第四章数字相关和卷积运算及3章习题解答

1、(3.1) 什么是平稳各态遍历的随机过程什么是平稳各态遍历的随机过程？解答：如果随机信号的统计特性与解答：如果随机信号的统计特性与开始进行统计分析的时刻无关，开始进行统计分析的时刻无关，则为平稳随机过程，否则为非平则为平稳随机过程，否则为非平稳随机过程。稳随机过程。 对于平稳过程，如果所有样本在对于平稳过程，如果所有样本在固定时刻的统计特征和单一样本固定时刻的统计特征和单一样本在全时间上的统计特征一致，则在全时间上的统计特征一致，则为各态遍历的随机过程。为各态遍历的随机过程。(3.2)判断随机相位正弦波在均值意义下是判断随机相位正弦波在均值意义下是否各态遍否各态遍历。历。 ， ,a 是固定是固

2、定值，值，是随机变量，分布为均匀分是随机变量，分布为均匀分布：布： ，其它为零。，其它为零。解答：解答：)sin()(0tatx020 ,21)(p0dt)t(asin2t1limmtt0tx0d )(p)t(asindx)x(xp)x(e200aa-该随机过程的时间平均为：该随机过程的时间平均为：该随机过程的总体平均为：该随机过程的总体平均为：因此该过程在均值意义下是各态遍历的。因此该过程在均值意义下是各态遍历的。(3.3)讨论相互独立、互不相关、相讨论相互独立、互不相关、相互正交的区别和联系。互正交的区别和联系。解答：解答：)y(p)x(p)y, x(p0)y, x(cov0)xy(e随机

3、变量统计独立的条件为：随机变量统计独立的条件为：互不相关的条件为：互不相关的条件为：正交的条件为：正交的条件为：对于一般的随机变量：统计独立则互不相关；对于一般的随机变量：统计独立则互不相关；当其中有任意一个变量的均值为零，则互不相当其中有任意一个变量的均值为零，则互不相关和正交可以互相推导。关和正交可以互相推导。对于高斯随机变量，统计独立和互不相关可以对于高斯随机变量，统计独立和互不相关可以相互推导；当其中有任意一个变量的均值为零相互推导；当其中有任意一个变量的均值为零，则三者都能互相推导。，则三者都能互相推导。(3.4)输入序列输入序列xn的一阶概率密度函数的一阶概率密度函数是是 。证明：

4、。证明： ；如如 ，x1、x2都是具有上述分都是具有上述分布的随机序列，求布的随机序列，求e(y)。解答：解答：)(2)(2nxnxuexpn5 . 0)(nxe2142xxynnnndx)x(px)x(e0n-2xndx2exn0-2xnndex-0n2x-2xndxe0exnn0n2x-dxen02x-nde5 . 00)e (5 . 0n2xe（y）=e(2x1+4x2)=e(2x1)+e(4x2)=3=0.53-5：已知平稳随机过程已知平稳随机过程x的自的自相关函数如下，求其功率谱相关函数如下，求其功率谱密度及均方，并根据所得结密度及均方，并根据所得结果说明该随机过程是否含有果说明该随

5、机过程是否含有直流分量或周期性分量。直流分量或周期性分量。cos3cos4e)(rx16cos25e)(r04x（）（）cos3cos4e)(rx（）de )(r)(pjxx)(11)(11 8)3()3(22514)0(r)x(ex2012 8)0(p2x因为因为所以含有直流分量；所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而r中包含中包含有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量。 16cos25e)(r04x（）de )(r)(pjxx)(161)(16150)(3220204116

6、25)0(r)x(ex201625032)0(p20 x因为因为所以含有直流分量；所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而r中中没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周期性分量。期性分量。 3-6：设设x（t）是平稳过）是平稳过程，程， ，证明，证明 y（t） 的功率谱是：的功率谱是：)tt (x) t (x) t (y)tcos1)(2p)(pxyde )(r)(pjyy解答：)t (y) t (y(e)(ry)tt (x)t (x()tt (x) t (x(e)tt (x)tt (x)

7、tt (x) t (x)t (x)tt (x)t (x) t (xe)(r)t(r)t(r)(rxxxx其中其中de )(r)(pjyyde)t(r)t(r)(2rjxxx)(2pxde)t(r)t(rjxx2ee1)(2ptjtjx)tcos1)(2px得证。得证。3-7：一个随机信号一个随机信号x1的自相关函的自相关函数是数是 ，另一个随机信，另一个随机信号号x2的自相关函数为的自相关函数为 ，在下列条件下，分别求信号在下列条件下，分别求信号相加后相加后x=x1+x2的自相关函的自相关函数数 。（）x1，x2相互独立；相互独立；（）x1，x2来自同一信号源，来自同一信号源，只是幅度差一个常

8、数因子只是幅度差一个常数因子k（k不为不为1）：）：x2=kx1。ea)(r11ea)(r22)(rx（）x1，x2相互独立；相互独立；)t (x) t (x(e)(rx)t (x)t (x()t (x) t (x(e2121)t (x) t (x)t (x) t (x)t (x) t (x)t (x) t (xe22211211)(r)t (xe)t (xe)t (xe)t (xe)(r221211)(limr1)t (xe)t (x(e)t (x(e)(t(t)xlimex1211110)t (xe120)t (xe22)(r)(r)(r21x)eaa(21同理同理（）x1，x2来自同一信

9、号来自同一信号源，只是幅度差一个常数因源，只是幅度差一个常数因子子k（k不为不为1）：）：x2=kx1。)(rx)(r)t (x)t (xe)t (x) t (xe)(r221211)(r)t (kx)t (xe)t (kx) t (xe)(r211111)(r)(2kr)(r211)ea2kaa(211由前面计算可得由前面计算可得第四章第四章数字相关和卷积运算（correlation and convolution） 第一节第一节 线性相关线性相关第二节第二节 循环相关循环相关第三节第三节 相干函数相干函数第四节第四节 线卷线卷第五节第五节 循卷循卷第六节相关函数和功率谱估计第六节相关函数和

10、功率谱估计第七节相关技术的应用第七节相关技术的应用.线性相关（线性相关（linear correlation）1. 定义定义:设有离散信号和，其线设有离散信号和，其线性相关函数为：性相关函数为： (4-1) )(nx)(nynxymnynxmr)()()()()()(nynxmrxy等于零表示两序列正交或者相互独立。线等于零表示两序列正交或者相互独立。线性相关运算的简洁表示为：性相关运算的简洁表示为： (4-2)对应式对应式(4-1)，令，令kmn，则，则nkm，得：得： (4-3) kxykymkxmr)()()()(mrxy)(mryxnyxmnxnymr)()()()()()()()()

11、(mrmkykxkxmkymrxykkyx令令kmn，则，则nkm，得：，得： (4-5)和却是完全不同的：和却是完全不同的： (4-4)2.相关的意义相关的意义x = randn(100,2); % uncorrelated datax(:,3) =x(:,1)+x(:,2); % introduce correlationplot(x);legend(1,2,3)r12=xcorr(x(:,1),x(:,2);r13=xcorr(x(:,1),x(:,3);plot(-99:99,r12,-99:99,r13,r); legend(r12,r13) 【例【例4-2】设】设 和和 是有限长的

12、序列，序列是有限长的序列，序列长度为长度为n点，长度为点，长度为m点，除区点，除区间之外皆为零，除区间间之外皆为零，除区间之外皆为零，证明它们的线性相关函数之外皆为零，证明它们的线性相关函数的长度为的长度为mn1点，并且除区间点，并且除区间之外皆为零。之外皆为零。证明：按照题意，对于按照题意，对于)(nx)(ny)(nx)(ny)(nx21nnn)(ny43nnn)(mrxy1423nnmnnnxymnynxmr)()()(的非零区间为的非零区间为)(nx21nnn12nnn)(mny43nmnn1423nnmnn)(nx)(mny)(mrxy在此区间之外，和在此区间之外，和 的非零值互不重叠

13、，的非零值互不重叠，故的值皆为零。故的值皆为零。将上面两个不等式相加，可得将上面两个不等式相加，可得的非零区间为的非零区间为对上式同时乘对上式同时乘1则有则有 上式得到的长度为上式得到的长度为l=点，由题意知点，由题意知n，m因此因此)(mrxy1)(2314nnnn112 nn134 nn1)(2314nnnn134 nn112 nn)(mrxyl1mn1，也就是线性相关，也就是线性相关函数的长度为函数的长度为mn1。3.计算计算与计算卷积相似与计算卷积相似: 公式法公式法 表格法表格法 图形法图形法参看例题参看例题4-1 程序法程序法:000) 1(0) 1() 2() 1() 2() 1

14、 () 2() 1 () 0() 1 () 0(0) 0(000) 1() 1 () 0(nynynynyyyyyyyyynxxx10)()()(nnxymnynxmr 设序列设序列x,y长度为长度为n点，除区间点，除区间0n-1之外皆为零，之外皆为零，用矩阵的形式来表达线性相关：用矩阵的形式来表达线性相关： 计算得到一个计算得到一个2n1点长的行向量，也就是对点长的行向量，也就是对应，应，m(n1)，（，（n1）。如果）。如果x和和y的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后者点长相同，然后计算 .循环相关循环相关（circular co

15、rrelation） 1.定义定义: 10)()()()(nnnnxynrmnynxmr最后得到的循环相关序列的长度就是最后得到的循环相关序列的长度就是n点，点，m取取0，1，2，n-1。 循环相关运算的简洁表示为：循环相关运算的简洁表示为： )()(nxmrxy)(ny2.意义意义 循环相关与离散功率谱是一对循环相关与离散功率谱是一对dft变换变换对对. 如果信号是周期的则用循环相关估计更如果信号是周期的则用循环相关估计更为准确为准确.clear;n=500;n=0:n-1;s=0.8*sin(pi/5*n);rs=xcorr(s);rss=circlecorr(s,s);rs=rss rs

16、s;plot(-499:499,rs,-499:499,rs(1:999),r)3.计算计算与计算卷积相似与计算卷积相似: 公式法公式法 表格法表格法 图形法图形法参看例题参看例题4-3 程序法程序法: 设序列设序列x,y长度为长度为n点，除区间点，除区间0n-1之外皆为零，之外皆为零，用矩阵的形式来表达循环相关：用矩阵的形式来表达循环相关： 计算得到一个计算得到一个n点长的行向量，也就是对应，点长的行向量，也就是对应，m=0，1，（，（n1）。如果）。如果x和和y的长度不同，的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后然后计算 .)2()0

17、() 1()0()2() 1 () 1() 1 ()0() 1() 1 ()0(nyynyyyynyyynxxx10)()()()(nnnnxynrmnynxmr matlab中的循环左移的函数中的循环左移的函数circlel（）：（）：function v=circlel(y) n=length(y); v=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n v(i,j)=y(j); end l=y(1); for k=1:n-1 y(k)=y(k+1); end y(n)=l;end 计算过程：计算过程：vcirclel（y）；）；rx*v； .相干函数（coherent fu

18、nction ） 设有两个离散信号和，为了比设有两个离散信号和，为了比较这两个信号的相似程度，可以用常数较这两个信号的相似程度，可以用常数乘上其中一个信号，使得两者之间误乘上其中一个信号，使得两者之间误差能量最小，可以用最小二乘法来估计。差能量最小，可以用最小二乘法来估计。令误差能量为，则有：令误差能量为，则有： )(nx)(nyannaynx22)()(20)()()(22nnynaynxdad1.时域相干函数时域相干函数使得误差能量最小，则有：使得误差能量最小，则有： 因而得到因而得到a以及最小误差能量：以及最小误差能量： nnnynynxa)()()(2nnnnynynxnx)()()(

19、)(2222minnnnnnynxnynxnxe)()()()(1)(22222min2min以以x的能量为基准，得到相对最小误差能量：的能量为基准，得到相对最小误差能量： 称为归一化相关系数，或者叫称为归一化相关系数，或者叫相干系数。 在一个序列移动的情况下，相干系数就变成在一个序列移动的情况下，相干系数就变成相干函数，它是相干函数，它是m的函数，用的函数，用表示：表示：nnnxynynxnynx)()()()(2222xy)(mxynnnxynynxmnynxm)()()()()(2222令令21)0()0()0(yyxxxyxyrrr21)0()0()()(yyxxxyxyrrmrmnn

20、nxynynxmnynxm)()()()()(2222 【例【例4-4】和是有限长的序列，】和是有限长的序列，1，0.1，1，0.1，0.1，1，0.1，1，求线性互，求线性互相干函数和线性互相干系数。相干函数和线性互相干系数。 解：由例解：由例4-1知知0.01，0，0.98，0，2.01，0，1，我们还需要求我们还需要求)(nx)(ny)(mrxy30)()()0(nxxnxnxr30)()()0(nyynynyr110.10.1（1）（1）0.10.12.020.10.1110.10.1（1）（1）2.02 0.005，0，0.485，0，.995，0，0.49521)0()0()()(

21、yyxxxyxyrrmrm0 xy 【例【例4-6】随机产生】随机产生32点长的序列点长的序列 x和和y，数据如下所示，数据如下所示，计算它们的循环相关函数和循环相干函数。计算它们的循环相关函数和循环相干函数。n32，n0，1，2，31。 x的序列值：的序列值：-0.4613 -1.4060 -0.3745 -0.4709 1.7513 0.7532 0.0650 -0.2928 0.0828 0.7662 2.2368 0.3269 0.8633 0.6794 0.5548 1.0016 1.2594 0.0442 -0.3141 0.2267 0.9967 1.2159 -0.5427 0

22、.9122 -0.1721 -0.3360 0.5415 0.9321 -0.5703 -1.4986 -0.0503 0.5530 y的序列值：的序列值：0.0835 1.5775 -0.3308 0.7952 -0.7848 -1.2631 0.6667 -1.3926 -1.3006 -0.6050 -1.4886 0.5585 -0.2774 -1.2937 -0.8884 -0.9865 -0.0716 -2.4146 -0.6943 -1.3914 0.3296 0.5985 0.1472 -0.1014 -2.6350 0.0281 -0.8763 -0.2655 -0.3276

23、 -1.1582 0.5801 0.2398 解：解：m0，1，2，31， -8.3616 -8.4490 -4.7632 -14.8790 -10.2133 -8.9631 -3.3311 -0.2437 -6.0552 -8.3865 -1.9347 -0.5719 2.9056 -5.7073 -8.3077 -3.6703 0.9056 6.0135 0.8455 -7.4941 -3.6328 0.1701 -0.6744 3.5639 -7.0097 -6.2179 -5.8643 -1.0161 -2.4329 -7.3548 -12.3369 -5.1030 -0.2913 -

24、0.2943 -0.1659 -0.5183 -0.3558 -0.3122 -0.1160 -0.0085 -0.2109 -0.2922 -0.0674 -0.0199 0.1012 -0.1988 -0.2894 -0.1279 0.0315 0.2095 0.0295 -0.2611 -0.1266 0.0059 -0.0235 0.1242 -0.2442 -0.2166 -0.2043 -0.0354 -0.0848 -0.2562 -0.4298 -0.177810)()()()(nnnnxynrmnynxmr21)0()0()()(yyxxxyxyrrmrm706.28)(mr

25、xy 如图如图4.3所示，相干函数都是在所示，相干函数都是在1，1的范围的范围内。在内。在matlab中求线性相干函数则用：中求线性相干函数则用： ) ,(coeffyxxcorr2.频域相干函数频域相干函数（magnitude-squared coherent function）也称为幅值平方相干函数，设有两个信号，它也称为幅值平方相干函数，设有两个信号，它们的幅值平方相干函数定义如下：们的幅值平方相干函数定义如下：)()()()(2kpkpkpkyxxyxy表示两个信号的互功率谱表示两个信号的互功率谱. 为各自的功率谱为各自的功率谱.)(kpxy)(),(kpkpyx的取值范围为的取值范围

26、为01之间之间.)(kxy=1, 说明两个信号是完全相干的，即一个信号可说明两个信号是完全相干的，即一个信号可以完全由另外一个信号决定；以完全由另外一个信号决定； =0, 这两个信号不相干这两个信号不相干,即这两个信即这两个信号是完全独立的；号是完全独立的； 在在(01),说明这两个信号存在部分相干性说明这两个信号存在部分相干性,即即非线性关系或者有外界的干扰存在。非线性关系或者有外界的干扰存在。 可见，频域相干函数可以从频域上表示可见，频域相干函数可以从频域上表示两个信号各频率成分互相关联的程度。两个信号各频率成分互相关联的程度。 【例【例4-7】设有两个信号】设有两个信号 和和 ,测量这两

27、个信号测量这两个信号时，假设含有了不相关的噪声时，假设含有了不相关的噪声 和和 ,即测量即测量得到的两个信号为得到的两个信号为 和和 ,比较理想信号和测量信号的幅值相干函数。比较理想信号和测量信号的幅值相干函数。)(nx)(ny)(1nw)(2nw)()()(11nwnxns)()()(22nwnyns解：设解：设 和和 的功率谱分别为的功率谱分别为 ,互功率谱互功率谱 为为 ,理想的相干函数为理想的相干函数为)(nx)(ny)(),(kpkpyx)(kpxy)()()()(2kpkpkpkyxxyxy1)(1)(1)()(1222kynkxnkykxn 设噪声的功率谱为设噪声的功率谱为 由于

28、信号和噪声不相关，则噪声和信号的互相关函数由于信号和噪声不相关，则噪声和信号的互相关函数为零为零,因此测量信号的功率谱和互功率谱为：因此测量信号的功率谱和互功率谱为：)(),(21kpkpww)()()(11kpkpkpwxs)()()(22kpkpkpwys)()(2)()( 1)(1)()(1)(2121kpkwkykwkxnksksnkpxyss因此测量信号的幅值相干函数：因此测量信号的幅值相干函数：)()()()(2122121kpkpkpkssssss)()()()()(212kpkpkpkpkpwywxxy)()(1)()(1)()()(212kpkpkpkpkpkpkpywxwy

29、xxy)()()()()()()()(1 12121kpkpkpkpkpkpkpkpywxwywxw由于功率谱是非负的，因此上式满足由于功率谱是非负的，因此上式满足1)(21kss 例例4-7就是在有不相关噪声干扰下，频域相干函数将就是在有不相关噪声干扰下，频域相干函数将小于小于1。一般我们能得到的信号都是测量信号而非理想。一般我们能得到的信号都是测量信号而非理想信号，因此要从测量信号的相干曲线来判断理想信号各信号，因此要从测量信号的相干曲线来判断理想信号各频率成分互相关联的程度。频率成分互相关联的程度。【例4-8】设信号)()1()(nrnnnxn)()(nnrnyn 假设观测时引入的噪声均

30、为白噪声，它们的功率谱密度都为1；观测记录n10点，比较理想信号和观测值的幅值相干函数。解：解：matlab程序如下程序如下：n=10;n=0:n-1; x=n-1:-1:0;y=0:n-1;px=abs(fft(x).2/n; py=abs(fft(y).2/n;pxy=abs(conj(fft(x).*fft(y)/n).2;rxy=pxy./(px.*py);r=1./(1+1./px+1./py+1./(px.*py);figure(1); subplot(1,2,1); stem(n,px);xlabel(k);title(x(n)功率谱功率谱)subplot(1,2,2);stem

31、(n,py);xlabel(k);title(y(n)功率谱功率谱)figure(2);subplot(1,2,1);stem(n,rxy);xlabel(k);title(理想相干函理想相干函数数)subplot(1,2,2);stem(n,r);xlabel(k);title(有白噪干扰的相干函数有白噪干扰的相干函数) x和和y信号的功率谱图信号的功率谱图理想的和有干扰的频域相干函数理想的和有干扰的频域相干函数.线性卷积（linear convolution） 1. 定义定义 nxynmynxmc)()()()()()(nynxmcxy 线性卷积运算的简洁表示为：线性卷积运算的简洁表示为：

32、)()()()(mckykmxmcyxkxym取取-（n-1），。），。0，1，2，n-1。2. 意义意义 线性卷积对应频域（线性卷积对应频域（dtft）相乘）相乘. 3.计算计算 公式法公式法 表格法表格法 图形法图形法参看例题参看例题4-10,4.9 程序法程序法:c=conv(x,y) 用矩阵的形式来表达线性卷积用矩阵的形式来表达线性卷积 10)()()(nnxynmynxmc) 1() 42() 32() 22() 0() 2() 1() 3() 1() 2() 2() 0() 1() 1() 1 () 0() 1() 1 () 0(nynynynyynynynyyynyyynyyyn

33、xxx) 1(000)0(00)3(00)2()0(0) 1() 1 ()0() 1() 1 ()0(nyynynyynyyynxxx 线性卷积和相关的关系：线性卷积和相关的关系：)()()()()(10mymxnmynxmrnnxy检验：检验： x=1:10; y=1:10; invy=fliplr(y);c=conv(x,invy);r=xcorr(x,y);c-rans = 1.0e-013 *-0.0711 0 0.0711 0.1421 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1421 0.0711 0 -0.0711.循环卷积循环卷积（circular convolutio

34、n）1. 定义：定义： 10)()()()(nnnnxynrnmynxmc)()()(nynxmcxy由于循环移位的关系最后得到的循环卷积的长度由于循环移位的关系最后得到的循环卷积的长度就是就是n点，点，m取取0，1，2，n-1。2.意义意义 循环卷积在频域是相乘（循环卷积在频域是相乘（dft变换对）变换对）. 3.计算计算 公式法公式法 表格法表格法 图形法图形法参看例题参看例题4-11,4.12 程序法程序法: 用矩阵的形式来表达循环卷积：用矩阵的形式来表达循环卷积：10)()()()(nnnnxynrnmynxmc)0()2() 1 ()2()0() 1() 1() 1 ()0() 1(

35、) 1 ()0(yyynyynynyyynxxx计算得到一个计算得到一个n点长的行向量，也就是对点长的行向量，也就是对应，应，m0，1，（，（n1）下面给出下面给出matlab中的循环右移的函数中的循环右移的函数circler（）：（）：function v=circler(y)n=length(y);v=zeros(n,n);for i=1:n for j=1:n v(i,j)=y(j); end l=y(n); for k=n:-1:2 y(k)=y(k-1); end y(1)=l; end v=v;给定序列给定序列x和和y，计算过程：，计算过程：vcircler（y）；）；rx*v；即

36、可。如果和的长度不同，则把短的序列进行补；即可。如果和的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两者点长相同，然后计算同上。零，使得两者点长相同，然后计算同上。 第六节第六节 相关函数和功率谱估计相关函数和功率谱估计估计一般有两类方法：估计一般有两类方法：1.参数估计，假设被估计者具有一定的解析式，参数估计，假设被估计者具有一定的解析式，估计其未知参数。估计其未知参数。2.非参数估计，对每一个延迟值都估计一个非参数估计，对每一个延迟值都估计一个r（m）。）。一一 相关函数的估计：相关函数的估计：1.直接法估计相关函数直接法估计相关函数2.fft法估计相关函数法估计相关函数二二 功率谱的估计：功率谱

37、的估计：1.自相关法；自相关法；2. 周期图法；周期图法；3. 改进法改进法一、直接法估计相关函数一、直接法估计相关函数l根据定义用有限样本来进行估计：根据定义用有限样本来进行估计：xxn1lim)m(r1n0nmnnnx假设只有假设只有n个数据，估计公式为：个数据，估计公式为：, 2, 1, 0m,xxn1)m(r1mn0nmnnx1mnn1nmnxmn不超过数据长度为保证相关函数估计的质量：相关函数估计的质量：偏差：看估计的均值，是有偏估计，但偏差：看估计的均值，是有偏估计，但是渐进无偏。是渐进无偏。方差：估计的方差当方差：估计的方差当n无穷时，趋于零。无穷时，趋于零。因此该估计法是一致估

38、计。因此该估计法是一致估计。否与真实值相等？多个样本的估计平均是偏差：)m(rnmnxexn1)m(re1.x1mn0nmnnx)n(r0)m(renmm)m(r)m(re,nxxxx，偏差了时，越大，偏差越大，2. 方差：证明高斯情况下估计的方差趋于零。方差：证明高斯情况下估计的方差趋于零。)m(re)m(re)m(rvarx22xx证明：)m(re)m(re)m(rvarx22xx)m(rnmn)m(rexx1mn0i1mn0jmjjmi22xxxxxen1)m(reixexxxexexxxexexxxexxxxemijmjimjmijimjjmimjjmiii对零均值高斯变量有：)mji

39、 (r)mji (r) ji (r)m(rxx2x2x1mn0i1mn0jxx2x2)mji (r)mji (r) ji (rn11mn0i1mn0jxx2x2x)mji (r)mji (r) ji (rn1)m(rvar令令lij，1mnl) 1mn(则当当 l0，即，即ij，则共有，则共有nm项求和项求和 当当 l1，即，即ij1，则共有，则共有nm1项求和项求和 当当 l nm1 ，即，即ij nm1 ，则只有，则只有1项求和项求和 当当 l （nm1） ，即，即ij （nm1） ，则也只有，则也只有1项求和项求和 总结有（总结有（nml） 项求和项求和 1mn1)mn(lxx2x1mn

40、1)mn(lxx2x2x)m(r)m(r)(rn)m(nn1)m(r)m(r)()rm(nn1)m(rvarllllllll当当n趋于无穷时上式将趋于零趋于无穷时上式将趋于零1mn0i1mn0jxx2x2x)mji (r)mji (r) ji (rn1)m(rvar二、二、fft法估计相关函数法估计相关函数n较大时，把求相关转为求卷积：较大时，把求相关转为求卷积：)k(g)k(fn1 )n(g)n(dftf)n(g)n(f n1)n(g)n(f(m)ridftn1)k(x)k(xdft)n(xx2得到三、自相关法估计功率谱三、自相关法估计功率谱l随机信号的功率谱反映它的频率成分以及随机信号的功

41、率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱。各成分的相对强弱。l经典估计法：先估计相关函数，然后傅立经典估计法：先估计相关函数，然后傅立叶变换；对信号傅立叶变换后求模平方。叶变换；对信号傅立叶变换后求模平方。l估计的方差特性不好，起伏剧烈，数据越估计的方差特性不好，起伏剧烈，数据越长越严重。长越严重。mj1n)1n(mxmjmxjx1mn0nmnnxe )m(re )m(r)e (p,xxn1)m(r实际计算时，先计算出实际计算时，先计算出2n-1个相关函数值，个相关函数值，m从从-（n-1）到）到n-1，把，把-（n-1）到）到-1移动到移动到n-1后，然后对这些数据进行后，然后对这些数据进行

42、fft计算。计算。四、周期图法估计功率谱四、周期图法估计功率谱l周期图法和自相关法结果是一致的周期图法和自相关法结果是一致的证明：定义证明：定义2jjxj)e (xn1)e (p)n(xdtft)e (x01n0n,xxnnnxxn1ft)m(rft)e (pnn-nnxjxnn2jnjnjnjx)e (xn1)e (x)e (xn1)e (pn即可。以计算，再求模平方，除然后点长补零至一致，把为使得结果与自相关法nfft,1-2nx功率谱估计的质量功率谱估计的质量偏差：看估计的均值，是有偏估计，但是渐进偏差：看估计的均值，是有偏估计，但是渐进无偏。无偏。方差：估计的方差当方差：估计的方差当n

43、无穷时，估计值不会趋无穷时，估计值不会趋于零。于零。因此该估计法不是一致估计。因此该估计法不是一致估计。mmj -xmj -mxjxe)m(ree )m(re)e (pe1.偏差： 1n),1n(m,e )m(rnmn)e (pe)m(rnmn)m(remmj -xjxxx2jnn)2sin2nsin(n1)e (vdtft,0,nm,nm1(m) v其它设mmj -xjxe )m(rnmn)e (pe(m)v)m(rft(m)e v)m(r)e (penxm-jnmxjxd)e (v)e (p21)e (pe)j(njxjx，上式化为时域相乘等于频域卷积 从时域上看，是相关函数乘以了三角窗函

44、数，从时域上看，是相关函数乘以了三角窗函数，使得该估计为有偏估计；从频域看，真实功率使得该估计为有偏估计；从频域看，真实功率谱被窗口谱所卷积。谱被窗口谱所卷积。 当当n无穷时，窗口谱趋于冲击函数，所以是渐进无穷时，窗口谱趋于冲击函数，所以是渐进无偏。无偏。 为防止加窗造成的泄漏效应，窗口谱的主叶宽为防止加窗造成的泄漏效应，窗口谱的主叶宽要小于真实谱中最窄峰宽要小于真实谱中最窄峰宽b，即，即4pif/nb,观测观测点多点即可。点多点即可。(m)v)m(rft(m)e v)m(r)e (penxm-jnmxjxd)e (v)e (p21)e (pe)j(njxjx2. 方差：证明高斯情况下估计的方

45、差在方差：证明高斯情况下估计的方差在4 4x x左右。左右。)(pe)(pe)(p)(pe)(p)(pcove(x)e(y)xy(e)(ey)(x(ex(e)xy(cov2x1x2x1x2x1xy证明： 1n0l1n0k) lk(jkl2xexxn1)(xn1)(p 1n0l1n0k1n0m1 -n0n)nm(j) lk(jnmkl22x1x21exxxexn1)(p)(pe2x1n0l1n0k) lk(jklxexexn1)(pe 2. 方差：证明高斯情况下估计的方差在方差：证明高斯情况下估计的方差在4 4x x左右。左右。 其它或或当对零均值高斯变量有：0,ml , nknl ,mknm,

46、 lk,xexxxexexxxexexxxexxxxeexxxexn1)(p)(pe4xmlnknlmknmlknmlk1n0l1n0k1n0m1 -n0n)nm(j) lk(jnmkl22x1x21eenn)(p)(pe1n0m1 -n0nm)-)(n-j(1n0m1 -n0nn)-)(mj(224x2x1x2121 )2)(nsin2)(nsin()2)(nsin2)(nsin(1 22121221214x)(pe)(pe)(p)(pe)(p)(pcov2x1x2x1x2x1x证明：)2)(nsin2)(nsin()2)(nsin2)(nsin(22121221214x4x24xx21n,

47、nsinsinn1 )(pvar,时，方差趋于当nl)k(nsinl)k(sinnl)k(nsinl)k(sin)(p)(pcov,n/ l2n,/k2224x2x1x21当变化剧烈，起伏严重。值不相关，即估计结果越大时越密的两点估计当率点的估计值不相关，上式为零，说明这两频时n,lk 五、改进法估计功率谱五、改进法估计功率谱1.平均：对同一随机过程做多次周期图法，再加以平均。平均：对同一随机过程做多次周期图法，再加以平均。2.平滑：加窗对单一功率谱估计加以平滑。平滑：加窗对单一功率谱估计加以平滑。3.welch法：对改进的周期图法求均值，广泛使用法：对改进的周期图法求均值，广泛使用matla

48、b中中应用。应用。psd.m估计的质量：均值是渐进无偏，方差是趋于零，是一致估计。估计的质量：均值是渐进无偏，方差是趋于零，是一致估计。1-mk0),k(xfft2m)n(w)n(xlkn)n(xii，得到然后的幂次点长，为补零至加窗可重叠，点长的小段，段点长分成1m0n2k1iix2ii)n(wm1u)k(pku1)k(p)k(xn1)k(p归一算子求平均周期图法求功率谱.7相关技术的应用相关技术的应用 （application of correlation） 相关技术的应用基础、广泛，相关技术有相关技术的应用基础、广泛，相关技术有自相关和互相关的不同，它们分别用自相自相关和互相关的不同，它

49、们分别用自相关函数和互相关函数来定义。关函数和互相关函数来定义。 自相关函数用来研究信号本身，例如信号自相关函数用来研究信号本身，例如信号波形的同步性、周期性等；波形的同步性、周期性等； 互相关函数用来研究两个信号的同一性程互相关函数用来研究两个信号的同一性程度度;例如测定两信号间的时间滞后或从噪例如测定两信号间的时间滞后或从噪声中检测信号，如果两个信号完全不同，声中检测信号，如果两个信号完全不同，则互相关函数接近于零，如果两个信号波则互相关函数接近于零，如果两个信号波形相同，则在提前、滞后处出现峰值。形相同，则在提前、滞后处出现峰值。 对于对于确定信号的自相关函数为：的自相关函数为： 如果信

50、号是如果信号是随机的或周期的，其自相关，其自相关函数定义为：函数定义为： (4-23)(nxnxxmnxnxmr)()()(10)()(1lim)(nnnxxmnxnxnmrl 信号为正弦波的自相关函数信号为正弦波的自相关函数设，周期为设，周期为m，则自相，则自相关函数为关函数为)sin()(0nanx10000)sin()sin(1lim)(nnnxxmnananmr )22cos()cos(21lim100002nnnmnman)cos(202ma)()(mrmmrxxxx即，周期信号的自相关函数和原来的信即，周期信号的自相关函数和原来的信号有同样的周期，号有同样的周期，l 信号为白噪声的自相关函数信号为白噪声的自相关函数设有一功率谱为的白噪声，则自相关函数设有一功率谱为的白噪声，则自相关函数为：为：利用上面的自相关函数性质，当观测信号利用上面的自相关函数性质，当观测信号中包含了周期信号和白噪声时，即中包含了周期信号和白噪声时，即如果信号和噪声互不相关，则自相关函数为：如果信号和噪声互不相关，则自相关函数为：2)()(2mmr)()()(nwnsnx)(nx)(ns)(nw)()()(mrmrmrww