线性代数复习题PPT课件

1、行列式行列式 是不同行不同列上的元素乘积项(共n!项)的代数和.它是一个数. 每一乘积项的正负号由各元素所在的行下标与列下标的排列的奇偶性所决定.第1页/共64页计算行列式的方法计算行列式的方法 按定义计算;(一些特殊的行列式:上三角,下三角,对角形) 利用行列式性质: 其中最重要的性质:行列式中某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去,行列式的值不变. 用展开定理降阶;第2页/共64页计算下列行列式：第3页/共64页矩阵 概念:由mn个元素排成m行n列的数表称为m n矩阵. 运算:加法,数乘,乘法,逆矩阵; 矩阵可以相乘的条件:前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数. 矩阵的乘法不符合交换律.第

2、4页/共64页逆矩阵只有方阵才讨论它的逆矩阵只有方阵才讨论它的逆矩阵;方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法:伴随矩阵法伴随矩阵法; 初等行变换法初等行变换法.用两种方法求A的逆矩阵。第5页/共64页设求解矩阵方程：矩阵乘法不符合交换律矩阵乘法不符合交换律,左乘和右乘的结果不同左乘和右乘的结果不同证明：设方阵A满足：问A是否可逆？逆矩阵A与伴随矩阵A*之间的关系第6页/共64页向量的线性相关性与线性表示给定向量组A:如果存在一组不全为零的实数：则称向量组A是线性相关线性相关的.否则称它是线性无关线性无关的.给定向量组A:如果存在一组实数则称向量可由线性表

3、示线性表示。第7页/共64页判断线性相关性的方法1.按定义判别,作研究是否存在非零解,使上式成立.2.用秩判断：若则线性相关.则线性无关.3.利用定理;一个向量线性相关的充要条件是该向量为零向量；两个向量线性相关的充要条件是这两个向量成比例;n个n维向量线性相关的充要条件是：n+1个n维向量必线性相关;第8页/共64页利用定理判断向量的线性相关性向量组向量组线线性相关的充要条件是其中至少性相关的充要条件是其中至少有一个向量（不一定每一个向量）可由其余向量有一个向量（不一定每一个向量）可由其余向量线性表示。线性表示。如果向量组中部分向量线性相关，则该向量组如果向量组中部分向量线性相关，则该向量组

4、线性相关。线性相关。如果向量组线性无关，则它的任一部分向量也如果向量组线性无关，则它的任一部分向量也线性无关线性无关!第9页/共64页例例研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 第10页/共64页整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 第11页/共64页解二解二,201,520,321

5、321 ,253022101),(321 A矩阵矩阵第12页/共64页 000220101253022101初等行变换初等行变换A., 32)(321线线性性相相关关故故向向量量组组 AR第13页/共64页102,321,100,110,11154321线性无关.01111011001 必线性相关可作为三维向量空间的一组基。在基下的坐标？第14页/共64页利用定理判断向量的线性相关性设向量组可以由向量组线性表示,且则向量组必线性相关.若向量组可以由向量组线性表示,且线性无关，则第15页/共64页秩的概念 向量组的秩:最大线性无关组包含的向量的个数. 矩阵的秩：矩阵中不为零的子式的最大阶数； 矩

6、阵的秩= 矩阵列向量组的秩=矩阵行向量组的秩; 秩可用于判断向量组是否线性相关。 求秩的方法:用子式判断,非零子式的最大阶数;用初等行变换将矩阵化成阶梯形，其非零行的个数就是矩阵的秩。 第16页/共64页设向量组A与向量组B的秩相同,且A组能由B组线性表示,证明A组与B组等价.只须证B组可由A组线性表示即可.用反证法.矛盾矛盾.证: 设若B组不能由A组线性表示,则在B中至少存在一个向量不能由A组线性表示,构造向量组但C组可由B组线性表示,第17页/共64页齐次线性方程组理论 齐次线性方程组 AX=0, A为mn 矩阵 解的存在性： AX=0总有解，X=0是它的一个解。 当R(A)=n时， 方程

7、组有唯一零解 当R(A)n时， 方程组有无穷多解.第18页/共64页齐次线性方程组理论解的结构：若R(A)=rn,则方程组的解向量集合是一个向量空间方程组的解向量集合是一个向量空间, 它的一组基也称为基础解系，它的维数是n-r，即基础解系由n-r个线性无关的解向量构成。通解的形式：是它的基础解系，且线性无关。 齐次线性方程组的任一个解都是基础解系的线性组合.为任意实数第19页/共64页即求AX=0的两个线性无关的解向量.10 0181181285811得基础解系80111 085121或者800811511B第20页/共64页8259312220153122201531222015110811

8、20,085121对应的方程组:-8x1 +x3-x4=0-5x1+x2 -2x4=0 x2=5x1+2x4x3=8x1+x4第21页/共64页1120,085121281181280111,085121第22页/共64页非齐次线性方程组理论 非齐次线性方程组 AX=b, A为mn 矩阵 解的存在性：方程组有解R(A)=R(A,b) 当R(A)=R(A,b)=n时， 方程组有唯一解。 当R(A)=R(A,b)=rn时，方程组有无穷多解.第23页/共64页非齐次线性方程组理论解的结构：方程组的任一解可以表示为一个特解加上AX=0的一个解.通解的形式：为任意实数是AX=0的基础解系.是AX=b的特

9、解方程组的全部解就是它的一个特解加上AX=0的全部解.第24页/共64页设线性方程组AX=b有m个方程,n个未知元,则( )正确.A. 若AX=0仅有零解,则AX=b有唯一解;B. 若AX=0有非零解,则AX=b有无穷多解;C. 若AX=b 有无穷多解,则AX=0仅有零解;D. 若AX=b有无穷多解,则AX=0有非零解.第25页/共64页求解线性方程组的方法 将增广矩阵化成行最简形； 写出基础解系； 写出特解； 全部解就是基础解系的一切线性组合加上特解。第26页/共64页求解方程组:第27页/共64页0153221112112112313401221112112112000101可以验证：全部

10、解（通解）是：k是任意实数。第28页/共64页 . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解a解法一系数矩阵的行列式为A第29页/共64页aaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa第30页/共64页., 0,21方程组有非零解方程组有非零解时时或者或者当当 Aaa:,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当Aa 10000000001001011323111121211111.,0

11、1014321为任意常数为任意常数kkxxxxx 从而得到方程组的通解第31页/共64页 00000300101011112323121121211111,2化为化为之变换可把之变换可把由计算由计算时时当当AAa 0000010010100001第32页/共64页 aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形A第33页/共64页., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 ARaa 2000010010101111aa第34页/共64页.,1010 4321为

12、为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx 第35页/共64页设A，B都是n阶矩阵，且AB=O，证明：将B看作n个列向量组成，由AB=O，可知B的每一列向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量。设R(A)=r,则AX=0的解空间的秩为n-r.B的列向量都属于AX=0的解空间。所以利用上一题的结果，可证：若|A|=0，则|A*|=0第36页/共64页矩阵的特征值与特征向量设A是n阶方阵，如果存在实数和n维非零向量使 则称是方阵A的特征值特征值是方阵A的对应于特征值的特征向量特征向量。方阵A的特征值是确定的，而特征向量是不唯一的。第37页/共64页特征值与特征向量的

13、求法特征值的求法：构造行列式求特征值就是求多项式的根。一般用因式分解法。特征向量的求法：即求方程组的非零解.对应于一个特征值，可能有多个线性无关的特征向量。对应于不同的特征值的特征向量是线性无关的。矩阵A与特征值的关系：第38页/共64页设方阵A满足A2=A,证明A的特征值只有0或1.第39页/共64页矩阵相似 设A，B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使 P-1AP=B，则称A与B相似。 相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式、相同的迹，相同的秩。第40页/共64页10000002,10100002yBxA若A与B相似，求x,y的值。|A|=-2,|B|=-2y, 所以y=

14、12+x=2+y-1,所以x=0.A的特征向量：110,110,001321第41页/共64页相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化 若矩阵A有n个不同的特征值，则A与对角矩阵相似。 若矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角矩阵相似。 n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。第42页/共64页相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化若n阶方阵A有n个不同的特征值：则A与对角矩阵相似。方阵A的r重特征值对应的特征向量不超过r个。方阵A可对角化的充分必要条件是A的每个ri重特征值都有其对应的ri个线性无关的特征向量。第43页/

15、共64页实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化 若A是实对称矩阵，则A的特征值是实数。 若A是实对称矩阵，则A的属于不同特征值的特征向量是正交的。 实对称矩阵必可对角化。对实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使其中是A的特征值。第44页/共64页实对称矩阵A的对角化求A的特征值，可得与A相似的对角矩阵求A的特征向量，将A的特征向量作为矩阵P的列向量，可得相似变换矩阵P，将矩阵P正交化，单位化，（即将A的特征向量进行正交化，单位化），可得正交变换矩阵Q，P，Q不唯一。第45页/共64页二次型设A为n阶实对称矩阵，X为n维变向量，则称为二次型。若对均有称为正定二次型,相应的矩阵A称为正定矩阵.若

16、对均有称为负定二次型,相应的矩阵A称为负定矩阵.二次型矩阵A必与对角矩阵相似.第46页/共64页二次型设A为二次型矩阵,则存在可逆矩阵P,使特别存在正交矩阵Q,使为平方和形式.是A的特征值。若A的特征值全大于0,则A是正定矩阵.若A的特征值全小于0,则A是负定矩阵.第47页/共64页涉及重要概念的习题 概念：线性方程组理论；向量线性相关性；特征值与特征向量； 计算：行列式；矩阵；解方程组；求特征值与特征向量；正交化；第48页/共64页第49页/共64页设是否可由线性表示？若可以，则表示式是否唯一？是否有解，有解是否唯一？第50页/共64页653352291, :xxx可解得第51页/共64页方

17、程组AX=0的基础解系？A的特征值和特征向量？第52页/共64页A的全部特征值：A的全部特征向量：第53页/共64页.),(0,)2(?)1(.00221100不可对角化不可对角化证明证明且至少有一且至少有一如果如果可对角化可对角化在什么条件下在什么条件下阶下三角阵阶下三角阵是是设设AjiaaaaAnAjinn 例8例8七、判断方阵可否对角化A解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值AAAn第54页/共64页,02211 aaaAnnAEfA )(, 0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaan

18、n ).1(niaAiii 的所有特征值的所有特征值得得.,), 2 , 1,( 可对角化可对角化时时即当即当时时当当Aaanjijijjiiji , 0)( fA令令第55页/共64页.)2(用用反反证证法法.)1(),(,211的特征值的特征值是是使使则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵可对角化可对角化若若AnidiagAPPPAin 所以所以可知可知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP 第56页/共64页,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000对角化对角化不可不可故故矛盾矛盾这与至少有一个这与至少有一个Ajiaji 第57页/共64页.,0202120221为对角阵为对角阵使使求正交变换求正交变换设实对称阵设实对称阵ATTT