高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教A版选修11

1、3.4生活中的优化问题举例【选题明细表】知识点、方法题号几何中的最值问题1,4,10用料最省、费用最省问题6,8,11利润最大问题5,7,9其他问题2,3【基础巩固】1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)=x2()(0<x<60),则当箱子的容积最大时,x的值为(b)(a)30 (b)40 (c)50(d)60解析:v(x)=-x3+30x2,v(x)=-x2+60x,令v(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0<x<40时,v(x)>0,当40<x<60时v(x)<0,故v(x)在x=40时取得最大值.故选b.2.炼油厂某分厂将原油

2、精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:)为f(x)=x3-x2+8(0x5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是(c)(a)8(b)(c)-1(d)-8解析:原油温度的瞬时变化率为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0x5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.故选c.3.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为(b)(a)2和6(b)4和4(c)3和5(d)以上都不对解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=

3、4.当0x<4时,y<0;当4<x8时,y>0,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.故选b.4.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为(a)(a)()3(b)()3(c)()3(d)()3解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为v,则4r+2h=l,所以h=,v=r2h=r2-2r3(0<r<).则v=lr-6r2,令v=0,得r=0或r=,而r>0,所以r=是其唯一的极值点.所以当r=时,v取得最大值,最大值为()3.故选a.5.(2018·石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正

4、比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,4.8%),则使银行获得最大收益的存款利率为(a)(a)3.2%(b)2.4%(c)4%(d)3.6%解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0<x<0.048),故y=0.096kx-3kx2.令y=0,解得x=0.032或x=0(舍去).当0<x<0.032时,y>0;当0.032<x<0.048时,y<0.因此,当x=0.

5、032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.故选a.6.如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为. 解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙壁总长度l=2x+(x>0),则l=2-.令l=0,得x=±16.因为x>0,所以x=16.当x=16时,lmin=64,此时堆料场的长为=32(米).答案:32,167.(2018·长春高二月考)某厂生产某种产品x件的总成本

6、c(x)=1 200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为件时,总利润最大. 解析:设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250 000,所以p2=,p=,x>0.设总利润为y万元,则y=·x-1 200-x3=500-x3-1 200.求导数得,y=-x2.令y=0得x=25.故当x<25时,y>0;当x>25时,y<0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.答案:258.(2018·南宁高二检

7、测)现有一批货物由海上从a地运往b地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,a地至b地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?解:(1)依题意得y=(960+0.6x2)=+300x,且由题意知,函数的定义域为(0,35,即y=+300x(0<x35).(2)由(1)知,y=-+300,令y=0,解得x=40或x=-40(舍去).因为函数的定义域为(0,35,所

8、以函数在定义域内没有极值点.又当0<x35时, y<0,所以y=+300x在(0,35上单调递减,故当x=35时,函数y=+300x取得最小值.故为了使全程运输成本最低,轮船应以35海里/时的速度行驶.【能力提升】9.(2018·西安高二质检)某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x月的销售量f(x)=-3x2+40x(xn*,1x12),该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)=150+2x(xn*,1x12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是(b)(a)3 120元(b)3 125元(c)2 417元(d)

9、2 416元解析:该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1 400x(xn*,1x12),g(x)=18x2-370x+1 400.令g(x)=0,解得x=5,x=(舍去).当1x5时,g(x)>0;当5<x12时,g(x)<0,所以当x=5时,g(x)max=g(5)=3 125(元).综上,5月份的月利润最大,是3 125元.故选b.10.(2018·杭州高二检测)在半径为r的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为(d)(a)(b)r (c)r(d

10、)r解析:设梯形的上底长为2x(0<x<r),高为h,面积为s.因为h=,所以s=(r+x)·.所以s=-=.令s=0,得x=(x=-r舍去),则h=r.当x(0,)时,s>0;当<x<r时,s<0.所以当x=时,s取极大值,也就是最大值.所以当梯形的上底长为r时,它的面积最大.【探究创新】11.(2018·宁波高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处. 解析:设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.所以两项费用之和为y=+(x>0),y=-+,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y<0;当x>5时,y>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答案:56edbc3191f2351dd815ff