离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳

1、离散型随机变量及其分布列考点与题型归纳一、基础知识1. 随机变量的有关概念(1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X, Y, ",表示.(2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.2. 离散型随机变量分布列的概念及性质XX1X2 Xi XPpiP2 Pi p”(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为XI, X2,，X，X”，X取每一个 值，“)的概率P(X=Xi)=ph以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式P(X=Xi) =p“ i=, 2, , n表示X的分布列.(2)分布列的性质7=1,23，&

2、quot;：口=13常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布列X01ppp若随机变量X的分布列具有左表的形式，则称/服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取"件，其中恰有X件次品，则P(X=Q=9g鱼，£=0丄2,，m,其中加=minM，”，LM NU N '.X01 mp5eg二* Q&C禺如果随机变量X的分布列具有左表的形式，则称随机变就服从超几何分布.若X是随机变量,则Y=aX+b(a , b为常数)也是随机变量.睡中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率.两点分布的试验结果只有两个可能性,其

3、概率之和为1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布 的特征是:0 (1)考察对象分两类；(2) 已知各类对象的个数；(3) 从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.©ni=minM, 11的理解m为£的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即” 时,H抽取的 样本中次品的件数)的最大值为川二当抽取的产品件数大于总体中次品件数即n 皿时， k的最大值为tn=M.考点一离散型随机变量的分布列的性质1设X是一个离散型随机变量，其分布列为X-101P1

4、32_3g(I1则q的值为()A.1C.a/H3 yl33 B丹D弭亜U 2 6解析：选C由分布列的性质知3 - 3狞0 ,V 9解得g二I-辱g + 2-3g +二 1 ,2离散型随机变量X的概率分布规律为尸&=)=亦务(” =1,2,3,4),其中a是常数,则的值为（）23A亍B4V5U 6解析：选 D 由:+二 1 ,知剤二 1 ,得 a二廟故 pQvXvj）二 P& 二 1） + Pa=2） = jx + |x| = |.3. 设离散型随机变量X的分布列为X01234p0.20.10.103tn求随机变量Y=2X+1的分布列;求随机变量4=x1|的分布列；求随机变量的分

5、布列.解：由分布列的性质知，0.2+ 0.1 +0.1 + 0.3 +加二 1 ,彳昙川二 0.3. 首先列表为：X012342X+ 113579从而Y= 2X+ 1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3列表为X01234区-1110123:.P = 0) = P(X= 1)二 0.1，P(> = 1)=P(X= 0)+P(X= 2)二 0.2 + 0.1 二 0.3 rP(fJ = 2)=P(X= 3) = 0 3 z0123P0.10.30303(3)首先列表为X01234¥014916从而f二牙的分布列为014916P0.20.10.10.30.3考点二超

6、几何分布典例精析在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者如,A2, As, A4, As, Ae和4名女志愿者鬲,戲，戲,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含出但不包含方】的概率；(2) 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.解记接受甲种心理暗示的志愿者中包含出但不包含Bi的事件为M ,则P(M)二由题意知X可取的值为01

7、234 ,则p(jr=2)="cr=2iC追轨啓二3)二瓷二詁P(X=4)因此X的分布列为X01234P1 425211021521142题组训练某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名 学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动-若所选3名学生中的女 生人数为X,求X的分布列.解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生,所以X的分布列服从参数N二8 ,M= 3 r n = 3的超几何分布.,_cSc? "rc9C? 5X的所有可能取值为0丄2,3其中P(X= i) =(z = 04,2,3)，则P(X=0)二 W二丙

8、,156z 、CjCs 15 z 、C3CI 15 z 、C1C§ P21)=ET二元 ” p(x=2)=cT=56 p(x=3)=_cT所以X的分布列为X0123515151P£28285656考点三求离散型随机变量的分布列典例精析己知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1) 求第一次检测岀的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2) 已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.解记&q

9、uot;第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A f则P(J)=AiAl 3A5 一10(2R的可能取值为200,300,400 rAn 1 则 P(X 二 200)二盂二花A? + CCAi 3用二300)二一忑一二而P(X= 400)二 1 - Pg 200) - P(X= 300)二 1 -寺-害二 g故X的分布列为X200300400133PJL10105题组训练有编号为1,2,3,，”的"个学生，入座编号为1,2,3,，”的”个座位，每个学生 规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时， 共有6种坐法.(1) 求"的

10、值;(2) 求随机变量X的分布列-解：因为当X二2时，有G种坐法，n(n - 1)所以G二6,即二6,772 - 77 - 12 = 0 ,解得"二 4 或"二-3(舍去)r 所以 n = 4.因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意知X的可能取值是023,4 #P(X=2)&X161P(X= 3)C|X2 81= _aF = 24 = 3z 、93P(h4) =疋飞,所以随机变量X的分布列为X02341113PJL24438课时跟踪检测A级1.若随机变量X的分布列为X-2-10123P0.10.20.2030.10.1则当P（X<a）=O.

11、S时，实数a的取值范围是（）A.(8, 2C.(l,2B.l,2D(l,2)解析：选C由随机变量X的分布列知:P（X< - 1） = 01屮（XV 0）二0.3屮（XVI）二0.5 ,P(T<2) = 0.8 r则当P（X< a） = 0.8时，实数a的取值范围是（1,22设随机变量X的分布列为P（X=Q=a（Jk其中£=1,2,3）,则a的值为（）A.1119B1327Du解析：选D因为随机变量X的分布列为P(X=k) =1Z3),所以根据分布列的性质有a站+石）2 +萄3二1 ,所以a= 15'3.（2019赣州棋拟）一袋中装有5个球，编号为1,234,

12、5,在袋中同时取出3个，以俵示取出的三个球中的最小号码，则随机变量f的分布列为（）B.1234PI w丄03102TD.123p1 To3To色L5解析：选C随机变量购可能取值为C。 3C。 3二 1）二总二.二 2）二总二花（§ 二3）二宣二打故选C.4 一只袋内装有川个白球，一加个照球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 X个白球，下列概率等于(n-ni)Al的是(B.P(X$2)D.P(X=2)A.P(X=3)C.P(XW3)(n - 772)Aw解析：选D依题意知z -3是取了 3次，所以取出白球应为2个5.己知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查

13、，其中次品数为5己知P(f= 1)=芸，且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为()A.10%B.20%C.30%D.40%CjCio-x x(10-x)16解析：选B设10件产品中有x件次品，则二1)二一现一二一輕一二厉x = 2或&2次品率不超过40% zx二2次品率为乔二20%.6.某射击选手射击环数的分布列为X78910P0303ab若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为解析：由分布列的性质得a +方二1 - 0.3 - 0.3二04 ,故射击一次的优秀率为40%. 答案：40%7已知随机变量X的概率分别为p, P2, P3,且依次成等差数列，则公差的取值范

14、围是解析：由分布列的性质及等差数列的性质得0 +刃+卩二3刃二1 ,刃二£ ,答案:&从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人 的概率是解析：设所选女生人数为/则X服从超几何分布,4其中 N二 6 z Af=2 t n = 3 tc9cl贝!J P(X 1) = P(X= 0) + P(X= 1)二応-+答案：I9为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲 协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8 名运动员中随机选择4人参加比赛.(1) 设A为事件“选出的4人中恰有2名种子

15、选手，且这2名种子选手来自同一个协 会”，求事件J发生的概率；(2) 设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.解：由已知，得PJ)C1C3 + C3C3cl所以事件发生的概率为舊随机变量X的所有可能取值为123,4 ,clci -k其中 P(X=k) = -(k= 1,234).P(X=2)P(X=4)所以随机变量X的分布列为X1234P1143737110. (2019长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度 赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容 呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量0,1

16、 000(1 0003 ooo(3 000, +8)节数61812(1) 现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3 000的节数：(2) 为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间0,1000内，则需要 花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000内，则需要花费20分钟进行剪辑，点 击量超过3 000,则不需要剪辑，现从(1)中选岀的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪 辑时间X的分布列.解:根据分层抽样可知,选出的6节课中点击量超过3 000的节数为女X 6二2.(2)由分层抽样可知，中选出的6节课中点击量在区间0000内的有1节,点击量

17、在 区间(1 000,3 000内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.,、11、cjci 6 2C1 + C5 51尸240)二飞厂二乜二P(X 二 60)二 g 二言二£,则X的分布列为X02040601211P1553511. (201 &郑州第一次质妒预渕)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4 口甲乙7 51079 5 3115 7 8x 6123 54 2132 6 91144到12月31 口在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳 出行-市政府为了 了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单 位各200名员工12月5 口到12月1

18、4 口共10天的低碳出行的人数， 画出茎叶图如图所示，(1) 若甲单位数据的平均数是122,求X；(2) 现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为厲 3令 = $ +求“的 分布列.解:(1)由题意知為 105 + 107 + 113 + 115 + 119 + 126 + (120 + x) + 132 + 134 + 141 = 122 ,解得"8.(2)由题得&的所有可能取值为0,1,2 , <£的所有可能取值为0,1,2 ,因为“二$ + $ ,所以 随机变量&q

19、uot;的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3 ,乙单位低碳出行的人数不低于130 的天数为4 ,所以耐0)二|二£CCCi + CiCCl 91也二1)二页比=225clcl + C7C4 + clclcicl 1也=2)=亍，ccjcj + cjcjci 22pg*扇二厉，P叶4)-也-2/-4)-c?oC，o-225.所以/的分布列为n01234p7459122513222252225B级1 .若 P(fWx2)=l0, P(X1)=1a,其中 X1<X2,则 P(xiW<fWx2)等于()A.(l-a)(l 一0)B.

20、1 +0)C.l a(l p)D.l 0(1 a)解析:选B显然P(§> X2)二0 , P(< xi) = a.由概率分布列的性质可知P(xi W <f%2)= 1 -P(<f>%2)-P(<X1)= 1 - a -屁2个人有”把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X=k)等于()n解析：选B X二斛表示“第k次恰好打开，前k_次没有打开”，"&二k)=n - 2n - (k - 1) iiXX XX二一n - 1 n - (k - 2) n - (Zr - 1) n3.盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X=4)的值为.解析：事件“X二4”表示取岀的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X= 4)二等二佥-答案:272204.某班级50名学生的考试分数x分布在区间50,100)内，设考试分数x的分布频率是金)0A9 10WxV10(+1), 77 = 5, 6, 7,考试成绩采用“5分制”，规定： 一£+