线性代数与空间解析几何哈工大幻灯和习题PPT课件

1、说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 第1页/共34页2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA 30,()ijijAAABABab 记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵第2页/共34页1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、数与矩阵相乘规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA第3页/共34页 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、

2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设 为 矩阵， 为数） ,nm BA、第4页/共34页1、引例111213212223aaaAaaa产品 一厂二厂111221223132bbBbbbb单位 单位 价格 利润总收入 总利润11122122ccCcc一厂二厂可见 c11=a11b11+a12b21+a13b31 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j第5页/共34页2、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作C=A

3、B设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB第6页/共34页例例222263422142 C22 16 32 816设 415003112101A 121113121430B例例2 2?第7页/共34页故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10第8页/共34页注意注意1只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如不存在.注意2：AB的

4、行数=A的行数；AB的列数=B的列数第9页/共34页 123321 132231 .10 练习：321231 3692461231、2、12 22 1 11 213 23 3 32 31 3第10页/共34页3、332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 第11页/共34页11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa

5、 xa xba xa xa xb4、线性方程组1112111212222212A=,nnmmmnnmaaaxbaaaxbXbaaaxb记则有AX=b第12页/共34页注意注意3矩阵不满足交换律，例3 设 1111A 1111B则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故如前练习题1、2即一般地ABBA第13页/共34页但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 此时称矩阵A、B可交换。第14页/共34页注意注意4矩阵不满足消去律，即：（1）若AB=AC，A0不能推出B=C（2）若AB=0不能推出A=0或B=0例4 设0 01 121

6、,2 11 11 1ABC0033ABAC则第15页/共34页、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中 为数）; ;4AEAAE 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m注意:一般地 (AB)kAkBk第16页/共34页定义定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . AAA例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的其它运算第17页/共34页转

7、置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 证(4)：首先据矩阵乘法定义可见左右两边是同型阵；其次证明两边矩阵的对应元素相等。因为(AB)T位于第i行第j列的元素=AB位于第j行第 i列的元素=A位于第j 行的元素与B位于第i列对应元素的乘积之和= BT位于第i行的元素与AT位于第j列对应元素的乘积之和=BTAT位于第i行第j列的元素第18页/共34页例例5 5 已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB第19页/共34

8、页解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 第20页/共34页2、方阵方阵的行列式的行列式定义定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 第21页/共34页111111110000|11nnnnnnnnaaaaABbbbb 111111111111121200001010nnnncbcbcnn nnnnn naacaacbbbb 记C=AB，构造一个2n阶行列式第22页/共34页1111111110010

9、0nnnnnnnnaaccaacc=(-1)n|C|(-1)n=|AB|第23页/共34页3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612.称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.说明说明第24页/共34页例例6 6 设列矩阵 满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明证明 TTTXXEH2 TTTXXE2

10、,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 第25页/共34页例例7 7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以C为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以B为反对称矩阵.22TTAAAAA ,22BC 命题得证.第26页/共34页定义定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 称为矩阵 的伴随矩阵

11、.A第27页/共34页 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOO证明证明第28页/共34页故AA.EA 同理可得1nkikjkA AA a .EA 第29页/共34页五、小结矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵第30页/共34页（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律、消去律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵