自动控制系统的数学模型

1、第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程第三章自动控制系统的数学模型第三章自动控制系统的数学模型第二节第二节 传递函数传递函数第三节第三节 动态结构图动态结构图第四节典型环节的传递函数第四节典型环节的传递函数第五节第五节第三章自动控制系统的数学模型第三章自动控制系统的数学模型控制系统的传递函数控制系统的传递函数重点：第一节第一节 控制系统的微分方程控制系统的微分方程第二节第二节 传递函数传递函数第三节第三节 动态结构图动态结构图设计举例：设计一个低通滤波器（如下图）要求：求出微分方程、传递函数、动微分方程、传递函数、动态结构图态结构图123456ABCD654321DCBATitle

2、NumberRevisionSizeBDate:26-Oct-2009Sheet of File:C:PROGRAM FILESDESIGN EXPLORER 99 SEEXAM PLESM yDesign.ddbDrawn By:RRRC+-+-第一节控制系统的微分方程第一节控制系统的微分方程 描述系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程（Differential Equation of Systems）。 当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时， 其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。 微分方程是系统最基本的数学模型一、建立微分方程的一般步骤一、建立微分方程

3、的一般步骤二、二、 线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解第三章自动控制系统的数学模型第三章自动控制系统的数学模型（1） 确定系统的输入变量和输出变量。确定系统的输入变量和输出变量。一、 建立系统微分方程的一般步骤建立系统微分方程的一般步骤 一个系统通常是由一些环节连接而成一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出的，将系统中的每个环节的微分方程求出来来 ，便可求出整个系统的微分方程。，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程

4、，并构成微分方程组。出相应的微分方程，并构成微分方程组。（一）步骤：（一）步骤： (1)确定输入量及输出量确定输入量及输出量（2） 建立初始微分方程组。建立初始微分方程组。 将与输入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化。）消除中间变量，将式子标准化。ucur（二）、系统微分方程的建立举例（二）、系统微分方程的建立举例 例例1：RC（1）确定输入量及输出量）确定输入量及输出量+-uruc+-CiR输入量：输入量：输出量：输出量：（1） 确定输入确定输入 量和输出量量和输

5、出量（2） 建立初始微建立初始微 分方程组分方程组（3）消除中间变量，）消除中间变量， 使式子标准化使式子标准化RC电路是一阶常系电路是一阶常系数线性微分方程。数线性微分方程。RCducdt+ uc= urur= Ri + uci = Cducdt 对于由多个环节组成的各类控制系统的微分方程， 其建立过程可由原理图画出系统方框图， 并分别列写出各环节的微分方程， 再消去中间变量， 即可得到描述该系统的输入量与输出量之间关系的微分方程例例2机械位移系统机械位移系统系统组成：系统组成：质量质量弹簧弹簧阻尼器阻尼器输入量输入量弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF(t) 输出量输出量y(t) 初始

6、微分方程组初始微分方程组:F = ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律中间变量关系式中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中间变量得消除中间变量得:F(t) FB(t) FK(t) = ma例例3他激直流电动机他激直流电动机Ud系统组成：系统组成：直流电机直流电机负载负载输入输入:电枢电压电枢电压励磁电流励磁电流If电磁转矩电磁转矩Te负载转矩负载转矩TL摩擦转矩摩擦转矩Tf工作原理：工作原理： 电枢电电枢电压作用下产压作用下产生电枢电流，生电枢电流，从而产生电从

7、而产生电磁转矩使电磁转矩使电动机转动动机转动.输出输出:电动机速度电动机速度n根据基尔霍夫定律有根据基尔霍夫定律有 电动机的电路等效图电动机的电路等效图:ed+-udLdidRddiddt ud = Rd id+Ld+eded =CenCe 反电势系数反电势系数反电势反电势根据机械运动方程式根据机械运动方程式 dndt Te -TL Tf =GD2375Te =Cm id Cm 转矩系数转矩系数GD2 飞轮惯量飞轮惯量为了简化方程，设为了简化方程，设TL = Tf = 0ia =GD2375Cmdndt.+ n =+GD2 Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2Cm CeRaLaR

8、auaCe定义定义 机电时间常数：机电时间常数：GD2 Ra375Cm CeTm =电磁时间常数：电磁时间常数：LaRaTd = 电动机的微分方程式为：电动机的微分方程式为：+ n =d2ndt2Tm Td+ TmdndtuaCe 系统微分方程由输出量各阶导数和输系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。入量各阶导数以及系统的一些参数构成。系统微分方程的一般表达式为：系统微分方程的一般表达式为：+dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1 b1+dmr(t) +dr(t)dtbm-1anc(t)+ dnc(t)dtna0 +dn-1c(t)dt n-1a1+dc(t)dt an-1+（三）练习建立R、C、串联电路的微分方程ur(t)Cuc(t)RLi(t)二、线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解（一）举例：（一）举例：微分方程如下，且已知r(t)=1(t)且初始量为0，求uc(t)RCducdt+ uc= ur解解（1）将方程两边求拉氏变换得：将方程两边求拉氏变换得：且初始量为0RCSUC（S）+UC（S）=UR（S）（2）整理方程得：）整理方程得： UC（S）= UR（S） / （1+RCS ） 又因为r(t)=1(t)，所以UR（S）=1/S所以方程得： UC（S）=1/ S .（1+RCS ）（3）把