章导数与微分PPT课件

1、ttfttftsv)()(00 一、引例 设物体作直线运动所经过的路程为s f(t) 以t0为起始时刻 物体在 t时间内的平均速度为 此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好 因此当 t0时 极限1.1.直线运动的速度ttfttftsvttt)()(limlimlim00000就是物体在t0时刻的瞬时速度 第1页/共79页 求曲线y f(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0 x y0 y) 作割线MN 设其倾角为j j 观察切线的形成 2.切线问题 当 x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时

2、割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率 xyxx00limtanlimtanjxxfxxfx)()(lim000第2页/共79页二、导数的定义二、导数的定义存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数 记为f (x0) 即 设函数y f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限v导数的定义导数的定义1.1.函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 第3页/共79页导数的其它符号

3、导数的其它符号导数的其它定义式导数的其它定义式导数的定义式导数的定义式: :xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 0|xxy 0 xxdxdy或0 )(xxdxxdf hxfhxfxfh)()(lim)(0000 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 第4页/共79页 例例1 设f(x) 10 x2 试按定义 求f ( 1) 解解 导数的定义式导数的定义式: :xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxxfxffxx2200) 1(10)1(10lim)

4、1()1(lim) 1(20)2(lim102lim10020 xxxxxx201) 1(1010lim) 1() 1()(lim) 1(2211xxxfxffxx或 第5页/共79页导数的定义式导数的定义式: :导函数的定义导函数的定义 如果函数y f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y f(x)的导函数 简称导数 记作提问提问: 导函数的定义式如何写? ? f (x0)与f (x)是什么关系? ?hxfhxfxfh)()(lim)(000000)()(lim0 xxxfxfxx xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 y)(xf

5、 dxdy 或dxxdf)( 第6页/共79页 例例2 2 求函数f(x) C 的导数(C为常数) 解解 即 (C) 0 2.2.求导数举例求导数举例 解解 hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00 解 f (x)hxfhxfh)()(lim00lim0hCChhxfhxfh)()(lim00lim0hCCh 例例3 3 例 2 求xxf1)(的导数 2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh2001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(00第7页/

6、共79页 解解 例例4 4 2.2.求导数举例求导数举例 解 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)(例 3 求xxf)(的导数 hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(lim)( xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 xxhxxhxhhhh211lim)(lim00 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xx第8页/共79页2.2.求导数举例求导数举例 例例5 5 求函数f(x) x n (n为正整数)在x a处的导数 更一般地 有 (x ) x 1

7、(其中 为常数) 把以上结果中的a换成x得f (x) nxn 1 即(xn) nxn 1 解解 nan1 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解 f (a)axafxfax)()(limaxaxnnaxlimaxafxfax)()(limaxaxnnaxlim (xn1axn2 an1)axlim第9页/共79页2.2.求导数举例求导数举例 例例6 6 求函数f(x) coscos x的导数 解解 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx

8、21)( 1)(xx xxxxxxcos)cos(lim)(cos0 xxxxx2sin)2sin(2lim0 xxxxxxsin22sin)2sin(lim0第10页/共79页同理可得(sin x) cos x (cos x) sin x 2.2.求导数举例求导数举例 例例7 7 求函数f(x) ax(a0 a 1)的导数 解解 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解 f (x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0limhxfhxfh)()(lim0haaxhxh0lim haahhx1li

9、m0tah1令)1 (loglim0ttaatxhaahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatxhaahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatx aaeaxaxlnlog1 第11页/共79页 (sin x)cos x (cos x)sin x (ax)axln a 特别地有(ex ) ex 2.2.求导数举例求导数举例 例例8 8 求对数函数y log ax的导数 解解 (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx 解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1 (lo

10、g1lim0 xhhahhxhxxfaahlog)(loglim)(0)1 (log1lim0 xhhah hxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1hxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1 第12页/共79页 (sin x)cos x (cos x)sin x (ax)axln a 2.2.求导数举例求导数举例 以上得到的是部分基本初等函数的导数公式 特别地有(ex ) ex (C)0 21)1(xx(C)0 21)1(xx xx21)(21)1(xx xx21)( 1)(xxxx21)( 1)(xx axxaln1)(log xx1)(lnaxxa

11、ln1)(log xx1)(ln 特别地有第13页/共79页3.3.单侧导数单侧导数导数与单侧导数的关系导数与单侧导数的关系 函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 函数在区间上的可导性函数在区间上的可导性 f(x)在0 x处的左导数处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 f(x)在0 x处的右导数处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 Axf)(0Axfxf)()(00 第14页/共79页 例例9 9 求函数f(x)| |sinsinx|

12、在x 0处的导数 导数与单侧导数的关系导数与单侧导数的关系 解解 因为f (0) f (0) 所以函数f(x) |sinsinx|在x 0处不可导 3.3.单侧导数单侧导数Axf)(0Axfxf)()(00 f(x)在0 x处的左导数 f(x)在0 x处的右导数处的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00 1sinlim0|0sin|sin|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx1sinlim0|0sin|sin|lim0)0()(lim)0(000 xxxxxyxyfxxx第15页/共79页三、导数的几何意义

13、导数 f (x0)在几何上表示曲线 y f(x) 在点 M(x0 f(x0)处的切线的斜率 即f (x0) tan 其中 是切线的倾角 切线方程为 y y0 f (x0)(x x0) 法线方程为 )()(1000 xxxfyy 第16页/共79页 解解 所求法线方程为 并写出在该点处的切线方程和法线方程 例例1010 求等边双曲线xy1 在点) 2 ,21(处的切线的斜率所求切线及法线的斜率分别为 41112kk所求切线方程为 )21( 42xy 即4x y 4 0 )21(412xy即2x 8y 15 0 4)1(2121xxk解 21xy 第17页/共79页四、函数的可导性与连续性的关系v

14、结论结论 如果函数y f(x)在点x0处可导 则它在点x0处连续 这是因为应注意的问题应注意的问题: 这个结论的逆命题不成立 即函数y f(x)在点x0处连续 但在点x0处不一定可导 00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx 第18页/共79页连续但不可导的函数连续但不可导的函数) 但在点x 0处不可导 , 函数3)(xxf在区间( 内连续 例例1111 例

15、例1212 函数y |x|在区间( )内连续 但在点x 0处不可导 这是因为函数在点x 0处导数为无穷大 hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh) 0()0(lim0hhh0lim30hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30 第19页/共79页小结1. 1. 导数的实质: : 增量比的极限; ;3. 3. 导数的几何意义: : 切线的斜率; ;4. 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; ;5. 5. 求导数最基本的方法: : 由定义求导数. .6. 6. 判断可导性不连续, ,一定不可导. .连续直接用定义; ;看左右导数是否存在且相等. .第20页/共79

16、页二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 六、初等函数的求导问题六、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 2.2 2.2 导数的运算法则导数的运算法则 四、隐函数求导法则四、隐函数求导法则 五、取对数求导方法五、取对数求导方法 七、高阶导数七、高阶导数第21页/共79页解决求导问题的思路解决求导问题的思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义构造性定义 )求导法则求导法则其他基本初等其他基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x初等函数求导问题初等函数求导问题第22页/共

17、79页一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和并同时给出相应的推论和例题例题 .可导都在点及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv第23页/共79页此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设设 则vuvu )() 1 (故结论成立.例如, )()()(xvxuxfhxf

18、hxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(第24页/共79页(2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )第25页

19、/共79页例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第26页/共79页)()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(x

20、u)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数 )第27页/共79页 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求求证证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第28页/共79页 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在

21、x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第29页/共79页1例例3. 求反三角函数的导数求反三角函数的导数.解解: 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos

22、利用利用0cosy, 则第30页/共79页在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy第31页/共79页例如例如,)(, )(, )(xvvuufyjxydd)()()(xvufjyuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由

23、外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情此法则可推广到多个中间变量的情形形.复合函数的求导法则一般称为链式法则第32页/共79页例例4 设设y=lncos x，求，求 . y解 令，则，xuuycoslnxuuyxydddddd)sin(1xu. tan)sin(cos1xxx第33页/共79页.etanyyx，求例例5 设设解解 令令则，. tan,exvvuyuxvvuuyxydddddddd.21sece2tanxxxxvu21sece2第34页/共79页.) 12(sin3yxy，求例例6 设设解解xy)12(sin3xxx) 12() 12cos()

24、12(sin322) 12cos() 12(sin32xx. ) 12cos() 12(sin62xxxx)12(sin() 12(sin32第35页/共79页例例7. 设设, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的导数?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf这两个记号含义不同)cos(elnx第36页/共79页例例8. ) 1(2xx计算解解xxxxxx21211) 1(222.11222xx第37页/共79页四、隐函数的求导法则四、隐

25、函数的求导法则此时对应规则是对此时对应规则是对x在允许范围内的每一个值，在允许范围内的每一个值，y将以方程的解与之对应，这种函数称为将以方程的解与之对应，这种函数称为隐函数隐函数.13yyx隐函数一般可用隐函数一般可用F(x,y)=0表示表示.现在的问题是通过现在的问题是通过方程方程F(x,y)=0确定了确定了y是是x的函数的函数,如何来求如何来求 y。y 对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导,遇到y时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含y的方程，解出y即可.第38页/共79页例例9 设y=y(x)由 确定，求 .xyyx2ey解解 两边对x求导，得，2eyx

26、yyyx解方程得.2eyxyyx第39页/共79页例例10 求隐函数求隐函数 的导数的导数yxye2.|0 xyy及, 2e yxy若注意到解解，yxyyyee.e1e yyxy 从而.3e)2(1e yyyyy也可得.e| 2e2020 xyy，yxy，x于是可解得由时第40页/共79页例例11 求椭圆曲线求椭圆曲线 处的切线方程处的切线方程和法线方程和法线方程.)2, 1 (14222上点yx解解，021yyx,2yxy切线斜率, 222|)2, 1 (1 yk法线斜率.22112kk所以切线方程为. 222 ),1(22xyxy即法线方程为. 2222 ),1(222xyxy即第41页/

27、共79页五、取对数求导法五、取对数求导法在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如题，一类是幂指函数，即形如 的函数，一类的函数，一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数.)()(xgxf 所谓所谓对数求导法对数求导法，就是在，就是在y=f(x)的两边分别取对的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法数，然后用隐函数求导法求导的方法.第42页/共79页解解用对数求导法，则两边分别取对数. )(sinyxyx，求设 .sin ln )ln(sin ln xxxyx所以).c

28、otsin(ln)(sin )cotsin(lnxxxxxxxyyx两边对x求导，得,cossin1sinln1xxxxyy例例12,cotsinln1xxxyy第43页/共79页. ,) 1tan(32sin) 1(322yxxxxxxy求设解解)2ln(31sinln2) 1ln(2ln21ln xxxxy) 1cos(ln) 1sin(ln)3ln(21xxx2131cossin121121211xxxxxyy) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(3121xxxxx,) 1cos() 1sin(1 )3(21)2(31cot21221xxxxxxx例例13第44页/共7

29、9页所以.) 1cos() 1sin(1)3(21)2(31 cot21221) 1tan(32sin) 1( 322xxxxxxxxxxxxxy第45页/共79页六、初等函数的求导问六、初等函数的求导问题题 1. 常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(a

30、rcx211x第46页/共79页2. 有限次四则运算的求导法有限次四则运算的求导法则则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyjxydd)()(xufj4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数第47页/共79页七、高阶导数七、高阶导数)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：

31、变速直线运动1 高阶导数的概念高阶导数的概念第48页/共79页定义定义.若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导, ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy类似地类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二阶导数二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称第49页/共79页设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221

32、nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例14.思考思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得第50页/共79页nx)1 ( ,e3xaay 例例15. 设设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考思考:,exay .)(ny,exaay ,e2xaay xannaye)(xnxe)(e)(例例16. 设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! )

33、1(2)1 (1x,第51页/共79页例例16. 设设,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n第52页/共79页四则运算的求导法则四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v复合函数求导法则xydd)()(xufjuyddxudd )( xf ddxy或yxdd1 )(1yf1反函数求导法则小结第53页/共79页二、微分运算法则二、微分运算

34、法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用一、微分的概念一、微分的概念 2.4 2.4 函数的微分函数的微分第54页/共79页一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A , 则则,2xA 0 xx面积的增量为面积的增量为2020)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小0 x时为时为故故xxA02称为函数在称为函数在 的微分的微分0 x当当

35、 x 在在0 x取取得增量得增量x时时,0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其第55页/共79页的的微分微分,定义定义: 若函数若函数)(xfy 在点在点 的增量可表示为的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数)(xfy 而而 称为称为xA在)(xf0 x点记作记作yd,df或即即xAyd定理定理: 函数函数)(xfy 在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x处可导，在点0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即即xxfy)(d0在点在点0 x可微可微,第56页/共79页定理定理 : 函数函数)(xfy 在

36、点在点 可微的可微的充要条件充要条件是是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0说明说明:0)(0 xf时时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以所以0 x时时yyd很小时很小时, 有近似公式有近似公式xyyd与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当第57页/共79页微分的几何意义微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyydxtan当当 很小时很小时,xyyd时，当xy 则有则有xxfyd)(d从而从而)(ddxfxy导数也叫作导数也叫

37、作微商微商切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作记作xdxyxd记记第58页/共79页例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctan xy ydxxd112又如又如,第59页/共79页)()(tytxj若函数y=f(x)参数方程为ttxd)( djttyd)( d)( )( )( )( ttdttdttxyjjdd求导数 ddyx法：法：则可以先分别计算对的微分，则可以先分别计算对的微分，即即 这样计算导数，称为参数方程求导法则 第60页/共79页将由参数方程将由参数方程 所确定的函数看成复合函所确定的函数看成复合函

38、数：数： ，则由复合函数的求导法则，有，则由复合函数的求导法则，有)()(tytxj)(),(1xttxjj.ddddddxttyxy注意到反函数的求导法则，有注意到反函数的求导法则，有 ，所以，所以txxtdd1dd).0)( )()(dddddd1ddddttttxtytxtyxyjj法：法：第61页/共79页例例1 1解解txtyxydddddd4cot4tdybbdxaa coscot .sinbtbt-ata cossinxatybt4t椭圆参数方程为椭圆参数方程为 ，求椭圆在求椭圆在处的切线斜率处的切线斜率 第62页/共79页例例2 解解21xtyt 22,dy d ydx dx已

39、知已知，求，求 2(1)yx22dyxdx22()(22)2dydd ydxdxdxdxdx221dydytdttdxdxdt22(2 )()(2 )221dydtdd ydtdxdtdxdxdxdxdt法法1：由已知，得：由已知，得法法2： 第63页/共79页二、二、 微分运算法则微分运算法则设设 u(x) , v(x) 均可微均可微 , 则则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微分别可微 ,)(, )(xuufyj )(xfyj的微分为的微分为xyyxddxxufd)()(juduufyd)(d微分形式不变微分形式不变5. 复合

40、函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv第64页/共79页例例3., )e1(ln2xy求 .dy解解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex第65页/共79页例例4. 设设,0)cos(sinyxxy求求 .dy解解: 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例5. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.)( 为任意常数C第66页/共79页三、三、 微分在近似计算中的应微分在近似计算中的应用用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxf