解<0思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于

2、原点对称吗？(2)直线ykx1与椭圆1有怎样的位置关系？提示(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称(2)直线ykx1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆1的内部，因此直线与椭圆相交基础自测1思考辨析(1)若点p(x0，y0)在椭圆1的内部，则有<1.()(2)直线yx与椭圆1(a>b>0)不一定相交()(3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆1相切()答案(1)(2)×(3)2直线yx1与椭圆x21的位置关系是()a相离b相切c相交d无法确定c联立消去y，得3x22x10，2212160，直线与椭圆相交3若点a(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是_

3、. 【导学号：46342078】(，)点a在椭圆内部，1，a22，a.合 作 探 究·攻 重 难直线与椭圆的位置关系对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系思路探究解联立方程组将代入得：(xm)21，整理得：5x28mx4m240.(8m)24×5(4m24)16(5m2)当0，即m时，方程有两个不同的实数根，代入可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当0，即m±时，方程有两个相等的实数根，代入得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当0，即m或m时，方程无实根，此时直线与椭圆相离规律方法 代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系

4、，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则>0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；<0直线与椭圆相离提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系跟踪训练1(1)若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()a bc±d±c由得(3k22)x212kx60由题意知144k224(3k22)0解得k±.(2)直线ykxk1(kr)与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则m的取值范围是_直线yk(x1)1恒过定点p(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点p(1,1)在椭圆内或在椭圆上所以1，即m，又0<

5、;m<5，故m.弦长及中点弦问题过椭圆1内一点m(2,1)引一条弦，使弦被m点平分(1)求此弦所在的直线方程(2)求此弦长. 【导学号：46342079】思路探究(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解法二：点差法(2)设弦的两端点分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，利用弦长公式求解解(1)法一：设所求直线方程为y1k(x2)代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1x2.又m为ab的中点，2，解之得k.故所求直线的方程为x2y40

6、.法二：设直线与椭圆的交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)又m(2,1)为ab的中点，x1x24，y1y22.又a，b两点在椭圆上，则x4y16，x4y16.两式相减得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kab.又直线ab过点m(2,1)，故所求直线的方程为x2y40.(2)设弦的两端点分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)由得x24x0，x1x24，x1x20，|ab|··2.规律方法1.直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长(2)弦

7、长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式设直线与椭圆交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则有|ab|··(k为直线斜率)提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况2解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知a(x1，y1)，b(x2，y2)是椭圆1(a>b>0)上的两个不同的点，m(x0，y0)是线段ab

8、的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得··，即kab.跟踪训练2(1)已知点p(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则直线l的方程为_x2y80由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y2360.将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360.设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1x28，所以k.所以直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.(2)已知点p(4,2)是直线l：x2y80被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为_设椭圆方程为1(a>b>0)

9、，直线x2y80与椭圆交于a，b两点，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，则得0，即.因为kab，ab中点为(x0，y0)，x04，y02，所以2，即a24b2.所以该椭圆的离心率为e.(3)已知动点p与平面上两定点a(，0)，b(，0)连线的斜率的积为定值.试求动点p的轨迹方程c；设直线l：ykx1与曲线c交于m，n两点，当|mn|时，求直线l的方程解设动点p的坐标是(x，y)，由题意得，kpa·kpb.·，化简整理得y21.故p点的轨迹方程c是y21(x±)设直线l与曲线c的交点m(x1，y1)，n(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.x1x2，x1

10、·x20.|mn|·，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k±1，经检验符合题意直线l的方程是y±x1，即xy10或xy10.与椭圆有关的综合问题探究问题1直线ykx1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x0，那么直线xky1表示什么样的直线？提示：直线xky1，表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y0.2如果以线段ab为直径的圆过点o，那么可以得到哪些等价的条件？提示：(1)设ab的中点为p，则|op|ab|，(2)·0.如图2­2­7，已知椭圆e：1(a>b>0)过点(0，)

11、，且离心率e.图2­2­7(1)求椭圆e的方程；(2)设直线l：xmy1(mr)交椭圆e于a，b两点，判断点g与以线段ab为直径的圆的位置关系，并说明理由思路探究(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2b2c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆e的方程(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点g与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点g在圆外；若dr，则点g在圆上；若d<r，则点g在圆内法二：只需判断·的符号，若·0，则点g在圆上；若·>0，则点g在圆外；若·<0，则点g在圆内解(1)由已知得

12、，解得所以椭圆e的方程为1.(2)法一：设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab的中点为h(x0，y0)由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y0.所以|gh|2yy(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|gh|2my0(1m2)y1y2>0，所以|gh|>.故点g在以线段ab为直径的圆外法二：设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而·y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)>0，所以cos，>0.又，不共线，所以agb为锐角故点g在以线段ab为直径的圆外

13、规律方法 解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练3椭圆的两个焦点坐标分别为f1(，0)和f2(，0)，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于m，n两点，a为椭圆的左顶点，试判断man的大小是否为定值，并说明理由. 【导学号：46342080】解(1)由题意设椭圆方程1(a>b>0)，由c，a2

14、b2c2，代入方程1，又椭圆过点，得1，解得b21，a24.椭圆的方程为y21.(2)设直线mn的方程为xky，联立直线mn和曲线c的方程可得得(k24)y2ky0，设m(x1，y1)，n(x2，y2)，a(2,0)，y1y2，y1y2，则·(x12，y1)·(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，即可得man.当 堂 达 标·固 双 基1已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是() 【导学号：46342081】a点(2,3)在椭圆外b点(3,2)在椭圆上c点(2，3)在椭圆内d点(2，3)在椭圆上d由椭圆的对称性知，点(2，3)在椭圆上，故选d

15、.2已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()a相交b相切c相离d相切或相交c由得5x224x320，(24)24×5×3264<0，因此直线与椭圆相离3椭圆x24y216被直线yx1截得的弦长为_由消去y并化简得x22x60.设直线与椭圆的交点为m(x1，y1)，n(x2，y2)，则x1x22，x1x26.弦长|mn|x1x2|.4已知p(1,1)为椭圆1内一定点，经过p引一条弦，使此弦被p点平分，则此弦所在的直线方程为_x2y30易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.5焦点分别为(0,5)和(0，5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程. 【导学号：46342082】解设1(a>b>0)依题意，有a2b2(5)250. 由消去y并整理，得(a29b2)x212b2x4b2a2