线性代数向量及其线性运算PPT课件

1、第1页/共54页注意：集中精力，仔细理解第2页/共54页确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组),( zyxa （VectorVector）第3页/共54页个数组成的有序数组个数组成的有序数组12,na aa 12naaa 称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量. .iai 12Tnaaa ,.,TTT记作

2、记作如：如：维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行矩阵行矩阵，也就是，也就是行向量行向量，12naaa 如：如：记作记作, , ,. .维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列矩阵列矩阵，也就是，也就是列向量列向量，（Row VectorRow Vector）（Column VectorColumn Vector）第4页/共54页、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；、当没有明确说明时，都当作实的、当没有明确说明时，都当作实的列向量列向量.第5页/共54页几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即n = 2,

3、 3 且且 F 为实数域的情形为实数域的情形. 在在 n 3 时，时，n 维向维向量就没有直观的几何意义了量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向我们所以仍称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊另一方面也由于它与通常的向量一样可以定另一方面也由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处这样一个几何的名词有好处.以后我们用小写希腊字母以后我们用小写希腊字母 ， ， 等来代表向等来代表向量量.情形，情形，第6页/共54页 第7页/共54页

4、第8页/共54页 + = + . + ( + ) = ( + ) + .3) 3) 运运算算规规律律的的几几何何验验证证运运算算规规律律的的几几何何验验证证下下面面用用 3 维维向向量量来来验验证证向向量量加加法法的的交交换换律律和和结结合合律律.用用几几何何的的方方法法求求两两个个向向量量 ， 的的和和向向量量 + 的的步步骤骤是是：把把 的的起起点点移移到到 的的终终点点，然然后后以以 的的起起点点为为起起点点，以以 的的终终点点为为终终点点作作向向量量，这这个个向向量量即即为为和和向向量量.第9页/共54页显然，对于所有的显然，对于所有的 ，都有都有 + 0 = ， + ( - ) =

5、第10页/共54页 向量的加法和数乘运算统称为向量的向量的加法和数乘运算统称为向量的显然，数域显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍上的向量经过线性运算后，仍为数域为数域 F 上的向量上的向量.第11页/共54页k ( + ) =k + k ,(k + l ) = k + l ,k ( l ) = ( kl ) ,1 = , 0 = , (-1) = - , k = .如果如果 k 0, 0, 那么那么k 0 . 第12页/共54页12TTTmA 其第其第个个列列向量向量记作记作12jjjmjaaa 12nA 个维个维行向量行向量. .按行分块按行分块111212122211nnmmmna

6、aaaaaAaaa 按列分块按列分块个维个维列向量列向量. .其第其第个个行行向量向量记作记作 12Tiiiinaaa 矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清. .第13页/共54页 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组例如例如 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj212222211112111 2 j n 1 2 j n 向量组称为矩阵向量组称为矩阵的的列向量组列向量组. .12:,nA 对于一

7、个对于一个 矩阵有个维矩阵有个维列向量列向量. .mn 12:,sA 记作：记作： .ior 第14页/共54页 aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组为矩阵向量组为矩阵的的行向量组行向量组12:,TTTmA类似的，矩阵有个维类似的，矩阵有个维行向量行向量. .第15页/共54页b 2211 xxxnn 四、线性方程组四、线性方程组AX=b的向量表示的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组的解方程组的解x1=c1, x2=

8、c2,., xn=cn,可以用可以用n维列向量：维列向量： x=（c1,c2,., cn)T来表示。此时称为方程组的一个解向量。（来表示。此时称为方程组的一个解向量。（P78）第16页/共54页例例 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间, ,记作记作 . .nR,;ifVVV设设为维非空向量组，且满足为维非空向量组，且满足对加法封闭对加法封闭对数乘封闭对数乘封闭那么就称向量组那么就称向量组为为向量空间向量空间（Vector SpaceVector Space）,.ifVRV解解任意两个维向量的和仍是一个维向量；任意两个维向量的和仍是一个维向量；任意维向量乘以一个数仍是一个维向量

9、任意维向量乘以一个数仍是一个维向量所以，所有维向量的集合构成一个向量空间所以，所有维向量的集合构成一个向量空间. .易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，第17页/共54页第18页/共54页向量向量)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可几何形象：可 随随 意意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向代数形象：向 量量 的的坐标表示式坐标表示式 12Tnaaaa 第19页/共54页空间空间)3( n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点

10、的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合代数形象：代数形象：向量空间中的平面向量空间中的平面 dczbyaxzyxrT ),(几何形象：几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面空间平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP Trxyz 一一对应一一对应第20页/共54页2.3 向量间的线性关系第21页/共54页回忆：向量线性运算 12nkkkakaka 12,naaakR 规定规定称为数称为数与向量与向量的的数量积数量积. .设设=k=k，那么两个向量之间是什么样的关系？，那么两个向量之间是什么样的关系？引申到多个向量，关系又如何？引申到多个向量，关系又如何？

11、第22页/共54页mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA一定义一定义第23页/共54页若若kk，则称向量，则称向量与与成比例成比例零向量零向量是任一向量组的线性组合是任一向量组的线性组合任一维向量任一维向量 12naaa 1100 ， 2010 ， ， 001n ，都是都是基本向量组基本向量组的一个线性组的一个线性组合合1122.nnaaa事实上，有事实上，有向量组中每一向量都可由该向量组线性表示向量组

12、中每一向量都可由该向量组线性表示第24页/共54页 b能够为1，2，n线性表示：. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 有解，有解，也就是方程组也就是方程组bAx .,21nA 其中，其中，令令x1，x2，xn分别为分别为1, 2,., n，则以上线性组，则以上线性组合可以表示为：合可以表示为：1122 mmxxxbmmb 2211第25页/共54页第26页/共54页第27页/共54页第28页/共54页.),(),( 2121的秩的秩，的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量bBAAbmm 定理定理1 1例

13、：例：，即可由向量组即可由向量组向量向量 01000103221 b3213032100 b线性表示，且为：线性表示，且为：第29页/共54页).)()(BrAr 即即 010030102001,321bbAB 因为因为(第30页/共54页第31页/共54页.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意:定义定义二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A第

14、32页/共54页相关结论P92例3-4第33页/共54页，到底线性相关还是无关到底线性相关还是无关，向量组向量组m 21也即齐次线性方程组也即齐次线性方程组 Ax mmxxx2121, 有 无 非 零 解 的 问 题 ，02211 mmxxx 第34页/共54页定理定理向量组线性无关向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；齐次线性方程组只有零解；定理向量组线性相关定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解.第35页/共54页推论推论个维向量个维向量线性相关线性相关.0ija 推论推论个维向量个维向量线性无关线性无关.0ija P91定理第36页/共54页第37页/共54页维维

15、向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶单位矩阵阶单位矩阵是是的矩阵的矩阵维单位坐标向量组构成维单位坐标向量组构成neeeInn ，由由01 I例例的推论知，的推论知，及定理及定理 2无无关关。维维单单位位坐坐标标向向量量组组线线性性n第38页/共54页1 1、设向量组、设向量组 130,Tk 212,Tk 3021 线性相关，则线性相关，则 . .2 2、设向量组、设向量组 10,Tac 20 ,Tbc 30Tab 线性无关，则线性无关，则

16、, ,a b c必满足必满足 . .3 .1kor k0abc 自己练习：第39页/共54页. , , 321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即全为零，即有全为零，即有线性无关，故系数必需线性无关，故系数必需，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证法证法第40页/共54页02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系

17、数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 第41页/共54页向量组线性相关向量组线性相关至少有一个向量可由其至少有一个向量可由其余向量线性表示余向量线性表示定理定理第42页/共54页第43页/共54页第44页/共54页向量组线性无关向量组线性无关任何一个向量都不能由任何一个向量都不能由其向量线性表示其向量线性表示定理定理第45页/共54页P96 P96 例题例题9 9如果向量组如果向量组线性相关，则线性相关，则可由可由唯一唯一线性线性表示表示. .12,rA 12:,rB 线性无关，而向量组线性无关，而向量组证证11220

18、rrkkkk设设线性无关，线性无关，而向量组而向量组线性相关，线性相关，（，（否则与否则与线性无关线性无关矛盾）矛盾）1122rrkkkk 1212rrkkkkkk可由可由线性线性表示表示. .即有即有第46页/共54页下证下证唯一性唯一性：1122;rr 1122rr 两式相减有两式相减有 1112220rrr 线性无关，线性无关，11220,0,0rr1122,rr 即表达式唯一即表达式唯一. .设设第47页/共54页性质性质 设向量组设向量组12,rA ：121 :,rrB 若若线性相关线性相关, ,则向量组则向量组也线性相关；反之，若也线性相关；反之，若向量组向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组也线性无关也线性无关. .P95 例7此时此时A A称为称为B B的一个部分组的一个部分组。第48页/共54页.:1 关关的的任任何何部部分分组组都都线线性性无无向向量量组组线线性性无无关关，则则它它反反之之，若若一一个个线线性性相相关关含含有有零零向向量量的的向向量量组组必必特特别别地地，量量组组线线性性相相关关相相关关的的部部分分组