级上续平面曲线曲率PPT课件

1、一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxA基点基点,),(为任意一点为任意一点yxM规定：; )1(增大的方向一致增大的方向一致曲线的正向与曲线的正向与 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM第1页/共18页).(xss 单调增函数),(yyxxN 设设如图，NTMTMNMN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0,)(为单调增函数

2、为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo.222dydxds 第2页/共18页二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义1 )第3页/共18页) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线C是光滑的，.0是基点是基点M, sMM （. 切线转角为切线转角为MM定义定义sKs 0lim曲线C在点M处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 第4页/共

3、18页2.曲率的计算公式注意: (1) 直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds 第5页/共18页,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 第6页/共18页例例1 1?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然,2时时当当ab

4、x .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率第7页/共18页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例2 2第8页/共18页.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRl

5、y的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl第9页/共18页xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证证如图的负半轴表示直道，的负半轴表示直道，x.,是圆弧轨道是圆弧轨道是缓冲段是缓冲段 ABOA（在缓冲段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率实际要求,0 xl l第10页/共18页20210 xRlyxx 有有221

6、lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的曲率为的曲率为故在终端故在终端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl第11页/共18页三、曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率

7、中心曲率中心 D.曲率半径曲率半径 xyo第12页/共18页1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).第13页/共18页例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图,受力分析,PQF 视飞行员在点o作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径第14页/共18页002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率为.200010 xxk曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5 .641千克力千克力 即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.第15页/共18页四、小结运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲