勾股定理(知识点+题型分类练习)

1、勾股定理（知识点）【知识要点】1.勾股定理的概念:如果直角三角形的两直角边长分别为a, b，斜边角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。长为c,那么a2 + b2 =c2.即直Ba勾C常用关系式由三角形面积公式可得： AB CD=AC BC2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a, b , c有下面关系：a2+ b2= c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。3. 勾股数：满足a2 + b2 = c2的三个正整数叫做勾股数（注意： 若 a, b, c、为勾股数，那么 ka , kb , kc 同样也是勾股数组。） 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5; 6,8,10; 5

2、,12,13; 7,24,25 ; 8,15,17等 用含字母的代数式表示n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 （ n 2, n 为正整数）；2n 1,2n22n,2n2 2n 1 （ n 为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m , n 为正整数）4. 判断直角三角形：（1）有一个角为90 °的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（4） 如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b 2=c2，那么这个三角形是直角三角形。(经典直角三角形：勾三、股四、弦五)用勾股定理逆定理

3、判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:(1 )确定最大边(不妨设为 c )；(2)若c2= a2+ b2，则ABC是以/C为直角的三角形;c为最大边)；c为最大边)C=90 °/A+ /B=90若a2+ b2v c2，则此三角形为钝角三角形(其中若a2+ b2> c2，则此三角形为锐角三角形(其中5. 直角三角形的性质(1 )直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：/(2 )在直角三角形中，30 °角所对的直角边等于斜边的一半。/A=30 ° “一r1可表示如下：BC = ABJ 2cBZC=90 °(3 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。Z

4、ACB=90 °"一 1可表示如下：CD = AB = BD = AD丿 2D为AB的中点6. 数轴上表示无理数第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。勾股定理专项练习A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,35一、基本应用考点1:勾股定理1. 下列是勾股数的一组是（D ）则下列各等式中成立的是A.a2+b 2=c2B.a2=2b 2C.c2=2a 2D.b2=2a

5、 22. KBC 中，ZA: ZB： ZC=2 ：1：1,a, b , c 分别是/ A、ZB、ZC 的对边,3. 矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为60 cm 24.如图，在AABC 中，/BAC=90 o ,AB=15 , AC=20 , AD 丄 BC,垂足为D ,则AABC斜边上的高AD=125. 已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（ C ）A.12cmB. 60 cmC. 1?° cmD. 10 cm1313136. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6, 8, 10.7. （易错题）已知直角三角

6、形的两边x, y的长满足|x 4 | + y 3=0，则第三边的长为5 或 v7.8. 若直角三角形的三边长分别为2 , 4, x，则x的可能值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为.10.已知直角三角形的两直角边之比为3: 4，斜边为10,则直角三角形的两直角边的长分别为.11. 如图，分别以Rt KBC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1> S2> S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 S1+S 2=S3.12. （易错题）如图，已知在Rt KBC中/ACB=90 °,AB=4，分别以AC , BC为

7、直径作半圆，面积分别记为S1, S2，贝U S1+S2的值等于2 n.13. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A , B, C, D的面积之和为49 cm2。第11题第12题第13题14. 在 Rt AABC，/C=90(1)已知 c=17 , b=8,求 a。 (a=15 )(2)已知 a : b=1 : 2, c=5,求 a。 (a= v5)(3)已知 b=15，/A=30 °，求a , c。(a= 5, c= 10 v3)文案大全15. 若直角三角形的三边长分别是n+1 , n+2 , n+3，求n。（n=2 ）1

8、6.若直角三角形两直角边的比是3: 4，斜边长是20 ,求此直角三角形的面积。(S=96)考点2.勾股定理逆定理1. 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是 能构成直角三角形的是 （填序号）3，4，5 1，3，4 4， 4， 6 6，8，10 5，7, 2 13，5，12 7, 25，242. 在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（D ）A.a=9 , b=41 , c=40B.a=b=5 , c= 5 2C.a : b : c=3 : 4 : 5D.a=11 , b=12 , c=153. 若一个三角形三边长的平方分别为：32, 42 , x2，则此三角形是直角

9、三角形的x2的值是（D ）A. 42 B . 52 C. 7D . 52 或 74. 下列说法不正确的是（B ）A.三个角的度数之比为 1 ：3：4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形C.三边长度之比为3 ： 4 ： 5的三角形是直角三角形D.三边长度之比为5 ： 12 ： 13的三角形是直角三角形5. 若ABC 的三边 a、b、c,满足(a b ) (a2 + b2 c2) =0 ,则ABC 是( C )A.等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6. 有下列说法：若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形； 在ABC

10、中，a、b、c分别是/A、/B、/C的对边，若a2+b2> c2,则AABC是钝角三角形；在 ABC中，a、b、c分别是/A、/B、/C 的对边，若 b2+c2=a 2，则/C=90 0;在 ABC 中，a、b、c 分别是/ A、/B、/C 的对边，ZC須00，贝U a2+b 2丸2。其中正确的是( D )A.B.C.D.7. 下列说法中正确的有()如果/ A+ ZB+ /C=3 : 4 : 5,则ABC是直角三角形；如果/ A+ ZB= /C,那么 ABC是直角三角形； 如果三角形三边之比为6 : 8 : 10，贝U ABC是直角三角形；如果三边长分别是n2-1 , 2n , n2+1

11、 (n> 1 ),则ABC是直角三角形。A.1个B.2个C.3个D.4个8. 若c 13+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是直角 三角形.9. 如果 ABC的三边a,b,c满足关系式a 2b 18 + (b-18 ) 2+ c 30 =0则ABC是三角形。10. 已知:a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2-b s2c2=a 4-b 4,试判断 ABC的形状.解:va2c2-b 2c2=a 4-b 4,c2(a2-b2)=(a2+b 2)(a 2-b 2)./c2=a 2+b 2.念BC是直角三角形.问:(1)在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误 巧青写出

12、该步的代号：(2)错误的原因为除数可能为零;jj11. 已知ABC的三边为a、b、c,且a：b：c 1:1''2，求三角形三个内角度数的比(J: ZB：/C=1:1: &)| 212. ABC的三边a、b、c满足|a b 50 1 a b 32 （c 40）0 .试判断厶ABC的形状.（直角三角形）13. 已知ABC的三边为a、b、c,且a+b=4 , ab=1 , c= 14，试判定厶ABC的形状。（直角三角形）14. 若AABC的三边a，b，c满足条件 a2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c，试判定厶ABC的形状.（直角三角形）15. 一根24米绳子，

13、折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为?（6 ; 8; 10 ;直角三角形）16. 若ABC的三边长为a,b,c,根据下列条件判断 ABC的形状.(1)a2+b 2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3 a2b+ab 2- ac2+bc 2 b3=0考点3.数轴表示无理数 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)1. 用圆规与尺子在数轴上作出表示-.13的点，并补充完整作图方法-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 62. 在数轴上画出表示 17的点?-5-4-3-2-101234563. 在数轴上作出表示3-2的点-5-4-3-2-1012345

14、6考点4:勾股定理几何应用1. 如图在矩形 ABCD中,M是CD中点，AB=8 , AD=3 . ( 1 )求AM的长；(2)MAB是直角三角形吗?为什么?（AM=5 ;不是直角三角形）2.如图所示，在 RtKBC中，/ACB=90,CD是AB边上高，若AD=8，BD=23个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时,AB=3m，已知木箱高 BE= .3m，斜面坡角为30 °，求木箱端点E距地面AC的高度EF。（ EF=3）4.有一块土地形状如图所示,ZB= ZD=90 °,AB=20 米,BC=15 米,CD=75. 四边形 ABCD 中，/ B=90 ° ,A

15、B=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四边形 ABCD 的面积。（S=36 ）C6. 如图，在四边形 ABCD 中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,/C=90 °1)求 BD 的长；(BD=5 ) (2)当 AD为多少时,JBD=90° (AD=13 )7. 农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD，他量得边长 AB=90m ,BC=120m ,CD=130m ,DA=140m且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。(S=13800 ),AB=39m , BC=36m8. 如图所示的一块地，

16、AD=12m , CD=9m，/ADC=90（二）、实际应用:文案大全1梯子滑动问题:1一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯子底端将向左滑动0.8 米2. 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离v5l -1米3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开 5米后,发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为12 米4. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点

17、之间的距离是_185. 如图，一个3米长的梯子 AB,斜着靠在竖直的墙 AO上，这时AO的距离为2.5米.A沿墙下滑6. 如图所示，梯子 AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m 现将梯子的底端 A向外移动到A '，使梯子的底端 A '到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端 B下降到B '，那么BB'也等于1m吗？（不等于1 , 小于1 ）2. 爬行距离最短问题:1. 如图，正方体盒子的棱长为2 , AB中点为M，只蚂蚁从点 M沿正方体的表面爬到点 C，蚂蚁爬行的最短距离是（ B ）A. 13B. d7 C.、5D.2、52

18、. 如图，一块砖宽 AN=5 cm,长ND=10 cm, CD上的点F距地面的高FD=8 cm ,地面上A处的一只蚂蚁到F处吃食，要爬行的最短路线是17 cm3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm , A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是25 分米？4一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是8的长方体纸箱的 A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长 是10.5.在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且AD，木块的正视图是边长为0.2米的正

19、方形，求一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路 2.6 .第1题第2题第3题第4题第5题3. 方向问题：1.一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头9米，则小船实际行驶了 3妬_米.5.6 分,2职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为( D )A.IOOmB.500mC.1 240mD.1 000m3.有一次，小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行，在A点望湖中小岛M，测得/MAN = 30。，当 他到B点时，测得/ MBN = 45 ° ,AB = 100米，你能算出 AM的长吗？( x=50+50)“远航”号每小时航行16海里，“海4. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行,天”号每小时航行 12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？(西北方向)5. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向