第2章导数与微分总结

1、1基础总结1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。3、若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率导数。4、可导与连续的关系：导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导

2、数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义：。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！由此引发了一些容易误判的血案：例如：定义解决时候一定要注意中的 到底是神马。比如求上图中 ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！由此也可以知道， 这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。5、反函数的导数与原函数的关系：有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融

3、合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子：求的导数。显然反函数（不要换元）是 。反函数的导数是 。反函数导数的倒数是 ，因此，再如，求 的导数。解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去 。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则：只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。7、高阶导数：如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ;二项式定理中有： ；类似的，乘法的n阶导数也有：。这个是要熟练记忆的。8、

4、隐函数，参数方程的导数，相关变化率建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用 形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。举例：求 （隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。复合隐函数如何求导？例如，如何求 ？简单，。怎么样，就是层层剥香蕉的意思。参数方程同理，设 ，则简单，而且显然有 ，二阶导数有。麻烦吗？根本不要记，连参数方程的公式都不要记，自己慢慢算，算到哪里推导到哪里，简单又方便。相关变化率问题，是说 之间的关系。求时有一个技巧，如果函数含有幂指数，包括 这一类（幂

5、指数是 ）一般都是对方程两边先求对数，再求解，这样求解起来应该会简单。9、微分微分用dy表示。.微分的产生主要就是为了能方便简单的计算给定 后对应的近似的 。实际上，若可以化简成形式，则称 在该点x0处可微记作 ，这部分称为线性部分。 是 的高阶无穷小，因此在计算时可以省去，这样只计算线性部分就特别简单的算出近似的了。当 时， ，经过计算 ，可见， 时是等价无穷小，即有 可微与可导的关系：可微和可导是等价的，互为充要条件。关系如图课本上的一些重要易错的题1、求 的导数解： 要注意的就是 2、试从 导出 解：3、设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是：A

6、存在B 存在C 存在D 存在答案：D4、 在0处的单侧导数 。解：注意，不能用，应该用才能算出来。这个要注意。如果用怎么算？5、此题主要存在的问题是不知道如何将实际问题转换为数学问题。2 扩展部分求x=x0处导数有两种定义：而x处的导函数只有一种定义可导与连续的关系：可导指的是：存在左导数和右导数，且两者相等。而左导数还是右导数的实质是单侧极限问题。而若两侧（导函数的）极限都存在，那么必然该导函数存在极限，即该种极限的导函数即导数存在。故可导的充要条件是存在左右极限且相等。单侧导数与单侧极限一样，光有一个说明不了导数（极限）存在可导必然连续，连续未必可导。因为连续在公式上的表现是y=0可导在公

7、式上表现是存在y/x=f(x)故可导可以推出连续。但连续推不出可导。不可导未定不连续，但不连续一定不可导。（可以用反证法证明）这些不用死记。某点单侧导数存在，则该点一定要有定义。比如在x=1处的右导数就不存在。但是在x=1处的右导数就存在。反函数存在的充要条件是原函数单调。要注意中自变量是什么。是而不是一定要注意Tan，cot，sec，csc，arctan，arcsin，arccos，arccot导数都可以自己推倒出来。用的就是反函数的导数公式。如：如果哪个忘了，要能够自己推导。【回忆】牛顿二项式展开与莱布尼茨高阶导形式类似。这一节就是练习给出f(x)求。本节的题比较难。主要方法是：1归纳法。

8、将，求出整理归纳出n阶导数莱布尼茨公式求uv乘积的高阶导数2遇到一些求分数函数的高阶导数的式子，一般就要先化简。最好是想办法化成和的形式，再分别求高阶导数。3遇到三角函数的高阶导数时，要把三角函数降阶到1阶再求。一般给出f(x)求需要综合运用各种方法才能算出来。如先化简，再用归纳法，莱布尼茨公式等。还有题是变量替换题。例：设y=y(x)定义在（-1,1）上且二阶可导，满足方程，做变量代换x=sint，证明证明：带入可证明结论。求隐函数对x导数，要注意对y求导。例如的导数为最好用方法做，而不是用因为常用的是对x求导，如果现在对t求导，会不小心弄混。用可以显见y对t还是x求导，不易出错。当然，如果

9、只是F（x，y）=0对x求导，无中间量，还好，不会乱。参数方程的导数应用，有3个条件才可以：通过证明（需要自己会证明推倒），显而易见这三个条件都要满足。（实际应用中似乎没啥用）。本节题就是隐函数，参数函数的求导数，要在运算中时刻想着化简，特别是求某点的导数值时，更要是定值就代入，以便于方便后续运算。在运算时，还要记住综合各种方法，如对数求导法总结起来就是：一定要注意有个x0，而不是x，这表示f(x0)是一个与x无关的常数。也要注意的是x0，而不是x。这个公式常常用来估算和证明。y=dy+o(dy)x=dx（严格来说，其实就是把x写成了dx，好像比较统一一样，但y一定要注意dy）具体如图：x0

10、x0+xdyyO(dy如证明：sin(x)x,当|x|<<1时。（其实即x00）证明：f(x0)=sin(x0+x)-sin(x0)sin(x0)xsin(x0+x)sin(x0)+cos(x0)x令x=x0+xsin(x)sin(x0)+cos(x0)(x-x0)(注意：目的就是去掉式子里的x)|x|<<1sin(x)sin(0)+cos(0)(x-0)=x即当|x|<<1时，sin(x)x 证明具体的更简单，如求sin(29)的近似值sin(30-1)-sin(30)cos(30)*1°sin(29)1/2+(3/2)*/180(角度必须转换成弧度！公式是 角度=角度*/180 ,角度=弧度*180/)总习题2设函数f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是？（D）A 存在B 存