线性微分方程组解存在唯一性定理PPT课件

1、 掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。 熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。本节要求本节要求/Requirements/第1页/共29页5.1.1 5.1.1 记号与定义记号与定义/Symbol and Definition/Symbol and Definition/ ),(),(),(2121222111nnnnnxxxtfxxxxtfxxxxtfx一阶微分方程组一阶微分方程组初值条件初值条件nntxtxtx )( , ,)(

2、 ,)(0202101 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第2页/共29页 )()()()()()()()()()()()(22112222221212112121111tfxtaxtaxtaxtfxtaxtaxtaxtfxtaxtaxtaxnnnnnnnnnn一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组(5.1)上连续在，,)(),(banjitftaiij 21 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第3页/共29页

3、)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatnnnnnnA.(5.2)()()()(21tftftftnfnxxx21x(5.3)nxxxdtd21xx)()(ttdtdfxAxx.(5.4) 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第4页/共29页 bta)()()()()()()()()()(212222111211tbtbtbtbtbtbtbtbtbtnnnnnnB)()()()(21tutututnu可定义矩阵与向量函数可定义矩阵与向量函数n

4、nijtbt)()(BTntututut)(,),(),()(21u在区间在区间连续连续:)(tbij)(tuibta连续。连续。在区间在区间可微可微:)(tbij)(tuibta可微。可微。在区间在区间nnijtbt)()(BTntututut)(,),(),()(21u可积可积:)(tbij)(tuibta可积。可积。在区间在区间 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第5页/共29页nnijdttbdtt)()(BTndttudttudttudtt)(,)(,)()(21u)()() )()( )

5、1ttttBABA)()() )()(ttttvuvu)()()()() )()( )2ttttttBABABA)()()()() )()( ) 3ttttttuAuAuA 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第6页/共29页上的连续上的连续 维向量，方程组维向量，方程组btann),( bat t上连续且满足上连续且满足)()()()(ttttfuAu定义定义1 1 设设)(tA是区间是区间上的连续上的连续矩阵，矩阵，)(tfbtan是区间是区间)()(ttdtdfxAxx.(5.4)在某区间在某区间

6、的解就是向量的解就是向量)(tu在区间在区间 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第7页/共29页定义定义2初值问题初值问题(Cauchy Problem)xfxAxx)()()(0tttdtd.(5.5)的解就是方程组的解就是方程组(5.4)在包含在包含 tt 的区间0使得使得u)(0t),(tu上的解 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第8页/共29页例例1 1 验证向量验证向量tteet)(u是初值问题是

7、初值问题 1100110)(xxx在区间在区间t上的解。上的解。解解 ,)(tteetutttteeee0110 00)0(eeu11因此因此 是给定初值问题的解。是给定初值问题的解。)(tu 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第9页/共29页5.1.2 n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价例例1)()()(tfxtqxtpx 21xxx xx2令令 ,1xx ,2xx)()()(21221tfxtpxtqxxx)()()(tfxtqxtp 010)()()

8、(tftptqxx解解 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第10页/共29页)()()(tfxtqxtpx 010)()()(tftptqxx)(tx )()(ttx满足满足解解构造构造向量向量)()()()()()(tfttqttpt )()(tt)()()()()()(tfttqttpt 010)()()()()(tftttptq202101)(,)(txtx2010)(,)(txtx 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Line

9、ar ODEs 第11页/共29页)()()(tfxtqxtpx 010)()()(tftptqxx 21)()(ttx)()()()()()(tfttqttpt 111 21)()(tt)()()()()()(tfttpttqt212 01021)()()()()(tftttptq解解满足满足202101)(,)(txtx2010)(,)(txtx)(tx1 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第12页/共29页)()()()()()(tfxtaxtaxtaxnnnn 111令令)1(321 , ,

10、, , nnxxxxxxxx21xxx32xxx nnnxxx )1(1)()()()(1211)(tfxtaxtaxtaxxnnnnn 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第13页/共29页 000100001000010121)()()()()(tftatatatannxx 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第14页/共29页 nnnnnntxtxtxtfxtaxtaxtax)(,)(,)()()()()(

11、)()()(012010111(5.6)xxxnnnttftatatata210121 000100001000010)()()()()()(等价等价(5.7)(t)()()()(tttn 1 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第15页/共29页例例2txtx txsin 25321xxx xx2令令 ,1xx ,2xxttxxtxxxsin21222135 035102tttsinxx10 00)()(xx将初值问题将初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题。化为与之等价的一阶方程组的初值问题。解

12、解txtx tsin253001)(x102)(x 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第16页/共29页例例3212xxx 22xx21221xxxxx 1110 xx将下列方程组化为高阶方程将下列方程组化为高阶方程解解0222 xxx2211xxxx注意注意：不是所有方程组都可化为高阶方程：不是所有方程组都可化为高阶方程 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第17页/共29页5.1.3 存在唯一性定理存在唯一

13、性定理初值问题初值问题(Cauchy Problem)xfxAxx)()()(0tttdtd.(5.5) 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第18页/共29页定理定理1 1nnt是)(Af (t)是是 n 维列向量，维列向量，bta上连续，则对于区间上连续，则对于区间bta上的任何数上的任何数0t及任一常数向量及任一常数向量方程组方程组(5.5)存在唯一存在唯一解解xnt210)(定义于整个区间定义于整个区间bta上，且满足初始条件上，且满足初始条件x)(0t)(t 如果如果矩阵，矩阵，它们都在区间它

14、们都在区间 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第19页/共29页现取现取 )(t0，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：，构造皮卡逐步逼近向量函数序列： 010,)()()()()(ttkkdssssttfA 向量函数向量函数)(tk 称为称为(5.4)(5.4)的第的第 k k 次近似解。次近似解。, 21 kbta 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第20页/共29页例例4 求方程组的初值问题求方程组的初值问题

15、000 101101)(xxxxdtd的二次近似解。的二次近似解。000)(t dttt011000110100)( dtt010t0解解令令 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第21页/共29页dtttt02100110100)( dttt010tt2210 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第22页/共29页5.1.4 简单方程组的消元法简单方程组的消元法例例5 求解方程组212211223xxxxxx

16、1223xx解解关键关键：保留一个未知函数，消掉另一个未知函数)(22121xxx)(22121xxx 2222222321xxxxx )()(02222 xxx 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第23页/共29页02222 xxxtetcctx)()(212)(22121xxx)()()(ttetccetccctx21221121tetccctx)()(22112221方程组的解为tetccctx)()(22112221tetcctx)()(212 5.1 E 5.1 Existence &

17、; Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第24页/共29页例例6 求解方程组xydtdyydtdx2解解：保留一个未知函数 x，消掉另一个未知函数 ydtdydtxd222221)(dtdxxdtxdpdtdx21pxdtdp21pxdtdxdxdp012pxdxdpp 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第25页/共29页012pxdxdpp01 0pxdxdpp,0 xdxpdpxcp1xcdtdx1tcecx12xydtdyydtdx2tceccy121另外，由0pcx 0y方程组的解为tcecx12tceccy121 5.1 E 5.1 Existence & Uniqueness Theorems of of Linear ODEs 第26页/共29页练习：练习：2 求方程组的初值问题求方程组的初值问题 010 101201)(xxxxdtd的二次近似解。的二次近似解。1 P.1