应用弹塑性力学ch5-part3-简单的弹塑性力学问题

1、5.6简单的弹塑性力学问题简单的弹塑性力学问题5.3 平面问题平面问题严格地讲严格地讲,所有力学问题都属于三维空间物体的受力问题所有力学问题都属于三维空间物体的受力问题.但是某些工程但是某些工程问题中问题中,结构形状结构形状 、受力和约束情况都具有一定的特点，这些问题只要、受力和约束情况都具有一定的特点，这些问题只要经过适当的简化和力学抽象化处理，就可转化为所谓的经过适当的简化和力学抽象化处理，就可转化为所谓的“平面问题平面问题”。平面问题的特征是：所有力学行为都可以看作是在一个平面内发生的，平面问题的特征是：所有力学行为都可以看作是在一个平面内发生的，因而在数学上属于二维的问题。因而在数学上

2、属于二维的问题。5.3.1平面问题的特点及分类平面问题的特点及分类平面问题共分两大类，即平面应力问题和平面应变问题。平面问题共分两大类，即平面应力问题和平面应变问题。 平面应力问题主要出现在薄板中。对于薄板，如果它所受的力平面应力问题主要出现在薄板中。对于薄板，如果它所受的力（体力及面力）均平行于板的中面而且沿板的厚度不变。将与板中（体力及面力）均平行于板的中面而且沿板的厚度不变。将与板中面垂直的方向设为面垂直的方向设为z轴，因为板很薄，所以与轴，因为板很薄，所以与 z有关的所有应力均近有关的所有应力均近似为似为0，即，即2220,0,0tttzzxzyzzz由于由于 时的板面上无外力作用，则

3、边界条件成为时的板面上无外力作用，则边界条件成为2tz 板很薄，外力不沿厚度变化，则板内与板很薄，外力不沿厚度变化，则板内与z有关的应力均为零有关的应力均为零剩下的应力分量也与剩下的应力分量也与z无关，因此退化为无关，因此退化为x,y的函数的函数0,0,0zxzyz因此非零的应力分量只有因此非零的应力分量只有 ，且设这三个应力分，且设这三个应力分量只与量只与x,y有关，与有关，与z无关。无关。xyxy、平面应变问题是指某一方向的尺寸比另外两个方向大很多平面应变问题是指某一方向的尺寸比另外两个方向大很多（如无限长的柱体），所受的力均平行于横截面且沿柱体（如无限长的柱体），所受的力均平行于横截面且

4、沿柱体的长度不变。因为沿的长度不变。因为沿z轴方向长度是无限的，所以沿轴方向长度是无限的，所以沿z轴方轴方向的近似为向的近似为0，且假设沿另外两个方向的位移，且假设沿另外两个方向的位移u,v与与z无关。无关。由几何方程可知由几何方程可知0 xzyzz有许多工程问题是很接近平面应变问题的，如挡土墙、重有许多工程问题是很接近平面应变问题的，如挡土墙、重力坝、某些化学容器及发动机的汽压管等可以简化为平面力坝、某些化学容器及发动机的汽压管等可以简化为平面应变问题处理能达到工程精度。应变问题处理能达到工程精度。5.3.2 直角坐标系下平面问题的基本方程直角坐标系下平面问题的基本方程一、平面应力问题一、平

5、面应力问题在平面应力问题中，物体内任意一点的应力分布为在平面应力问题中，物体内任意一点的应力分布为0( , )( , )( , )zxzyzxxyyxyxyx yx yx y位移分布为位移分布为( , ),( , )uu x yvv x y应变分布为应变分布为( , ),( , ),( , )( , ),0 xxyyzzxyxyyzxzx yx yx yx y其中其中 不是独立的。在弹性状态下，根据不是独立的。在弹性状态下，根据 得得z0z()()1zxyxyE 平面应力问题，三类方程可以简化。平面应力问题，三类方程可以简化。1、静力平衡方程、静力平衡方程将平面应力分量表达式代入平衡方程，得将

6、平面应力分量表达式代入平衡方程，得00 xyxxyyXxyYxy另外一个平衡方程自行满足。另外一个平衡方程自行满足。2、应变协调方程、应变协调方程平面应力情况下，应变协调方程只有下面一个222222yxyxyxx y 3.本构关系本构关系弹性状态下，本构关系应服从弹性本构关系，将物体内一点的应力状态和应变状态表达式代入广义胡克定律，得1()1()(1)2xxyyyxxyxyxyEEGE在解平面应力问题时，除了上述三类基本方程外，还需考虑边界条件和屈服条件。4、边界条件、边界条件设薄板侧面上点的法线为n,方向余弦为 ，该点处作用的面力为 ，则应力边界条件为 ( ,0)xyl l(, ,0)X Y

7、x xxy yy yxy xllXllY在板的上、下表面，法线的方向余弦是 ，作用在面上的外力均为零，因此静力边界条件为(0,0, 1)0zxzyz二、平面应变问题二、平面应变问题在平面应变问题中，物体内任一点的位移场、应变场及应力场有下面的特点：位移场位移场( , ),( , ),0uu x yvv x yw应变场应变场( , ),( , ),( , ),0 xxyyxyxyzyzxzx yx yx y应力场应力场( , ),( , ),( , )0,()xxyyxyxyyzxzzxyx yx yx y 1、静力平衡方程和应变协调方程根据平面应变状态下应力场和应变场的特点容易证明，此时与平面

8、应力有完全相同的静力平衡方程和应变协调方程，因此这里不重复给出。2、本构关系将 代入广义胡克定律，可得到弹性状态下的本构关系()zxy 221()11()11xxyyyxxyxyEEE可见，平面应力问题中的E换成 ， 就得到，可见两类平面问题可以统一起来求解。21E1换成综上所述，在弹性状态下，两类平面问题，都必须满足平衡微分方程、应变协调方程和本构方程。这三类方程共有6个，含有6个未知函数，加上具体的边界条件，从理论上是可求解的，但在数学上要求得这类偏微分方程的解析解是很困难的。对于某些简单问题，可以采用逆解法和半逆解法求解，如采用应力函数方法。应力函数应力函数假定体力X及Y是零，则平衡微分

9、方程可以简化为齐次方程00 xyxyxyxyyx将本构方程代入协调方程得2222211()()xyxyyxEyxGx y 由第一式对x求偏导,第二式对y求偏导,然后再将两式相加,整理得2222212xyyxx yxy 整理得:2222()0 xyxy即2()0 xy上式是拉普拉斯方程或应力表示的协调方程,它与应变协调方程是等价的,同时对于常体力情况该方程也是一样的.从平面应变的本构关系出发也能得到此方程,可以说在弹性状态下适用于两类平面问题.设在横截面上任一点均存在一个应力函数 。 ( , )x y( , )x y能满足下式22222,xyxyyxx y 这样定义的应力函数能满足平衡方程式(5

10、.70)，且将其代入后得到220 即40上式称为 双调和方程或应力函数表示的协调方程，也叫相容方程，适用于无体力的弹性力学问题。对于常体力情况，应力函数解可写成22222,xyxyxXyYyxx y 相容方程与无体力情况一样为重调和方程。在弹性状态下，物体内任一点的应力函数均应满足重调和方程，也可以将应力边界条件表示为应力函数的形式。这样先求出物体内应力函数，再由式（a)求出应力分量。(a)一般地，应力函数可以选为多项式或级数的形式，具体选择什么样的多项式及级数依具体问题的边界条件来确定。一、应力函数取一次多项式一、应力函数取一次多项式平面问题的多项式解答平面问题的多项式解答cybxa应力分量

11、：0, 0, 0yxxyyx应力边界条件：0YX结论：（1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式二、应力函数取二次多项式22cybxyax1.对应于 ，应力分量 。 2ax0,2, 0yxxyyxa2ax结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图（a）。y0a0axyobbbbxyoa2a2xyoc2c22.对应于 ，应力分量 。 bxybyxxyyx, 0, 0结论：应力函数 能解决矩形板受均布剪力问题。如图3-1（b）。bxy图3-1（a）（b）（c）x3.应

12、力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图（c）。2cy0c0c三、应力函数取三次多项式三、应力函数取三次多项式3ay对应的应力分量：0, 0,6yxxyyxay结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图所示的矩形梁。（a）MMhl2h2hyxx图xy1四、应力函数在梁的弹性弯曲问题中的应用四、应力函数在梁的弹性弯曲问题中的应用梁的弹性弯曲问题可简化为平面应力问题梁的弹性弯曲问题可简化为平面应力问题,如图所示的简如图所示的简支梁支梁,沿沿z向向(图中未画出图中未画出)取单位长度取单位长度,梁内任意一点的应力梁内任意一点的应力状态满足状态满足0zzxz

13、yMMhhLyxo假设梁两段作用有力偶假设梁两段作用有力偶M,由于直接求解三类方程困难，由于直接求解三类方程困难，这里用逆解法来求解这里用逆解法来求解梁上、下表面处的边界条件是yh 0yyxxyyhyhyh在梁的左右两端，无法满足精确的应力边界条件，只能由在梁的左右两端，无法满足精确的应力边界条件，只能由圣维南原理写出静力等效的边界条件圣维南原理写出静力等效的边界条件00000hhxyxyxx Lhhhhxxxx Lhhhhxxxx LhhdydydydyydyydyM(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)(a)(a)设应力函数为设应力函数为3cy其中c为待定参数。设定的函数(b)(

14、b)显然满足双调和方程。由应力函数与应变分量的关系，可求得应力分量(5.81)222226,0,0 xyxycyyxx y (5.82)将(c)代入式(a)，得3366(2)43hhxhhcydycy ydyhchM(5.83)因此，有34Mch(b)(b)(c)(c)求得代定参数后，得到梁内各点的应力分量为33,0,02xyxyMyh由于矩形截面的惯性矩为3312(2 )123Ihh故应力分量的表达式为,0,0 xxyyMyI(5.85)(5.84)上述结果与材料力学所得到的解答完全相同。对于梁的端部，以上解答与实际情况存在一定的误差，但根据圣维南原理，这只会影响梁的端点附近的应力分布，其它

15、部位没有影响。应变分量： 根据本构关系可求出梁内任意一点的应变场为,0 xyxyMMyyEIEI (5.86)将上式代入几何方程得0uMyxEIvMyyEIuvyx (5.87)积分式(d)的前两式得2( )( )2Muxyf yEIMvyg xEI (5.88)(d)(d)(e)(e)将(e)代入(d)的最后一个方程，得( )( )0Mdf ydg xxEIdydx整理得( )( )Mdg xdf yxEIdxdy (5.89)上式左边只与x有关，而右边只与 y有关，由此得( )( )Mdg xdf yxEIdxdy 式中， 是一个待定常数。整理上式得( )Mdg xxEIdx( )df y

16、dy( (f) )积分上述两式，得2( )2( )Mg xxxmEIf xyn (5.90)将式（g）代入（g),得2222MuxyynEIMMvyxxmEIEI (5.91)式中 均为待定常数，根据位移边界条件确定。如为简支边的边界条件mn、 、000000,0,0 xxx lyyyuvv(5.92)(g)(h)(i)将式(i)代如式(h)，得0,2MlmnEI因此，得222222MMluxyyEIEIMMMlvyxxEIEIEI 式(j)中取 可得挠度曲线方程(j)0y 222MMlvxxEIEI 此曲线方程同材料力学中得出的结论一致。注：当梁的截面形式或荷载作用情况比较复杂时，将应力注：

17、当梁的截面形式或荷载作用情况比较复杂时，将应力函数取为多项式形式可能会产生较大的误差，这时可选应函数取为多项式形式可能会产生较大的误差，这时可选应力函数为三角形式的级数解，这里不再进一步讨论。力函数为三角形式的级数解，这里不再进一步讨论。专题专题-1 -1 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞压力隧洞已知：已知：, ,abq q a b求：应力分布。求：应力分布。确定应力分量的表达式：确定应力分量的表达式：2(12ln )2rABrCr2(32ln )2ABrCr 0rr边界条件：边界条件：0rr a0rr brar aq 2rr bp （a）将将(a)式代入，有：式代入，有：1

18、2(12ln )2ABaCpa 22(12ln )2ABbCpb （b）p1p212(12ln )2ABaCpa 22(12ln )2ABbCpb （b）式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。2(1)cossinCrIK1(1)2(1)(ln1)(1 3 )rAuBrrBrEr4sincosBruHrIKE位移多值项位移多值项要使单值，须有：要使单值，须有：B = 0 ，由式（，由式（b）得）得222122(),a bAppba221222()2p ap bCba将其代回应力

19、分量式（将其代回应力分量式（4-12），有：），有：p1p228周向应力径向应力轴向应力22221212222221ppa bp ap bbabar22221212222221rppa bp ap bbabar0rr（5.116）称Lam（拉美）公式22221222221111rbarrppbaab 22221222221111barrppbaab（5.116-b）（1）若：）若：10,0ap2,rp 2p ( 二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：210(0)pp而2212211rbrpba 2222211brpba( 0)（压应力）（压应力）( 0)（拉应力（拉应力）p1p2rp1（3

20、）若：）若：120,(0)pp2222211rarpab 2222211arpab ( 0)( 0)（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）（4）若：）若：1(0)bp 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。212rapr 212aprrr边缘处的应力：边缘处的应力：p231/Kb ab 2222riiaapprr 当 时，厚壁筒问题化为一个具有圆孔的无限大弹性薄板或具有圆形孔道的无限大弹性体，它们的应力分量为b 212212raPraPr当圆筒仅受内压时,圆筒内的应力 是第一主应力,而 是第三主应力,故有r22max122121rbrPba从上式可见,圆筒内壁的 最大.ma

21、x假设材料服从Tresca屈服条件,则圆筒内壁将首先达到屈服,此时有22max122112esrabaPba解上式得2221221(1)22essbaaPbb这里, 就是问题的弹性极限压力值,它与圆筒的内外半径之比 有关.当 时， 。可见，当弹性无限空间内的圆柱形孔洞受到内压作用（ 如有压隧洞）时，其内表面开始屈服时的压力值与洞的半径无关。此外，当内外半径之比a/b较小时，仅仅加大圆筒的外半径，并不会明显提高筒的弹性极限压力值。例如当a/b=1/3时， ；当 ，即 时 。因此，在设计高压圆筒时，不能只是采取加大圆筒厚度的办法来提高其强度，必须采用其他的措施，如采用高强度材料或对圆筒施加预应力等

22、。1eP/a bb 11/2esP14/90.44essP/0a b b 11/2esP在弹性区， 部分，应力分布规律仍可前面的弹性解给出，但是要把其中的a改为c，内压力改为r=c处的应力值 。 Crbr在塑性区，平衡微分方程仍能成立，即0rrrr如果材料服从Tresca屈服条件，则在塑性区内处处有rs将屈服条件代入平衡微分方程，则方程化为将屈服条件代入平衡微分方程，则方程化为0srddrr积分上式，得积分上式，得lnrsrC利用边界条件，可以确定出待定常数利用边界条件，可以确定出待定常数C,代入上式即得到塑性代入上式即得到塑性区内的应力分量为区内的应力分量为r1lnrsrPa再利用屈服条件，

23、得到再利用屈服条件，得到1(1 ln )rssrPa综上，可得到塑性区内的应力解为综上，可得到塑性区内的应力解为11ln(1 ln)0()rsrssrrrParPaarc注意，当注意，当 时，由上式得时，由上式得rc11()ln()(1 ln)rssccPaccPa下面根据弹性区和塑性区交界的连续条件，确定弹性区的下面根据弹性区和塑性区交界的连续条件，确定弹性区的应力分布以及交界圆周线的半径应力分布以及交界圆周线的半径c。弹性区和塑性区交界的。弹性区和塑性区交界的应力连续条件为应力连续条件为()rrrr cr cc考虑到在考虑到在 处，有处，有rc()rsr c上式表示在弹性区无限接近交界的内

24、侧，材料趋近屈服上式表示在弹性区无限接近交界的内侧，材料趋近屈服另外，将弹性区域弹性解表达式中的另外，将弹性区域弹性解表达式中的a改为改为c,外压力改外压力改为外层弹性区的边界应力为外层弹性区的边界应力 ，经整理后得，经整理后得()rc222()()2rsbccb 和塑性区的外边界比较，最后得到弹塑性分解线所满足的和塑性区的外边界比较，最后得到弹塑性分解线所满足的方程方程2121ln(1)2sPccab综上所述综上所述,最终得到应力解为最终得到应力解为1)弹性区弹性区crb2222222211()11()10()lnrrrrrrsbrcbbrcbccPa 其中2)塑性区()arc11ln(1

25、ln)0rssrrrParPa3)交界线2121ln(1)2sPccab由应力解可以发现,在弹性区和塑性区的交界,径向应力连续而周向应力却间断,这正是弹塑性问题的特殊之处. 当塑性区扩展到整个截面时当塑性区扩展到整个截面时,可得到塑性极限状态下可得到塑性极限状态下的内压力为的内压力为1lnssbPa 板中开有小孔，孔边的应力板中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，称为孔边应距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。力集中。 应力集中的程度与孔的形状有应力集中的程度与孔的形状有关。一般说来，圆孔孔边的集中关。一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。这

26、里简略讨论圆孔孔程度最低。这里简略讨论圆孔孔边应力集中问题，较为复杂的孔边应力集中问题，较为复杂的孔边应力集中问题一般用复变函数边应力集中问题一般用复变函数方法，在第五章中进行讨论。方法，在第五章中进行讨论。rrAb一、一、 矩形板左右两边受集度为矩形板左右两边受集度为q的均布拉力的均布拉力专题专题-2 -2 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中 设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为设有矩形薄板，在离开边界较远处有半径为 的小圆孔，在的小圆孔，在左右两边受均布拉力，其集度为左右两边受均布拉力，其集度为 ，如图，如图aq2sin2)(,2cos22)(qqqbrrbrr 以远大于以远大于 的某一长度的某一长度 为半径，以小孔中心为圆心作圆，为半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件：根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件：ba上述面力可以分解成两部分，其中第一部分是：上述面力可以分解成两部分，其中第一部分是：0)(,2)(brrbrrq第二部分是：第二部分是：2sin2)(,2cos2)(qqbrrbrr求面力（求面力（a）所引起的应力。令：）所引起的应力。令： 。得：。得： 2qqb0,112,11222222222rrbaraqbaraq(a)(b)由于